Um tema que recentemente vem sendo bastante explorado nos vestibulares, envolvendo diversos conceitos de geometria, é a inscrição de polígonos na circunferência, principalmente polígonos regulares, por conta que envolvem problemas com simetria de figuras, além de relações entre figuras e problemas com apótema e calculo do lado das figuras.
Veja mais sobre o assunto no artigo do Estratégia Vestibulares.
Navegue pelo conteúdo
Definição de polígono inscrito
De modo geral, definimos que um polígono está inscrito em uma circunferência se todos os seus vértices pertencem à circunferência que o envolve, como mostrado na figura a seguir. Assim, podemos afirmar que o polígono está inscrito na circunferência e que a circunferências está circunscrita ao polígono.
No dia a dia, diversas construções arquitetônicas e designers utilizam da circunscrição, como para montar cúpulas e elementos das catedrais, além das construções geométricas, a circunscrição tem variadas aplicações trigonométricas.
Polígonos regulares inscritos
A importância dos polígonos regulares é que eles apresentam propriedades que realmente simplificam os cálculos. Nesse tipo de polígonos, todos os lados e ângulos internos são congruentes, com tal simetria, mesmo tendo apenas a medida de um lado é possível achar a área, apótema, ângulos internos, etc.
Outra vantagem desse tipo de figura é que elas podem ser decompostas em triângulos isósceles idênticos, transformando um problema complexo em um simples e área de triângulos. Os raios da circunferência que ligam os vértices do polígono inscritos ao centro dele são os lados do triângulo.
Um conceito muito utilizado é o apótema, ele pode ser definido como um segmento de reta especial que parte do centro de um polígono regular e alcança o ponto médio de um de seus lados, sempre formando um ângulo reto com esse lado, ou seja, sendo perpendicular a ele.
Há, ainda, o conceito de circuncentro da figura, que é o ponto central da circunferência circunscrita, que coincide com o centro dos polígonos regulares inscritos. Do centro, saindo dois raios vizinhos até o vértice, temos o ângulo central do polígono, que é constante =360°/n.
Propriedade dos principais polígonos regulares inscritos
Triângulo equilátero
Dado um triângulo equilátero, com os três lados de mesma medida, inscrito em uma circunferência de raio R.
O lado L é dado por L=R√3, portanto o perímetro será o triplo disso (P=3L=3R√3). A altura é h=3R/2, o apótema é a=R/2, porque o centro do triângulo equilátero divide a altura na razão 2:1. Como a altura é h=3R/2, a distância do centro ao lado (apótema) é ⅓ da altura.
Com os valores dos lados, encontramos a área pela seguinte relação:
Quadrado
A diagonal do quadrado é exatamente d=2R, enquanto o lado vai ser L=R√2, sendo o perímetro P=4L=4R√2, pois:
A perímetro será P=4L=4R√2 e o apótema, sendo a distância do centro do quadrado até um dos lados, vai ser metade do lado a=L/2=(R√2)/2. Sua área vai ser
Hexágono
O hexágono regular vai apresentar o lado L igual ao raio (L=R), isso ocorre por conta que o hexágono pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros congruentes, com isso o raio coincide com o tamanho L.
O perímetro vai ser P=6L=6R, enquanto o apótema vai ser a altura de um dos triângulos equiláteros que formam o hexágono a = (R√3)/2 e a área:
Conforme mostra a figura, temos um hexágono inscrito e é possível dividi-lo em 6 triângulos equiláteros. A partir de um desses triângulos e usando o teorema de Pitágoras é notável a relação entre o raio, metade do lado e o apótema: R2=l2/4+a2 .
Usando a simetria, sabemos que o ângulo central no hexágono vai ser 60°, pois
O novo ângulo formado próximo ao centro O do triângulo retângulo formado será metade do ângulo central:
Polígonos não regulares
Os polígonos não regulares inscritos são figuras geométricas que possuem todos os seus vértices localizados exatamente sobre uma mesma circunferência. A principal característica que os diferencia dos polígonos regulares é que, apesar de estarem todos dentro de um círculo, eles não apresentam lados com o mesmo comprimento nem ângulos internos iguais entre si. Isso significa que suas medidas podem variar bastante, mesmo que todos os vértices estejam distribuídos sobre a borda do círculo.
Para que um polígono seja considerado inscritível, ou seja, possa ser construído dentro de uma circunferência, a única exigência é que todos os seus vértices toquem a circunferência. Assim, não há necessidade de que o polígono seja regular, bastando apenas que essa condição seja satisfeita.
Triângulos escalenos e retângulos são ótimos exemplos, e para resolver problemas que envolvem este tipo de figura não apresenta uma fórmula a ser seguida por conta da falta de simetria. Em suma, utilizam a Lei dos Senos e Cossenos, ou outras propriedades específicas para resolver este tipo de problema.
Questões sobre polígonos inscritos
Centro Universitário São Lucas (2018)
Sobre polígonos regulares, marque V para as afirmativas verdadeiras e F para as falsas.
( ) O apótema de um triângulo equilátero inscrito é ap₃ = R/2.
( ) O apótema de um quadrado circunscrito é ap₄ = R.
( ) O apótema de um hexágono circunscrito é ap₆ = R.
( ) O apótema de um triângulo equilátero circunscrito é ap₃ = R√3
A sequência está correta em
A) V, V, V, V
B) V, F, V, V
C) F, F, V, V
D) V, V, V, F
Resposta
Alternativa correta: D
Alcance a aprovação com o Estratégia Vestibulares!
Aqui no EV, você encontra os melhores e mais completos conteúdos selecionados com os assuntos mais cobrados nos vestibulares. Escolha o plano ideal para suas metas e foque nas áreas que mais precisa para conquistar o curso dos seus sonhos.
Clique no banner e comece agora mesmo!