Um tema que recentemente vem sendo bastante explorado nos vestibulares, envolvendo diversos conceitos de geometria, é a inscrição de polígonos na circunferência, principalmente polígonos regulares, por conta que envolvem problemas com simetria de figuras, além de relações entre figuras e problemas com apótema e calculo do lado das figuras.
Veja mais sobre o assunto no artigo do Estratégia Vestibulares.
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Definição de polígono inscrito
De modo geral, definimos que um polígono está inscrito em uma circunferência se todos os seus vértices pertencem à circunferência que o envolve, como mostrado na figura a seguir. Assim, podemos afirmar que o polígono está inscrito na circunferência e que a circunferências está circunscrita ao polígono.
No dia a dia, diversas construções arquitetônicas e designers utilizam da circunscrição, como para montar cúpulas e elementos das catedrais, além das construções geométricas, a circunscrição tem variadas aplicações trigonométricas.
Polígonos regulares inscritos
A importância dos polígonos regulares é que eles apresentam propriedades que realmente simplificam os cálculos. Nesse tipo de polígonos, todos os lados e ângulos internos são congruentes, com tal simetria, mesmo tendo apenas a medida de um lado é possível achar a área, apótema, ângulos internos, etc.
Outra vantagem desse tipo de figura é que elas podem ser decompostas em triângulos isósceles idênticos, transformando um problema complexo em um simples e área de triângulos. Os raios da circunferência que ligam os vértices do polígono inscritos ao centro dele são os lados do triângulo.
Um conceito muito utilizado é o apótema, ele pode ser definido como um segmento de reta especial que parte do centro de um polígono regular e alcança o ponto médio de um de seus lados, sempre formando um ângulo reto com esse lado, ou seja, sendo perpendicular a ele.
Há, ainda, o conceito de circuncentro da figura, que é o ponto central da circunferência circunscrita, que coincide com o centro dos polígonos regulares inscritos. Do centro, saindo dois raios vizinhos até o vértice, temos o ângulo central do polígono, que é constante =360°/n.
Propriedade dos principais polígonos regulares inscritos
Triângulo equilátero
Dado um triângulo equilátero, com os três lados de mesma medida, inscrito em uma circunferência de raio R.
O lado L é dado por L=R√3, portanto o perímetro será o triplo disso (P=3L=3R√3). A altura é h=3R/2, o apótema é a=R/2, porque o centro do triângulo equilátero divide a altura na razão 2:1. Como a altura é h=3R/2, a distância do centro ao lado (apótema) é ⅓ da altura.
Com os valores dos lados, encontramos a área pela seguinte relação:
Quadrado
A diagonal do quadrado é exatamente d=2R, enquanto o lado vai ser L=R√2, sendo o perímetro P=4L=4R√2, pois:
A perímetro será P=4L=4R√2 e o apótema, sendo a distância do centro do quadrado até um dos lados, vai ser metade do lado a=L/2=(R√2)/2. Sua área vai ser
Hexágono
O hexágono regular vai apresentar o lado L igual ao raio (L=R), isso ocorre por conta que o hexágono pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros congruentes, com isso o raio coincide com o tamanho L.
O perímetro vai ser P=6L=6R, enquanto o apótema vai ser a altura de um dos triângulos equiláteros que formam o hexágono a = (R√3)/2 e a área:
Conforme mostra a figura, temos um hexágono inscrito e é possível dividi-lo em 6 triângulos equiláteros. A partir de um desses triângulos e usando o teorema de Pitágoras é notável a relação entre o raio, metade do lado e o apótema: R2=l2/4+a2 .
Usando a simetria, sabemos que o ângulo central no hexágono vai ser 60°, pois
O novo ângulo formado próximo ao centro O do triângulo retângulo formado será metade do ângulo central:
Polígonos não regulares
Os polígonos não regulares inscritos são figuras geométricas que possuem todos os seus vértices localizados exatamente sobre uma mesma circunferência. A principal característica que os diferencia dos polígonos regulares é que, apesar de estarem todos dentro de um círculo, eles não apresentam lados com o mesmo comprimento nem ângulos internos iguais entre si. Isso significa que suas medidas podem variar bastante, mesmo que todos os vértices estejam distribuídos sobre a borda do círculo.
Para que um polígono seja considerado inscritível, ou seja, possa ser construído dentro de uma circunferência, a única exigência é que todos os seus vértices toquem a circunferência. Assim, não há necessidade de que o polígono seja regular, bastando apenas que essa condição seja satisfeita.
Triângulos escalenos e retângulos são ótimos exemplos, e para resolver problemas que envolvem este tipo de figura não apresenta uma fórmula a ser seguida por conta da falta de simetria. Em suma, utilizam a Lei dos Senos e Cossenos, ou outras propriedades específicas para resolver este tipo de problema.
Questões sobre polígonos inscritos
Centro Universitário São Lucas (2018)
Sobre polígonos regulares, marque V para as afirmativas verdadeiras e F para as falsas.
( ) O apótema de um triângulo equilátero inscrito é ap₃ = R/2.
( ) O apótema de um quadrado circunscrito é ap₄ = R.
( ) O apótema de um hexágono circunscrito é ap₆ = R.
( ) O apótema de um triângulo equilátero circunscrito é ap₃ = R√3
A sequência está correta em
A) V, V, V, V
B) V, F, V, V
C) F, F, V, V
D) V, V, V, F
Resposta
Alternativa correta: D
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