O segmento circular representa a parte do círculo limitada por uma corda e o arco correspondente. O cálculo de sua área envolve a combinação de conceitos de setor circular, triângulo isósceles e trigonometria.
Esse conceito pode surgir em situações do dia a dia, como no formato de janelas, arcos ou peças circulares cortadas. Compreender sua área ajuda a perceber como os conceitos de ângulo central, raio e seno se relacionam.
Neste texto, você vai entender o que é um segmento circular, como calcular sua área passo a passo e quais são os erros mais comuns ao resolver esse tipo de questão em provas. Acompanhe abaixo.
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Conceito de segmento circular
Um segmento circular é a região do círculo limitada por uma corda e pelo arco correspondente a essa corda. Em outras palavras, é a parte do círculo “cortada” por uma linha reta que une dois pontos da circunferência. Observe na figura a seguir:
É importante não confundir o segmento circular com o setor circular. O segmento circular é limitado apenas pela corda e pelo arco, sem incluir o centro do círculo, enquanto o setor circular é a região formada por dois raios e o arco entre eles, semelhante a uma fatia de pizza. Observe:
Relação entre segmento, setor e triângulo
A ideia central do cálculo é simples: a área do segmento circular é a diferença entre a área do setor circular correspondente e a área do triângulo formado pelos dois raios e a corda.
Ou seja:
Portanto, ao saber calcular essas duas áreas, o problema está resolvido. Essa relação pode ser visualizada de forma mais clara na figura abaixo.
Fórmulas essenciais
Antes de definir a expressão para o cálculo da área do segmento circular, é importante relembrar as fórmulas de duas figuras geométricas básicas: o setor circular e o triângulo formado por dois raios e uma corda.
Área do setor circular
Ela depende do raio (r) e do ângulo central (θ).
- Quando o ângulo está em graus:
- Quando o ângulo está em radianos:
Área do triângulo formado pelos raios e a corda
Esse tipo de triângulo é classificado como isósceles, pois os dois lados são raios do círculo. Podemos usar a fórmula geral da área de um triângulo com dois lados e o seno do ângulo entre eles:
Como a = b = r e o ângulo entre eles é θ:
Relação entre corda e ângulo central:
A relação entre a corda e o ângulo central de um círculo pode ser expressa pela fórmula:
Em que: c é o comprimento da corda, r é o raio do círculo e θ é o ângulo central correspondente em radianos; assim, quanto maior o ângulo central, maior será a corda que ele determina.
Cálculo da área do segmento circular
Relembradas as áreas do setor circular e do triângulo formado pelos raios e pela corda, pode-se seguir o passo a passo para o cálculo da área do segmento circular:
Passo 1 – Calcular a área do setor circular;
Passo 2 – Calcular a área do triângulo formado pelos raios e a corda; e
Passo 3 – Subtrair a área do triângulo da área do setor:
- Usando ângulo em graus:
- Usando ângulo em radianos:
Obs.: A função seno deve usar o mesmo tipo de ângulo que você escolheu (graus ou radianos). Um erro comum é misturar as unidades.
Segmento menor e segmento maior
Toda corda divide o círculo em dois segmentos:
- O segmento menor, associado ao arco menor, com θ ≤ 180°; e
- O segmento maior, associado ao arco maior, com θ > 180°.
Normalmente, as questões pedem o segmento menor. Caso o problema peça o segmento maior, basta subtrair:
Relações geométricas úteis
Nem sempre o problema traz o ângulo θ. Às vezes, é necessário descobri-lo a partir de outras medidas, como a corda ou a distância do centro à corda.
Corda, raio e distância do centro (d):
É importante destacar que essa relação vem diretamente do teorema de Pitágoras.
Flecha (sagita), raio e corda:
A flecha (f) é a distância entre o ponto médio da corda e o arco.
A relação é:
Onde: c é o comprimento da corda.
Essas equações ajudam a encontrar o ângulo central θ usando trigonometria:
+ Veja também: Elementos da circunferência: definições, propriedades e aplicações
Resolução de problemas envolvendo segmentos circulares
Nas provas de vestibular esse tipo de questão costuma envolver interpretação geométrica, raciocínio lógico e o uso correto das unidades de ângulo. Vamos analisar os principais tipos de problema:
Quando o raio e o ângulo central são conhecidos
Este é o caso mais direto em que o enunciado geralmente apresenta um círculo com raio conhecido e indica o ângulo central correspondente ao arco. Logo, basta aplicar as fórmulas da área do setor e do triângulo e subtrair.
Ex.: Um círculo de raio 6 cm possui um ângulo central de 60°. Calcule a área do segmento circular correspondente.
Quando o ângulo central precisa ser encontrado
Nem sempre o problema fornece o valor de θ. A maior parte dos casos traz medidas como o comprimento da corda ou a distância do centro à corda. Assim, devem ser usadas as relações trigonométricas e o Teorema de Pitágoras.
Ex.: Em uma roda d’água circular de raio 5 m, uma barra liga dois pontos da circunferência, formando uma corda de 8 m. Determine a área do segmento circular menor formado pela corda.
Primeiro, encontramos o ângulo central usando:
Com o ângulo encontrado, aplicamos:
Segmentos em figuras compostas
Outro formato bastante explorado é quando o segmento circular faz parte de uma figura maior, como um anel circular ou uma área sombreada em diagramas. Nessas situações, o desafio é isolar a região desejada, combinando áreas conhecidas e subtraindo as partes que não interessam.
Ex.: Uma janela tem formato circular com raio de 50 cm. Um vidro foi cortado por uma corda que forma um ângulo central de 120°. Calcule a área da parte menor da janela.
Nesse tipo de exercício, além de aplicar a fórmula do segmento, o estudante precisa interpretar corretamente qual parte da figura corresponde ao segmento menor e qual ângulo deve ser usado.
Erros comuns e como evitá-los
Além de conhecer como o assunto é cobrado nas provas é importante também saber os erros mais frequentes para evitar confusões na hora de resolver as questões. Acompanhe:
- Confundir setor com segmento: sempre lembre que o segmento é apenas a “tampa” curva, sem incluir o centro;
- Esquecer de subtrair o triângulo: a área do setor menos a do triângulo é a essência da fórmula;
- Usar ângulo na unidade errada: se a fórmula está em radianos, converta o ângulo antes de aplicar;
- Erro no cálculo do seno: muitos estudantes esquecem de verificar se a calculadora está no modo correto (DEG ou RAD); e
- Dificuldade em encontrar θ: quando o ângulo não é dado, use trigonometria básica ou o Teorema de Pitágoras para determinar as relações entre corda, raio e centro.
Questão do vestibular sobre segmento circular
Colégio Naval (1977)
A área do segmento circular determinado por uma corda de 4√3cm em um círculo de 4 cm de raio é:
Resposta:
Queremos a área do segmento circular, que é:
Inicialmente é necessário encontrar o ângulo central θ, pela relação entre corda e ângulo central temos:
Substituindo os valores:
Com esse valor é possível encontrar a Área do setor circular:
Para encontrar a área do segmento é importante descobrir a Área do triângulo isósceles formado pelos dois raios e a corda:
Assim, a área do segmento circular será:
Alternativa correta:
D
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