{"id":119009,"date":"2024-05-30T16:00:00","date_gmt":"2024-05-30T19:00:00","guid":{"rendered":"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/?p=119009"},"modified":"2024-08-09T13:45:58","modified_gmt":"2024-08-09T16:45:58","slug":"equacao-polinomial","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/equacao-polinomial\/","title":{"rendered":"Equa\u00e7\u00e3o polinomial: defini\u00e7\u00e3o, tipos e exemplos de resolu\u00e7\u00e3o"},"content":{"rendered":"<p>A matem&aacute;tica &eacute; uma das disciplinas mais antigas entre as civiliza&ccedil;&otilde;es, o conhecimento dos n&uacute;meros e suas opera&ccedil;&otilde;es permite o desenvolvimento de muitas outras ci&ecirc;ncias, inclusive afetando as ci&ecirc;ncias humanas, com estat&iacute;sticas, por exemplo. <p>Diante disso, os temas matem&aacute;ticos fundamentais s&atilde;o cobrados com frequ&ecirc;ncia nos vestibulares, entre eles opera&ccedil;&atilde;o num&eacute;rica b&aacute;sica, fun&ccedil;&atilde;o trigonom&eacute;trica, &acirc;ngulo, geometria, equa&ccedil;&atilde;o, sequ&ecirc;ncia num&eacute;rica e equa&ccedil;&atilde;o polinomial.<\/p><p>Por conta de um cen&aacute;rio t&atilde;o abrangente, &eacute; necess&aacute;rio estudar com calma, e de forma direcionada, cada um dos assuntos mais frequentes nos vestibulares e que tem import&acirc;ncia na forma&ccedil;&atilde;o cidad&atilde; e acad&ecirc;mica. E, para te ajudar com isso, o Estrat&eacute;gia Vestibulares preparou este artigo em que s&atilde;o apresentados e aprofundados os principais conceitos em equa&ccedil;&atilde;o polinomial.<\/p><p>Ao longo do texto voc&ecirc; conhecer&aacute; a defini&ccedil;&atilde;o de equa&ccedil;&atilde;o polinomial, como elas podem ser classificadas, qual a diferen&ccedil;a entre o conceito de equa&ccedil;&atilde;o polinomial e polin&ocirc;mios, al&eacute;m de ter acesso aos principais recursos matem&aacute;ticos para resolver esse tipo de c&aacute;lculo. Ao final, ainda, veja uma resolu&ccedil;&atilde;o completa de uma quest&atilde;o da Universidade Estadual do Amazonas sobre o tema.<\/p><div id=\"ez-toc-container\" class=\"ez-toc-v2_0_76 counter-hierarchy ez-toc-counter ez-toc-transparent ez-toc-container-direction\">\n<div class=\"ez-toc-title-container\"><p class=\"ez-toc-title\" style=\"cursor:inherit\">Navegue pelo conte\u00fado<\/p>\n<\/div><nav><ul class='ez-toc-list ez-toc-list-level-1 ' ><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-1\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/equacao-polinomial\/#Definicao-de-equacoes-polinomiais\" >Defini&ccedil;&atilde;o de equa&ccedil;&otilde;es polinomiais<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-2\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/equacao-polinomial\/#Tipos-de-equacao-polinomial\" >Tipos de equa&ccedil;&atilde;o polinomial<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-3\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/equacao-polinomial\/#Raizes-de-Equacoes-Polinomiais\" >Ra&iacute;zes de Equa&ccedil;&otilde;es Polinomiais<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-4\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/equacao-polinomial\/#Questoes-sobre-equacao-polinomial\" >Quest&otilde;es sobre equa&ccedil;&atilde;o polinomial&nbsp;<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-5\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/equacao-polinomial\/#Estude-para-o-vestibular-com-o-Estrategia\" >Estude para o vestibular com o Estrat&eacute;gia!<\/a><\/li><\/ul><\/nav><\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-definicao-de-equacoes-polinomiais\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Definicao-de-equacoes-polinomiais\"><\/span>Defini&ccedil;&atilde;o de equa&ccedil;&otilde;es polinomiais<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>O conceito de equa&ccedil;&atilde;o polinomial &eacute; que a express&atilde;o matem&aacute;tica polinomial esteja igualada a zero. Em geral, define-se que o s&iacute;mbolo do polin&ocirc;mio &eacute; P(x), em que x &eacute; a inc&oacute;gnita do c&aacute;lculo e a equa&ccedil;&atilde;o polinomial ser&aacute;, portanto, P(x) = 0.&nbsp;<\/p><p class=\"has-text-align-center\">P(x) = 0&nbsp;<\/p><p class=\"has-text-align-center\">P (x) = a<sub>n<\/sub>x<sup>n<\/sup> + a<sub>n-1<\/sub>x<sup>n-1 <\/sup>+ a<sub>n-2<\/sub>x<sup>n-2<\/sup> + &hellip; + a<sub>2<\/sub>x<sup>2<\/sup> + a<sub>1<\/sub>x<sup>1<\/sup> + a<sub>0&nbsp;<\/sub><\/p><p class=\"has-text-align-center\">a<sub>n<\/sub>x<sup>n<\/sup> + a<sub>n-1<\/sub>x<sup>n-1 <\/sup>+ a<sub>n-2<\/sub>x<sup>n-2<\/sup> + &hellip; + a<sub>2<\/sub>x<sup>2<\/sup> + a<sub>1<\/sub>x<sup>1<\/sup> + a<sub>0&nbsp; <\/sub>= 0&nbsp;<\/p><p>Na estrutura geral apresentada acima, considera-se que uma equa&ccedil;&atilde;o &eacute; polinomial quando os valores de x s&atilde;o reais (x &#8714; |R) e n precisa ser um n&uacute;mero inteiro, maior do que 0 (x &#8714; Z | x&gt;0). As letras &ldquo;a&rdquo; representam um coeficiente que multiplica a inc&oacute;gnita na equa&ccedil;&atilde;o.&nbsp;<\/p><ul class=\"wp-block-list\">\n<li>4x<sup>3<\/sup> + 2x<sup>2<\/sup> &ndash; 3x &ndash; 9 = 0&nbsp;<\/li>\n\n\n\n<li>2x<sup>2<\/sup> &ndash; 5 = 0&nbsp;<\/li>\n\n\n\n<li>x + 14 = 0&nbsp;<\/li>\n\n\n\n<li>26x<sup>5<\/sup> + 13x = 0<\/li>\n<\/ul><p>No estudo dos <a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/polinomios\/\" target=\"_blank\">polin&ocirc;mios <\/a>e equa&ccedil;&otilde;es polinomiais, &eacute; atribu&iacute;do um grau a P(x). O grau &eacute; definido a partir do maior expoente presente na inc&oacute;gnita, ou seja, grau do polin&ocirc;mio = n, nos exemplos acima, ent&atilde;o:<\/p><ul class=\"wp-block-list\">\n<li>4x<sup>3<\/sup> + 2x<sup>2<\/sup> &ndash; 3x &ndash; 9 = 0 &#10230; maior expoente est&aacute; em x<sup>3<\/sup>, n= 3, grau 3<\/li>\n\n\n\n<li>2x<sup>2<\/sup> &ndash; 5 = 0 &#10230; maior expoente est&aacute; em x<sup>2<\/sup>, n= 2, grau 2<\/li>\n\n\n\n<li>x + 14 = 0&nbsp; &#10230; maior expoente est&aacute; em x, ent&atilde;o x = x<sup>1<\/sup>, n= 1, grau 1<\/li>\n\n\n\n<li>26x<sup>5<\/sup> + 13x = 0 &#10230; maior expoente est&aacute; em x<sup>5<\/sup>, n= 5, grau 5<\/li>\n<\/ul><p>Um ponto importante ao reconhecer uma equa&ccedil;&atilde;o polinomial &eacute; manter em mente sua f&oacute;rmula estrutural geral. Uma vez que o grau &eacute; n, &eacute; necess&aacute;rio que existam inc&oacute;gnitas elevadas a n-1, n-2, n-3, at&eacute; que a subtra&ccedil;&atilde;o resulte em n-n=0. Veja um exemplo:<\/p><p>4x<sup>5<\/sup> &ndash; x<sup>4<\/sup> &ndash; 3x<sup>3 <\/sup>+ 5x<sup>2<\/sup> &ndash; 15x &ndash; 6x<sup>0<\/sup> = 0&nbsp;<\/p><p>Observe que o grau desta equa&ccedil;&atilde;o polinomial apresentada &eacute; 5, ent&atilde;o existem inc&oacute;gnitas elevadas nas pot&ecirc;ncias 4, 3, 2 e 1.<\/p><p>Essa considera&ccedil;&atilde;o &eacute; especialmente &uacute;til quando s&atilde;o desenvolvidos c&aacute;lculos polinomiais em que o coeficiente que acompanha uma das pot&ecirc;ncias &eacute; 0, como est&aacute; demonstrado abaixo:<\/p><p>150x<sup>4<\/sup> + 3x<sup>2 <\/sup>&ndash; 20= 0<\/p><p>A forma como a <a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/equacoes-2\/\" target=\"_blank\">equa&ccedil;&atilde;o <\/a>est&aacute; distribu&iacute;da pode criar a sensa&ccedil;&atilde;o de que o polin&ocirc;mio abrange apenas a inc&oacute;gnita elevada &agrave; quarta e &agrave; segunda pot&ecirc;ncia. Mas a forma completa dessa equa&ccedil;&atilde;o polinomial ser&aacute;:&nbsp;<\/p><p>150x<sup>4<\/sup> + 0x<sup>3<\/sup> + 3x<sup>2&nbsp; <\/sup>+ 0x &ndash; 20x<sup>0 <\/sup>= 0<\/p><p>Desenvolver o racioc&iacute;nio a partir dessa l&oacute;gica facilita especialmente para as opera&ccedil;&otilde;es com polin&ocirc;mios, que precisam ser resolvidas para encontrar o valor da inc&oacute;gnita, em alguns exerc&iacute;cios de vestibulares.&nbsp;<\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-tipos-de-equacao-polinomial\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Tipos-de-equacao-polinomial\"><\/span>Tipos de equa&ccedil;&atilde;o polinomial<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-lineares\">Lineares<\/h3><p>As equa&ccedil;&otilde;es polinomiais de primeiro grau, tamb&eacute;m chamadas de lineares, s&atilde;o resolvidas &agrave; semelhan&ccedil;a das equa&ccedil;&otilde;es de primeiro grau e resultam em apenas uma raiz verdadeira. Basta isolar a inc&oacute;gnita no c&aacute;lculo, realizando manipula&ccedil;&otilde;es com as opera&ccedil;&otilde;es inversas, como demonstrado abaixo:<\/p><p class=\"has-text-align-center\">P(x) =&nbsp; x &ndash; 15 + x\/2<br>P(x) = 0<\/p><p class=\"has-text-align-center\">x &ndash; 15 + x\/2 = 0&nbsp;<br>x + x\/2 = 15<br>3\/2.x = 15&nbsp;<br>x = 10&nbsp;<\/p><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-quadraticas\">Quadr&aacute;ticas<\/h3><p>No caso das express&otilde;es polinomiais quadr&aacute;ticas, segue-se o mesmo padr&atilde;o utilizado nas fun&ccedil;&otilde;es do segundo grau. Para encontrar as duas ra&iacute;zes que solucionam o c&aacute;lculo, pode-se lan&ccedil;ar m&atilde;o da f&oacute;rmula de Bh&aacute;skara ou do recurso de soma e produto de ra&iacute;zes.&nbsp;<\/p><p>Considera-se que a f&oacute;rmula geral desses polin&ocirc;mios &eacute; tal que: P(x) = ax<sup>2<\/sup> + bx + c. Para a aplica&ccedil;&atilde;o dos recursos de resolu&ccedil;&atilde;o, utilizam-se os coeficientes conforme s&atilde;o apresentados na f&oacute;rmula geral.&nbsp;<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter is-resized\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh7-us.googleusercontent.com\/docsz\/AD_4nXf_Y72-gDp77wEC6rhGvhUawVMLRnURhaw6A0gNbDTSrHyh-kqulQMJ7TkmRScZ0e89bwVVawGNpsWTGSK467QP0L4i9h8p-oVm1qKTkzsmbQCLqrYbWb1y4UT98QCdtqdsBPWhUO4HGuNyYRPEx93bxBBa?key=A5ap7f4SJochW9Bmv8O2kw\" alt=\"\" style=\"width:303px;height:auto\"><figcaption class=\"wp-element-caption\">F&oacute;rmula de Bhaskara<br>Imagem: Reprodu&ccedil;&atilde;o\/Wikimedia<\/figcaption><\/figure><\/div><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter is-resized\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh7-us.googleusercontent.com\/docsz\/AD_4nXf7JrOyJbKWmVs4IMVvC8hxsm78rsNVRyE7nd7fZ2uamRvNOBKa_YxMx_mVyltiQIuyg5kU87q1sgcHYx2F5J6rSVyJ7TtgcxccgmL29221Fw6KCAN5UfH0jls_3o_yrtg27IuSp5fG9CYr_eTYBnpXTXjA?key=A5ap7f4SJochW9Bmv8O2kw\" alt=\"\" style=\"width:196px;height:auto\"><figcaption class=\"wp-element-caption\">F&oacute;rmula de soma e produto<br>Imagem: Reprodu&ccedil;&atilde;o\/Wikimedia<\/figcaption><\/figure><\/div><p>A imagem abaixo demonstra a resolu&ccedil;&atilde;o de um polin&ocirc;mio do segundo grau. Considere que x<sub>1<\/sub> &eacute; uma das ra&iacute;zes e x<sub>2<\/sub> &eacute; a outra. Quando qualquer um deles for substitu&iacute;do por x na equa&ccedil;&atilde;o polinomial, a igualdade ser&aacute; verdadeira.&nbsp;<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"572\" height=\"264\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2024\/05\/image-1-1.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-119010\"><figcaption class=\"wp-element-caption\">Imagem: Reprodu&ccedil;&atilde;o\/Wikimedia<\/figcaption><\/figure><\/div><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-outros-graus-de-polinomio\">Outros graus de polin&ocirc;mio<\/h3><p>Quanto maior o grau do polin&ocirc;mio mais complexa sua resolu&ccedil;&atilde;o ser&aacute;, o que demanda maior <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=SFuc9wb7_sw&amp;pp=ygUscG9saW5vbWlvIG1hdGVtYXRpY2EgZXN0cmF0ZWdpYSB2ZXN0aWJ1bGFyZXM%3D\" target=\"_blank\">habilidades matem&aacute;ticas <\/a>e conhecimento dos recursos adequados para completar o c&aacute;lculo. Uma das formas de desenvolver essas contas &eacute; por meio da <a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/fatoracao\/\" target=\"_blank\">fatora&ccedil;&atilde;o <\/a>de um polin&ocirc;mio.&nbsp;<\/p><p>Em uma situa&ccedil;&atilde;o em que temos a express&atilde;o num&eacute;rica que forma o polin&ocirc;mio e pelo uma de suas ra&iacute;zes &eacute; poss&iacute;vel fazer a fatora&ccedil;&atilde;o desse c&aacute;lculo. Para isso, toma-se o coeficiente que acompanha a inc&oacute;gnita de maior grau e multiplica-se pela subtra&ccedil;&atilde;o da raiz conhecida por cada uma das ra&iacute;zes. Veja a estrutura desse racioc&iacute;nio abaixo:<\/p><p class=\"has-text-align-center\">P(x) = a<sub>n<\/sub> (x &ndash; x<sub>1<\/sub>) (x &ndash; x<sub>2<\/sub>) (x &ndash; x<sub>3<\/sub>) &hellip; (x &ndash; x<sub>n-1<\/sub>) (x &ndash; x<sub>n<\/sub>)<\/p><p class=\"has-text-align-center\">x &eacute; a raiz conhecida<br>a<sub>n<\/sub> &eacute; o coeficiente que acompanha a inc&oacute;gnita de maior pot&ecirc;ncia&nbsp;<br>x<sub>1<\/sub>, x<sub>2<\/sub>, x<sub>3<\/sub>&hellip;x<sub>n-1<\/sub>, x<sub>n<\/sub> s&atilde;o as outras ra&iacute;zes da equa&ccedil;&atilde;o<\/p><p>Com base em &#119909;&sup3; + 9&#119909;&sup2; + 11&#119909; &minus;21 = 0, sabendo que as ra&iacute;zes s&atilde;o -7, 1 e -3, qual &eacute; a forma fatorada?<\/p><p class=\"has-text-align-center\">P(x) = &#119909;&sup3; + 9&#119909;&sup2; + 11&#119909; &minus;21 = 0<\/p><p>A inc&oacute;gnita de maior grau &eacute; x<sup>3<\/sup>, que tem coeficiente 1, ent&atilde;o a<sub>n<\/sub> = 1. Existem 3 ra&iacute;zes nesse polin&ocirc;mio, que s&atilde;o x<sub>1<\/sub>, x<sub>2<\/sub> e x<sub>3<\/sub>, que tem os valores citados acima. Pode-se escolher, aleatoriamente, qual valor &eacute; atribu&iacute;do a cada ra&iacute;z, como em x<sub>1<\/sub> = -7, x<sub>2<\/sub> = -3 e x<sub>3<\/sub> = 1. Acompanhe as substitui&ccedil;&otilde;es:<\/p><p class=\"has-text-align-center\">P(x) = a<sub>n <\/sub>(x &ndash; x<sub>1<\/sub>) (x &ndash; x<sub>2<\/sub>) (x &ndash; x<sub>3<\/sub>)<br>P(x) = 1<sub> <\/sub>[x &ndash;( -7)] [x &ndash; (-3)] (x &ndash; 1)<br>P(x) = 1<sub> <\/sub>(x + 7) (x + 3) (x &ndash; 1)<br>P(x) = (x + 7) (x + 3) (x &ndash; 1)<\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-raizes-de-equacoes-polinomiais\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Raizes-de-Equacoes-Polinomiais\"><\/span>Ra&iacute;zes de Equa&ccedil;&otilde;es Polinomiais<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-teorema-fundamental-da-algebra\">Teorema Fundamental da &Aacute;lgebra<\/h3><p>As equa&ccedil;&otilde;es polinomiais s&atilde;o resolvidas conforme sua classifica&ccedil;&atilde;o, a depender do grau presente no c&aacute;lculo. Inclusive, o n&uacute;mero de ra&iacute;zes complexas que tornam aquela equa&ccedil;&atilde;o verdadeira &eacute; igual ao grau do polin&ocirc;mio. Ou seja, se o grau do polin&ocirc;mio P(x) &eacute; 5, ele possui 5 ra&iacute;zes que podem ser substitu&iacute;das no c&aacute;lculo e tornam a equa&ccedil;&atilde;o verdadeira.&nbsp;<\/p><p>Veja que essa defini&ccedil;&atilde;o depende do conhecimento sobre n&uacute;meros complexos, que s&atilde;o n&uacute;meros que abrangem resultados para ra&iacute;zes de valores negativos.<\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-questoes-sobre-equacao-polinomial-nbsp\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Questoes-sobre-equacao-polinomial\"><\/span>Quest&otilde;es sobre equa&ccedil;&atilde;o polinomial&nbsp;<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>UEA 2024<\/p><p>Considere o polin&ocirc;mio p(x) = 3x&sup3;&ndash; kx&sup2; &ndash; 5x + 1, em que k &eacute; um n&uacute;mero real. Se p(&ndash;1) = 1, o valor de p(k) &eacute; igual a<\/p><p><strong>A) <\/strong>7.<br><strong>B) <\/strong>6.<br><strong>C) <\/strong>8.<br><strong>D) <\/strong>5.<br><strong>E) <\/strong>4.<\/p><p><strong>Resposta:&nbsp;<\/strong><\/p><p class=\"has-text-align-center\">p(x) = 3x&sup3;&ndash; kx&sup2; &ndash; 5x + 1<\/p><p>Se p(&ndash;1) = 1<\/p><p class=\"has-text-align-center\">1 = 3(-1&sup3;)&ndash; k(-1&sup2;) &ndash; 5(-1) + 1<br>1 = -3 &ndash; k &ndash; (-5) + 1<br>1 = -3 &ndash; k + 5 + 1<br>1 = -3 &ndash; k + 6<br>1 = &ndash; k +3<br>1 &ndash; 3 = &ndash; k<br>&ndash; k = -2<br>k = 2<\/p><p>Ent&atilde;o p(k) = p(2)<\/p><p class=\"has-text-align-center\">p(k) = 3k&sup3;&ndash; kk&sup2; &ndash; 5k + 1<br>p(k) = 3.2&sup3;&ndash; 2.2&sup2; &ndash; 5.2 + 1<br>p(k) = 3.8&ndash; 2.4 &ndash; 10 + 1<br>p(k) = 24 &ndash; 8 &ndash; 10 + 1<br>p(k) = 24 &ndash; 18 + 1<br>p(k) = 6 + 1<br>p(k) = p(2) = 7<\/p><p><strong>Alternativa correta:<\/strong> A.<\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-estude-para-o-vestibular-com-o-estrategia\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Estude-para-o-vestibular-com-o-Estrategia\"><\/span>Estude para o vestibular com o Estrat&eacute;gia!<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>Gostou do conte&uacute;do? Tenha acesso a diversos resumos e explica&ccedil;&otilde;es did&aacute;ticas sobre assuntos de geografia, pol&iacute;tica, hist&oacute;ria e atualidades, al&eacute;m de um vasto material de todas as outras disciplinas importantes para os vestibulares. Tudo isso est&aacute; dispon&iacute;vel nos cursos da Coruja, nos Livros Digitais Interativos (LDIs). 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