{"id":104394,"date":"2023-10-30T20:00:00","date_gmt":"2023-10-30T23:00:00","guid":{"rendered":"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/?p=104394"},"modified":"2024-03-22T14:31:58","modified_gmt":"2024-03-22T17:31:58","slug":"medias","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/medias\/","title":{"rendered":"M\u00e9dias: defini\u00e7\u00e3o e tipos, simples, ponderada, geom\u00e9trica e outras"},"content":{"rendered":"<p>A matem&aacute;tica, al&eacute;m de ci&ecirc;ncia, &eacute; uma ferramenta essencial para a sociedade atual. Por meio dela s&atilde;o definidos dados sobre popula&ccedil;&otilde;es, estudos cient&iacute;ficos, par&acirc;metros econ&ocirc;micos e muito mais. Nesse sentido, as m&eacute;dias s&atilde;o um dos principais elementos estat&iacute;sticos utilizados para a constru&ccedil;&atilde;o de gr&aacute;ficos e correla&ccedil;&atilde;o de dados.&nbsp;<p>Existem diferentes tipos de m&eacute;dia entre valores, que podem ser encontradas em f&oacute;rmulas simples ou em c&aacute;lculos mais complexos. Neste artigo, ser&atilde;o apresentadas as m&eacute;dias mais recorrentes em provas de vestibulares: aritm&eacute;tica simples e ponderada, harm&ocirc;nica e geom&eacute;trica. Ainda, veja resolu&ccedil;&atilde;o de quest&otilde;es que cobram o tema. Leia mais!<\/p><div id=\"ez-toc-container\" class=\"ez-toc-v2_0_76 counter-hierarchy ez-toc-counter ez-toc-transparent ez-toc-container-direction\">\n<div class=\"ez-toc-title-container\"><p class=\"ez-toc-title\" style=\"cursor:inherit\">Navegue pelo conte\u00fado<\/p>\n<\/div><nav><ul class='ez-toc-list ez-toc-list-level-1 ' ><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-1\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/medias\/#Definicao-de-media\" >Defini&ccedil;&atilde;o de m&eacute;dia<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-2\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/medias\/#Tipos\" >Tipos<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-3\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/medias\/#Questao-sobre-medias-no-Enem\" >Quest&atilde;o sobre m&eacute;dias no Enem<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-4\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/medias\/#Estude-mais-com-a-Coruja\" >Estude mais com a Coruja!<\/a><\/li><\/ul><\/nav><\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-definicao-de-media\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Definicao-de-media\"><\/span>Defini&ccedil;&atilde;o de m&eacute;dia<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>M&eacute;dias podem ser definidas como a tend&ecirc;ncia central de um conjunto de n&uacute;meros. Ou seja, em grupo com variados valores tenta-se encontrar qual o &ldquo;meio do caminho&rdquo;, ou o ponto mais central ou um valor que relacione todos eles.&nbsp;<\/p><p>Por exemplo, em um conjunto de 5 n&uacute;meros: 1, 34, 35, 40, 32. Note que h&aacute; uma predomin&acirc;ncia de n&uacute;meros acima de 30 e apenas um n&uacute;mero 1. Assim, a tend&ecirc;ncia central desse grupo num&eacute;rico ser&aacute; mais pr&oacute;xima de 30 do que de 1. Para encontrar essa resposta, devem ser aplicadas as f&oacute;rmulas de m&eacute;dia, que ser&atilde;o abordadas nos pr&oacute;ximos t&oacute;picos.<\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-tipos\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Tipos\"><\/span>Tipos<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>A ideia principal em uma m&eacute;dia matem&aacute;tica &eacute; a mesma em todos os tipos: encontrar uma rela&ccedil;&atilde;o num&eacute;rica central. Entretanto, a f&oacute;rmula como esse valor &eacute; calculado pode trazer diferentes interpreta&ccedil;&otilde;es! A depender do tipo de m&eacute;dia h&aacute; uma corre&ccedil;&atilde;o de pesos para cada valor, ou ainda para encontrar a m&eacute;dia de uma progress&atilde;o geom&eacute;trica.<\/p><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-media-aritmetica-simples\">M&eacute;dia aritm&eacute;tica simples<\/h3><p>Na m&eacute;dia aritm&eacute;tica simples, tomam-se n valores e eles s&atilde;o somados entre si. Depois, a soma ser&aacute; dividida pelo n&uacute;mero n de termos da soma, como mostra a f&oacute;rmula abaixo.&nbsp;<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh7-us.googleusercontent.com\/C2CLhojMiOgQ1FbaN5414pMl3FwhGCred8rbNhLwLDG0ziruuIFsGDJgy-00Q9J48y2F9j9pmk8jUVd65vJSaep2gQaiTDuWsm7CE9Wo4T3S0v_QipKhcTZb_KV0EVN5FfgFFCXSYQRhn-Jy3jf-yak\" alt=\"m&eacute;dias simples\"><\/figure><\/div><p>Esse &eacute; o tipo de m&eacute;dia mais conhecido e, muitas vezes, utilizado em sistemas avaliativos. Por exemplo, provas escolares. Por exemplo, um aluno que tenha tirado 10 na primeira avalia&ccedil;&atilde;o do semestre e depois tira 5 na segunda avalia&ccedil;&atilde;o ter&aacute; uma m&eacute;dia de (10 + 5)\/2 = 7,5.&nbsp;<\/p><p>Note que o resultado final &eacute; influenciado por todos os elementos presentes na soma. Ent&atilde;o, mesmo que o aluno tenha ido muito bem na primeira prova, seu desempenho mais baixo no segundo teste &ldquo;puxou&rdquo; sua nota para baixo. O resultado final &eacute; intermedi&aacute;rio, a tend&ecirc;ncia central, entre os dois valores.&nbsp;<\/p><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-media-aritmetica-ponderada\">M&eacute;dia aritm&eacute;tica ponderada<\/h3><p>No caso da m&eacute;dia ponderada h&aacute; um <strong>peso <\/strong>atribu&iacute;do para cada valor da soma. Ou seja, alguns valores s&atilde;o mais significativos do que outros e isso se reflete no resultado final. Ent&atilde;o, toma-se que h&aacute; n valores, com n pesos e a f&oacute;rmula &eacute; dada por:<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh7-us.googleusercontent.com\/riWTCdzP5KBKjZbULFDfnvUf97th_rPx1IAEEPWSEcjkXUZDgmhLUPL49htpTkCz5p2QRj7bCRFPv97r7iHhcJ4t-3qNWyCuD_Dj3JMI7gPjDrEznksQQm-eQtoCf4Z_8-DVWNQnWFvDg1FP-Q9KIBE\" alt=\"m&eacute;dia ponderada\"><\/figure><\/div><p>Como exemplo, vamos analisar uma disciplina de faculdade que possua o seguinte sistema avaliativo:<\/p><p>Prova que vale de 0 a 10, com peso 6<br>Entrega de atividades que vale de 0 a 10, com peso 2<br>Participa&ccedil;&atilde;o em aula que vale de 0 a 10, com peso 1<br>Semin&aacute;rio que vale de 0 a 10, com peso 1<\/p><p>Diante disso, um aluno conseguiu as seguintes notas:<\/p><p>8 na prova<br>7 nas atividades entregues&nbsp;<br>10 na participa&ccedil;&atilde;o em sala<br>6 no simulado<\/p><p>Qual ser&aacute; a m&eacute;dia final desse estudante?<\/p><p>Para encontrar o resultado &eacute; necess&aacute;rio calcular a m&eacute;dia ponderada, a partir das notas obtidas e o peso de cada avalia&ccedil;&atilde;o:<\/p><p>nota prova.6 + nota atividade.2 + participa&ccedil;&atilde;o.1 + semin&aacute;rio.1 \/ (6 + 2 + 1 + 1)<\/p><p class=\"has-text-align-center\">8.6 + 7.2 + 10.1 + 6.1 \/ 10<br>48 + 14 + 10 + 6 \/ 10<br>78 \/ 10<br>7,8<\/p><p>Nesse caso, perceba que, embora ele tenha tirado 10 na participa&ccedil;&atilde;o em sala de aula, esse valor n&atilde;o tem tanto peso na nota. Ou seja, quanto maior o peso da nota, mais pr&oacute;xima dela ficar&aacute; a nota final.<\/p><p>No exemplo, os maiores pesos est&atilde;o distribu&iacute;dos entre a entrega de atividades e a prova propriamente dita. Veja que a nota final, 7,8 &eacute; muito pr&oacute;xima de 8 e 7.&nbsp;<\/p><p>+ Veja mais: <a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/aritmetica\/\" target=\"_blank\">Aritm&eacute;tica: o que &eacute;, opera&ccedil;&otilde;es b&aacute;sicas, quest&otilde;es e muito mais!<\/a><\/p><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-media-geometrica\">M&eacute;dia geom&eacute;trica<\/h3><p>As m&eacute;dias geom&eacute;tricas s&atilde;o muito utilizadas para o c&aacute;lculo da m&eacute;dia em sequ&ecirc;ncias num&eacute;ricas que seguem o padr&atilde;o de <a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/progressoes\/\" target=\"_blank\">progress&otilde;es geom&eacute;tricas<\/a>. Seu uso &eacute; voltado para geometria e &aacute;reas correlacionadas, al&eacute;m de aparecer em c&aacute;lculos financeiros que dependem de porcentagem acumulada.&nbsp;<\/p><p>A f&oacute;rmula da m&eacute;dia geom&eacute;trica depende de <a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/radiciacao\/\" target=\"_blank\">radicia&ccedil;&atilde;o<\/a>, como demonstrado a seguir.<\/p><figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh7-us.googleusercontent.com\/8PNf7N3brYbvBw0Q-eh1-YyYJs43Ba4vdtoxGBU1GyLKFPhWX_7Ai9aKranke5xHuLsYct6Owvhk9iCuCmYjy58M3qDkvxOumU__JLRceIW8qQjZR84q4LV7UDXHWD3oVQYKGh0o6aKvcxgK76l1bTM\" alt=\"m&eacute;dias geom&eacute;tricas\"><\/figure><p>Dado um conjunto A = {2, 4, 16, 32}, qual ser&aacute; sua m&eacute;dia geom&eacute;trica?<\/p><p>Primeiro, nota-se que o conjunto possui 4 elementos, ou seja, n = 4. Depois, vamos adicion&aacute;-los na raiz, considerando esse expoente:<\/p><p class=\"has-text-align-center\">M&eacute;dia geom&eacute;trica = <sup>4<\/sup>&radic;2.4.16.32<\/p><p>Para facilitar os c&aacute;lculos, &eacute; poss&iacute;vel procurar um padr&atilde;o de exponencia&ccedil;&atilde;o entre os n&uacute;meros. Todos os elementos do conjunto A s&atilde;o resultados da potencia&ccedil;&atilde;o do n&uacute;mero 2, ent&atilde;o, vamos substitu&iacute;-los dessa forma:<\/p><p class=\"has-text-align-center\">2 = 2<sup>1<\/sup><\/p><p class=\"has-text-align-center\">4 = 2<sup>2<\/sup><\/p><p class=\"has-text-align-center\">16 = 2<sup>4&nbsp;<\/sup><\/p><p class=\"has-text-align-center\">32 = 2<sup>5<\/sup><\/p><p class=\"has-text-align-center\">M&eacute;dia geom&eacute;trica = <sup>4<\/sup>&radic;2.4.16.32<\/p><p class=\"has-text-align-center\">M&eacute;dia geom&eacute;trica = <sup>4<\/sup>&radic;2<sup>1<\/sup>.2<sup>2<\/sup>.2<sup>4<\/sup>.2<sup>5<\/sup><\/p><p>Conforme as propriedades da potencia&ccedil;&atilde;o, como todas as bases s&atilde;o iguais e est&atilde;o multiplicadas entre, basta somar os expoentes para chegar em um 2<sup>x<\/sup>.&nbsp;<\/p><p class=\"has-text-align-center\">M&eacute;dia geom&eacute;trica = <sup>4<\/sup>&radic;2<sup>1+2+4+5<\/sup><\/p><p class=\"has-text-align-center\">M&eacute;dia geom&eacute;trica = <sup>4<\/sup>&radic;2<sup>12<\/sup><\/p><p>Agora, basta dividir o expoente da base pelo &iacute;ndice da raiz: 12\/4 = 3. Assim, a m&eacute;dia geom&eacute;trica ser&aacute; dada por 2<sup>3<\/sup> = 8.&nbsp;<\/p><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-media-harmonica\">M&eacute;dia harm&ocirc;nica<\/h3><p>A m&eacute;dia harm&ocirc;nica &eacute; utilizada em situa&ccedil;&otilde;es em que o conjunto num&eacute;rico relaciona grandezas inversamente proporcionais. O exemplo mais cl&aacute;ssico seria a velocidade m&eacute;dia de um corpo, porque, &agrave; medida que a velocidade aumenta, o tempo torna-se menor para percorrer o mesmo trajeto.&nbsp;<\/p><p>A f&oacute;rmula de m&eacute;dia harm&ocirc;nica depende encontrar o inverso de cada elemento do conjunto. Ou seja, em um grupo num&eacute;rico A, B e C, a m&eacute;dia harm&ocirc;nica tamb&eacute;m utiliza A<sup>-1<\/sup> = 1\/A, B<sup>-1<\/sup> = 1\/B e C<sup>-1<\/sup>=1\/C.<\/p><p>Diante disso, a f&oacute;rmula &eacute; dada pelo n&uacute;mero de elementos do conjunto (n) dividido pela soma dos inversos dos elementos:<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh7-us.googleusercontent.com\/uPpUrpZO13xE-2uL5WehaHrH15PV4a2vj_A0pyZuZame3eKa2K5BHiREiAM57vdmvxN93AUoJzbnRVd1GWIQFpjfT1L_oz3-ge3FhsjnDc695tKQQcjxeQm3Z2nP7tQlDJyxYxbzGu9nfwBDCmPwKSc\" alt=\"m&eacute;dia harm&ocirc;nica\"><\/figure><\/div><p>Seja um conjunto E = {9, 12, 18}, a m&eacute;dia harm&ocirc;nica deve ser calculada de forma que:<\/p><p>n = 3 (n&uacute;mero de elementos em E)<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh7-us.googleusercontent.com\/zDI8izJt-qEMKsvXhTe5IhWyf_T_f23LfLgDYGmz1ppDjGo_qLcpIHdx74Bosm8YyeABJ83iMRsvBjRtTW0ki5XxF1o688wSay_u2LsPZ6bbufGBplhcKO8sBMic_TSnPRGWyZmb1aUcA3fmaXmXmh0\" alt=\"c&aacute;lculo de m&eacute;dia harm&ocirc;nica\"><\/figure><\/div><p>&Eacute; preciso, tamb&eacute;m, realizar a soma das fra&ccedil;&otilde;es que est&atilde;o no denominador da divis&atilde;o. Para isso, calcula-se o m&iacute;nimo m&uacute;ltiplo comum entre os elementos (denominadores): MMC de 9, 12 e 18&nbsp; = 36.&nbsp;<\/p><p>Agora, &eacute; necess&aacute;rio fazer a equival&ecirc;ncia das fra&ccedil;&otilde;es para obter o denominador comum (MMC) em todas elas:<\/p><p class=\"has-text-align-center\">1\/9 = 4\/36<\/p><p class=\"has-text-align-center\">1\/12 = 3\/36<\/p><p class=\"has-text-align-center\">1\/18 = 2\/36&nbsp;<\/p><p>A soma entre as fra&ccedil;&otilde;es ser&aacute; (4 + 3 + 2)\/ 36 = 9\/36 = 1\/4. Agora, temos o c&aacute;lculo neste formato:<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh7-us.googleusercontent.com\/YhpAQc8pSuQb80I1Du59dWra2fopXSH41XxLA3pWs-mG4TvjAAI84JgjC0FYSyPYw5dhsapzw4_LWLkBMhmq6FJ0V7WQqYeJkm47c11hx5J73ot5pe8fZB9Oz3B6ghP-3GqTflLBbXzyoytir72jEi4\" alt=\"c&aacute;lculo m&eacute;dia harm&ocirc;nica\"><\/figure><\/div><p>Agora, possu&iacute;mos uma divis&atilde;o de fra&ccedil;&otilde;es simplificada, que pode ser escrita assim:<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh7-us.googleusercontent.com\/4scFEJxoRjAKJxKTD50oPmZ8nmpJFwhul43XwLSvu5CGBNVbwanY57_e2yUd-Wp5MdU9pRZQ0WLsrEVJ9N4QHRKFSkXg_aiNF7ap1cXhwhCWz_LPrz-Z-dw2-vFs4CeHbbln39tgCbEeJhTZSS4gjiM\" alt=\"c&aacute;lculo de M harm&ocirc;nica\"><\/figure><\/div><p>Segundo as regras da divis&atilde;o de fra&ccedil;&otilde;es, podemos inverter o denominador e numerador da segunda fra&ccedil;&atilde;o e fazer a multiplica&ccedil;&atilde;o entre elas:<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh7-us.googleusercontent.com\/zFwVsDDNZSASypV6BUf3Z5ItJmZm09Ov4xh0Lrj4LXZ0dcHSJDlXPSnFygpFsVbxdiqbz1vCec7FXHxGT-wVDTQXZaf8z26iPMee5DpRjAkwPC_9pH9ukWWIo6tfQKSvdrKICM-8o73zDxL0S7jShFM\" alt=\"c&aacute;lculo de M harm&ocirc;nica\"><\/figure><\/div><p>Ent&atilde;o, a m&eacute;dia harm&ocirc;nica do conjunto E &eacute; dada por 3.4 = 12.&nbsp;<\/p><p>+ Veja tamb&eacute;m: <a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/formulas-matematicas\/\" target=\"_blank\">F&oacute;rmulas matem&aacute;ticas: principais f&oacute;rmulas que aparecem no vestibular<\/a><\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-questao-sobre-medias-no-enem\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Questao-sobre-medias-no-Enem\"><\/span>Quest&atilde;o sobre m&eacute;dias no Enem<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>Enem 2021<\/p><p>Black Friday &eacute; uma tradi&ccedil;&atilde;o norte-americana que consiste numa queda de pre&ccedil;os de uma grande variedade de produtos dispon&iacute;veis para venda na &uacute;ltima sexta-feira do m&ecirc;s de novembro. No Brasil, em muitas lojas, essa pr&aacute;tica se estende por todo esse m&ecirc;s. Para esse per&iacute;odo, o gerente de uma loja de produtos eletr&ocirc;nicos que tem 5 vendedores estabelece uma meta de vendas de computadores para um total m&iacute;nimo de 605 unidades. Ele considera que a m&eacute;dia de vendas de computadores dos 5 vendedores juntos neste ano se manter&aacute; igual &agrave; dos &uacute;ltimos 5 anos, conforme apresentada no gr&aacute;fico. Considere que a participa&ccedil;&atilde;o de cada vendedor na obten&ccedil;&atilde;o da meta seja igual.<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh7-us.googleusercontent.com\/VXWL-mHjJRkcbsfA6jVYBqKc5KB06XD2Ui7oUtB1Fi2gmYwqbcHTRaOqVSfmauKzC4nOSNs6SnXymnx9WlvSuJPH-tP85JP8Ju1qgwNhM20tPYXdieEpZ5Mj7lYGBUs70zdcv8nSx94sYk1Dyn_t_2E\" alt=\"exerc&iacute;cios de m&eacute;dias - enem\"><\/figure><\/div><p>Para que a meta da loja seja atingida, o gerente dever&aacute; estipular, para cada vendedor, um aumento na m&eacute;dia de vendas de, no m&iacute;nimo, quantas unidades?<\/p><p>a) 150<br>b)121<br>c) 91<br>d) 35<br>e) 30<\/p><p>Como a meta era de 605 e o esperado era de 455, h&aacute; uma diferen&ccedil;a de 150 unidades que devem ser vendidas por 5 vendedores. Portanto, cada vendedor deve vender em m&eacute;dia 30 unidades a mais para alcan&ccedil;ar a meta desejada.<\/p><p>Alternativa correta: <strong>E<\/strong><\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-estude-mais-com-a-coruja\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Estude-mais-com-a-Coruja\"><\/span>Estude mais com a Coruja!<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>O Estrat&eacute;gia Vestibulares &eacute; uma plataforma de estudo com milhares de quest&otilde;es de vestibulares respondidas de todo o Pa&iacute;s. 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