A área do setor circular permite relacionar a área do círculo com ângulos e arcos, facilitando a resolução de problemas que envolvem partes de um círculo ou figuras “arredondadas”.
Portanto, para calcularmos a área de um setor circular, vamos utilizar conceitos de proporcionalidade, como a famosa regra de três. Neste artigo você irá aprender a descobrir a área de uma “fatia” de um círculo, a partir do conhecimento de área do círculo e compreender a importância do assunto dentro da Geometria. Leia o texto para descobrir as principais definições e fórmulas relacionadas ao tema. Vamos lá?
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Circunferência x círculo
Para iniciarmos o estudo da área do setor circular, é importante entendermos o conceito de circunferência e círculo, que, apesar de muitas vezes serem utilizados como sinônimos, são coisas diferentes.
Nesse sentido, uma circunferência pode ser definida como o conjunto de todos os pontos de um plano que apresentam a mesma distância r a um ponto O, sendo O o centro da circunferência e r a medida do raio da circunferência. O conceito de círculo, por sua vez, se refere ao conjunto de todos os pontos que estão a uma distância menor ou igual a r em relação ao ponto O.
Dessa maneira, podemos entender que a circunferência é a “linha que contorna o círculo”, enquanto o círculo compreende a toda a região interna delimitada pela circunferência, como vemos na imagem abaixo:
Fórmula da área de um círculo
Para calcular a área de um círculo, podemos utilizar a seguinte fórmula:
Acírculo = π . r2
Em que r corresponde ao comprimento do raio, e π (pi) é uma constante numérica, aproximadamente igual a 3,14.
O que é um setor circular?
Um setor circular é uma porção de um círculo delimitada por dois raios e o arco compreendido entre eles. Se pensarmos em uma pizza em formato circular, podemos imaginar o setor circular como sendo uma “fatia da pizza”.
O setor é definido, portanto, por dois elementos principais: o raio do círculo (r) e o ângulo central (θ). Esses dois parâmetros determinam o tamanho da fatia e, consequentemente, a área que ela ocupa.
Área do setor circular em função do ângulo central (em graus)
Agora vem a parte essencial: como calcular a área do setor circular. Se o ângulo central estiver em graus, a lógica é bastante intuitiva. Sabemos que o círculo inteiro corresponde a um ângulo de 360°.
Assim, se quisermos descobrir a fração do círculo que corresponde a um setor, devemos dividir o valor do ângulo central por 360. Como exemplo, imagine um setor circular com um ângulo central de 90º. Ele irá corresponder a 1/4 do círculo, pois 90/360 = ¼. Logo, a área do setor será um quarto da área do círculo.
Com isso, chegamos à fórmula: a área do setor é igual ao ângulo central (θ) dividido por 360, multiplicado pela área total do círculo (πr2).
Área do setor circular em função do ângulo central (em radianos)
Em níveis mais avançados, especialmente quando se estuda Física ou Cálculo, é muito comum que o ângulo seja dado em radianos em vez de graus. Nesse caso, a lógica continua a mesma, mas a fórmula ganha uma forma mais elegante.
Como uma volta inteira corresponde a 2π radianos, o setor com ângulo θ radianos terá uma área proporcional a θ/2π. A simplificação leva a um resultado bastante prático:
Área do setor circular em função do comprimento do arco
Outro caminho bastante comum em exercícios é trabalhar com o comprimento do arco, em vez do ângulo. O arco é justamente a parte da circunferência que delimita o setor.
O comprimento desse arco pode ser calculado de duas formas: se o ângulo está em graus, é a fração do círculo correspondente, vezes o perímetro da circunferência; se está em radianos, a fórmula é ainda mais simples: comprimento do arco é igual a raio vezes ângulo.
A partir daí, conseguimos expressar a área do setor em função do arco. Substituindo, chega-se a uma fórmula muito prática: a área é igual à metade do produto entre o raio e o comprimento do arco.
Relação com a área do segmento circular
Além do setor, existe ainda o conceito de segmento circular, que costuma aparecer em questões mais elaboradas. O segmento é a região limitada por um arco e a corda que une seus extremos. Em outras palavras, é como pegar um setor circular e “cortar fora” o triângulo formado pelos dois raios.
A área do segmento, portanto, é obtida subtraindo a área desse triângulo da área do setor correspondente. Resolver problemas com segmento exige, além do conhecimento sobre setores, o uso de fórmulas de área de triângulos, muitas vezes envolvendo funções trigonométricas. Esse é um tema que costuma desafiar os alunos, mas que também é muito valorizado em vestibulares mais exigentes.
Asegmento = Asetor – Atriângulo
Questões envolvendo área do setor circular
Enem (2015)
O proprietário de um parque aquático deseja construir uma piscina em suas dependências. A figura representa a vista superior dessa piscina, que é formada por três setores circulares idênticos, com ângulo central igual a 60°. O raio R deve ser um número natural.
O parque aquático já conta com uma piscina em formato retangular com dimensões 50 m x 24 m. O proprietário quer que a área ocupada pela nova piscina seja menor que a ocupada pela piscina já existente. Considere 3,0 como aproximação para π. O maior valor possível para R, em metros, deverá ser
A) 16.
B) 28.
C) 29.
D) 31.
E) 49.
Resposta
GABARITO: B.
Uerj (2015)
Uma chapa de aço com a forma de um setor circular possui raio R e perímetro 3R, conforme ilustra a imagem.
A área do setor equivale a:
A) R²
B) R²/4
C) R²/2
D) 3R²/2
Resposta
GABARITO: ALTERNATIVA C.
Temos que 𝜃 será:
Assim:
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