{"id":144453,"date":"2025-08-29T14:51:10","date_gmt":"2025-08-29T17:51:10","guid":{"rendered":"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/?p=144453"},"modified":"2025-09-08T16:33:18","modified_gmt":"2025-09-08T19:33:18","slug":"potencia-de-ponto-definicao-formulas-questoes-e-mais","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/potencia-de-ponto-definicao-formulas-questoes-e-mais\/","title":{"rendered":"Pot\u00eancia de ponto: defini\u00e7\u00e3o, f\u00f3rmulas, quest\u00f5es e mais"},"content":{"rendered":"<p>A pot&ecirc;ncia de ponto em rela&ccedil;&atilde;o a uma circunfer&ecirc;ncia &eacute; um conceito da geometria muito &uacute;til para o Enem e vestibulares. Apesar do nome aparentemente complexo, a pot&ecirc;ncia de ponto &eacute;, basicamente, uma ferramenta que permite relacionar um ponto e uma circunfer&ecirc;ncia, sendo importante para realiza&ccedil;&atilde;o de problemas envolvendo secantes, tangentes e segmentos.<p>Este artigo ir&aacute; te guiar por esse conceito, explicando desde as defini&ccedil;&otilde;es b&aacute;sicas at&eacute; aplica&ccedil;&otilde;es pr&aacute;ticas em quest&otilde;es de prova. Leia-o at&eacute; o final para aprender tudo sobre pot&ecirc;ncia de ponto e mandar bem nas quest&otilde;es! Vamos l&aacute;?<\/p><p>\n\n\n\n<div class=\"cta-medio\" style=\"background-image: url(https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2024\/08\/curso-enem-1-estrategia-vestibulares-ctamedio.jpg);\"><h3>Pacote Enem TOP <\/h3> <p>Estude com o Estrat\u00e9gia Vestibulares<\/p><div class=\"cta-botao\"><a id=\"cta-medio\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/curso\/enem-top\/\" target=\"_blank\" style=\"background:rgb(255,150,0)\">Saiba mais<\/a><\/div><\/div>\n\n\n\n<\/p><div id=\"ez-toc-container\" class=\"ez-toc-v2_0_76 counter-hierarchy ez-toc-counter ez-toc-transparent ez-toc-container-direction\">\n<div class=\"ez-toc-title-container\"><p class=\"ez-toc-title\" style=\"cursor:inherit\">Navegue pelo conte\u00fado<\/p>\n<\/div><nav><ul class='ez-toc-list ez-toc-list-level-1 ' ><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-1\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/potencia-de-ponto-definicao-formulas-questoes-e-mais\/#O-que-e-potencia-de-ponto\" >O que &eacute; pot&ecirc;ncia de ponto?<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-2\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/potencia-de-ponto-definicao-formulas-questoes-e-mais\/#Teorema-da-potencia-de-ponto\" >Teorema da pot&ecirc;ncia de ponto<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-3\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/potencia-de-ponto-definicao-formulas-questoes-e-mais\/#Erros-comuns\" >Erros comuns<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-4\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/potencia-de-ponto-definicao-formulas-questoes-e-mais\/#Questao-de-vestibular-sobre-potencia-de-ponto\" >Quest&atilde;o de vestibular sobre pot&ecirc;ncia de ponto<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-5\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/potencia-de-ponto-definicao-formulas-questoes-e-mais\/#Estude-com-o-Estrategia-Vestibulares\" >Estude com o Estrat&eacute;gia Vestibulares!<\/a><\/li><\/ul><\/nav><\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-o-que-e-potencia-de-ponto\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"O-que-e-potencia-de-ponto\"><\/span>O que &eacute; pot&ecirc;ncia de ponto?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>Imagine uma <a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/circulo-e-circunferencia\/\" target=\"_blank\">circunfer&ecirc;ncia<\/a> e um ponto P qualquer, que pode estar dentro, fora ou sobre a circunfer&ecirc;ncia em quest&atilde;o. Ao tra&ccedil;armos uma reta intersectando a circunfer&ecirc;ncia e passando por P, segmentos ser&atilde;o formados. Nesse sentido, a pot&ecirc;ncia de ponto correlaciona os comprimentos desses segmentos formados.<\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-teorema-da-potencia-de-ponto\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Teorema-da-potencia-de-ponto\"><\/span>Teorema da pot&ecirc;ncia de ponto<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>A pot&ecirc;ncia de ponto depende da posi&ccedil;&atilde;o do ponto em rela&ccedil;&atilde;o &agrave; circunfer&ecirc;ncia. Assim, as rela&ccedil;&otilde;es utilizadas ser&atilde;o distintas em cada caso, de acordo com a localiza&ccedil;&atilde;o do ponto, da seguinte maneira:<\/p><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-ponto-interno-a-circunferencia\">Ponto interno &agrave; circunfer&ecirc;ncia<\/h3><p>Nesse caso, h&aacute; duas cordas que se interceptam (se cruzam), dividindo-se em 4 segmentos de reta (<strong><em>a<\/em><\/strong>,<em> <\/em><strong><em>b<\/em><\/strong>,<em> <\/em><strong><em>c<\/em><\/strong><em> <\/em>e<em> <\/em><strong><em>d<\/em><\/strong>), conforme mostrado na figura abaixo:<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"212\" height=\"223\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2025\/08\/Captura-de-Tela-1-1.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-144469\"><\/figure><\/div><p>Nesse contexto, os comprimentos de <em>a<\/em>, <em>b<\/em>, <em>c <\/em>e <em>d<\/em> podem ser correlacionados, utilizando-se o <strong>Teorema das Cordas.<\/strong> Segundo esse teorema, sempre que duas cordas de uma mesma circunfer&ecirc;ncia se cruzam em um ponto, o produto dos comprimentos dos dois segmentos de uma corda &eacute; igual ao produto dos comprimentos dos dois segmentos da outra corda.<\/p><p>Essa afirma&ccedil;&atilde;o pode, portanto, ser traduzida atrav&eacute;s da seguinte f&oacute;rmula:<\/p><p class=\"has-text-align-center\"><strong>a . b = c . d<\/strong><\/p><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-ponto-externo-a-circunferencia-interseccao-de-duas-secantes\">Ponto externo &agrave; circunfer&ecirc;ncia (intersec&ccedil;&atilde;o de duas secantes)<\/h3><p>Retas secantes s&atilde;o aquelas que cruzam a circunfer&ecirc;ncia em dois pontos distintos. Dessa forma, iremos tra&ccedil;ar duas retas secantes que se cruzam em um ponto externo &agrave; circunfer&ecirc;ncia, conforme a imagem abaixo:<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"498\" height=\"403\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2025\/08\/Captura-de-Tela-3.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-144470\" style=\"width:315px;height:auto\"><\/figure><\/div><p>Nessa situa&ccedil;&atilde;o, tamb&eacute;m s&atilde;o formados <strong>quatro<\/strong> segmentos (<strong><em>a<\/em><\/strong>,<em> <\/em><strong><em>b<\/em><\/strong>,<em> <\/em><strong><em>c<\/em><\/strong><em> <\/em>e<em> <\/em><strong><em>d<\/em><\/strong>), sendo <strong><em>a <\/em><\/strong>e <strong><em>c <\/em><\/strong>localizados no exterior da circunfer&ecirc;ncia, enquanto <strong><em>b<\/em><\/strong><em> <\/em>e<em> <\/em><strong><em>d <\/em><\/strong>est&atilde;o no interior da circunfer&ecirc;ncia.<\/p><p>Nesse sentido, para os casos em que duas secantes se cruzam no exterior da circunfer&ecirc;ncia, temos uma rela&ccedil;&atilde;o em que o produto do comprimento de uma secante pela medida da sua por&ccedil;&atilde;o externa &eacute; igual ao produto do comprimento da outra secante pela medida da sua por&ccedil;&atilde;o externa. Essa defini&ccedil;&atilde;o resulta na seguinte f&oacute;rmula:<\/p><p class=\"has-text-align-center\"><strong>a . (a + b) = c . (c + d)<\/strong><\/p><p>Veja tamb&eacute;m:<br><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/geometria\/\" target=\"_blank\">+Geometria: o que &eacute; e como &eacute; classificada<\/a><\/p><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-ponto-externo-a-circunferencia-interseccao-de-uma-secante-e-uma-tangente\">Ponto externo &agrave; circunfer&ecirc;ncia (intersec&ccedil;&atilde;o de uma secante e uma tangente)<\/h3><p>Como foi dito anteriormente, retas secantes s&atilde;o aquelas que cruzam a circunfer&ecirc;ncia em dois pontos distintos. J&aacute; as tangentes, cruzam a circunfer&ecirc;ncia em apenas um ponto. Dessa maneira, iremos tra&ccedil;ar um secante e uma tangente que se cruzam em um ponto externo &agrave; circunfer&ecirc;ncia, conforme a imagem abaixo:<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"577\" height=\"426\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2025\/08\/Captura-de-Tela-4.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-144471\" style=\"width:254px;height:auto\"><\/figure><\/div><p>Nessa situa&ccedil;&atilde;o, tamb&eacute;m s&atilde;o formados <strong>tr&ecirc;s<\/strong> segmentos (<strong><em>a<\/em><\/strong>,<em> <\/em><strong><em>b<\/em><\/strong><em> <\/em>e<em> <\/em><strong><em>c<\/em><\/strong>), sendo <strong><em>a <\/em><\/strong>e <strong><em>c <\/em><\/strong>localizados no exterior da circunfer&ecirc;ncia, enquanto <strong><em>b<\/em><\/strong><em> <\/em>est&aacute; no interior da circunfer&ecirc;ncia.<\/p><p>Nesse sentido, para os casos em que uma secante e uma tangente se cruzam no exterior da circunfer&ecirc;ncia, temos uma rela&ccedil;&atilde;o em que o produto do comprimento da secante pela medida da sua por&ccedil;&atilde;o externa &eacute; igual ao quadrado do comprimento da tangente. Essa defini&ccedil;&atilde;o resulta na seguinte f&oacute;rmula:<\/p><p class=\"has-text-align-center\"><strong>a . (a + b) = c<\/strong><strong><sup>2<\/sup><\/strong><\/p><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-exercicios-de-exemplo\">Exerc&iacute;cios de exemplo<\/h3><h4 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-ponto-interior\">Ponto interior<\/h4><p>Dentro de uma circunfer&ecirc;ncia, duas cordas AB e CD se cruzam no ponto P.<\/p><ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Na corda AB, os segmentos s&atilde;o AP=3 cm e PB=5 cm.<br><\/li>\n\n\n\n<li>Na corda CD, um segmento &eacute; CP=2 cm e o outro PD &eacute; desconhecido.<\/li>\n<\/ul><p>Use o teorema para encontrar PD.<\/p><details class=\"wp-block-details is-layout-flow wp-block-details-is-layout-flow\"><summary><strong>Resolu&ccedil;&atilde;o<\/strong><\/summary>\n<p><strong>Dados:<\/strong><\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Corda AB: AP=3 cm, PB=5 cm<br><\/li>\n\n\n\n<li>Corda CD: CP=2 cm, <strong>PD=?<\/strong><br><\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p><strong>Teorema (cordas que se cruzam):<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>AP&sdot;PB = CP&sdot;PD<\/p>\n\n\n\n<p><strong>C&aacute;lculo:<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>3&sdot;5 = 2&sdot;PD<\/p>\n\n\n\n<p>15 = 2&sdot;PD<\/p>\n\n\n\n<p>PD = 15\/2<\/p>\n\n\n\n<p><strong>PD = 7,5 cm<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p><\/p>\n<\/details><h4 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-ponto-externo-duas-secantes\">Ponto externo (duas secantes)<\/h4><p>De um ponto Q fora de uma circunfer&ecirc;ncia, tra&ccedil;am-se duas secantes:<\/p><ul class=\"wp-block-list\">\n<li>QAB, com QA=3 cm e AB=5 cm.<br><\/li>\n\n\n\n<li>QCD, QC=2 cm e QD desconhecido.<br><\/li>\n<\/ul><p>Sabendo que QA&times;QB = QC&times;QD, determine o valor de QD.<\/p><details class=\"wp-block-details is-layout-flow wp-block-details-is-layout-flow\"><summary><strong>Resolu&ccedil;&atilde;o<\/strong><\/summary>\n<p><strong>Dados:<\/strong><\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Secante QAB: QA = 3cm e AB = 5cm &rArr; QB = QA+AB = 3+5 = 8cm<br><\/li>\n\n\n\n<li>Secante QCD: QC = 2 cm e <strong>QD = ?<\/strong><br><\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p><strong>Teorema (duas secantes):<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>QA&sdot;QB = QC&sdot;QD<\/p>\n\n\n\n<p><strong>C&aacute;lculo:<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>3&sdot;8 = 2&sdot;QD<br>24 = 2&sdot;QD<br>QD = 24\/2&#8203;<\/p>\n\n\n\n<p><strong>QD = 12 cm<\/strong><\/p>\n<\/details><h4 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-ponto-exterior-secante-e-tangente\">Ponto exterior (secante e tangente)<\/h4><p>De um ponto P fora de uma circunfer&ecirc;ncia, tra&ccedil;am-se:<\/p><p>Uma tangente PT e uma secante PAB que intersecta a circunfer&ecirc;ncia em A e B. Sendo<strong> PT = 6 cm<\/strong> e<strong> PA=4 cm<\/strong>, calcule PB.<\/p><details class=\"wp-block-details is-layout-flow wp-block-details-is-layout-flow\"><summary><strong>Resolu&ccedil;&atilde;o<\/strong><\/summary>\n<p>Dados:<\/p>\n\n\n\n<p>Tangente PT=6 cm<\/p>\n\n\n\n<p>Secante PAB com PA=4 cm<\/p>\n\n\n\n<p>PB = ?<\/p>\n\n\n\n<p>Teorema (secante&ndash;tangente):<\/p>\n\n\n\n<p>PA&sdot;PB=PT<sup>2<\/sup><\/p>\n\n\n\n<p>C&aacute;lculo:<\/p>\n\n\n\n<p>4&sdot;PB=6<sup>2<\/sup>&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>4&sdot;PB = 36&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>PB = 36\/4 &#8203;<\/p>\n\n\n\n<p><strong>PB=9 cm<\/strong><\/p>\n<\/details><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-erros-comuns\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Erros-comuns\"><\/span>Erros comuns<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>&Eacute; importante ficar atento a alguns deslizes frequentes:<\/p><ul class=\"wp-block-list\">\n<li><strong>Usar a f&oacute;rmula errada para a posi&ccedil;&atilde;o do ponto:<\/strong> lembrar que pontos localizados no interior da circunfer&ecirc;ncia t&ecirc;m f&oacute;rmulas distintas das situa&ccedil;&otilde;es em que o ponto encontra-se no exterior da circunfer&ecirc;ncia;<\/li>\n\n\n\n<li><strong>Identifica&ccedil;&atilde;o incorreta dos segmentos:<\/strong> confundir quais segmentos multiplicar &eacute; um erro cl&aacute;ssico;&nbsp;<\/li>\n\n\n\n<li><strong>Descuidos alg&eacute;bricos:<\/strong> mesmo com a f&oacute;rmula correta, erros de c&aacute;lculo podem atrapalhar; e<\/li>\n\n\n\n<li><strong>N&atilde;o perceber que o teorema se aplica:<\/strong> muitas vezes, o problema pode ser resolvido de forma r&aacute;pida pela pot&ecirc;ncia de ponto, mas o estudante tenta caminhos mais longos.<\/li>\n<\/ul><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-questao-de-vestibular-sobre-potencia-de-ponto\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Questao-de-vestibular-sobre-potencia-de-ponto\"><\/span>Quest&atilde;o de vestibular sobre pot&ecirc;ncia de ponto<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-unesp-2014\">Unesp (2014)<\/h3><p>Em um plano horizontal encontram-se representadas uma circunfer&ecirc;ncia e as cordas AC e BD. Nas condi&ccedil;&otilde;es apresentadas na figura, determine o valor de x.<\/p><figure class=\"wp-block-image size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"209\" height=\"176\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2025\/08\/image-3.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-144454\"><\/figure><details class=\"wp-block-details is-layout-flow wp-block-details-is-layout-flow\"><summary><strong>Resolu&ccedil;&atilde;o<\/strong><\/summary>\n<p>Utilizando a f&oacute;rmula da pot&ecirc;ncia de ponto para um ponto interno &agrave; circunfer&ecirc;ncia, temos:<\/p>\n\n\n\n<p><strong>EA . EC = EB . ED<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>2x . (x + 3) = x . (3&#119909; &minus; 1)<\/p>\n\n\n\n<p>2x<sup>2<\/sup> + 6x = 3x<sup>2<\/sup> &minus; x<\/p>\n\n\n\n<p>x<sup>2<\/sup> &minus; 7x = 0<\/p>\n\n\n\n<p>x . (x &minus; 7) = 0<\/p>\n\n\n\n<p>x = 0 (n&atilde;o conv&eacute;m) ou x &minus; 7 = 0 &rArr;<strong> x = 7<\/strong><\/p>\n<\/details><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-estude-com-o-estrategia-vestibulares\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Estude-com-o-Estrategia-Vestibulares\"><\/span>Estude com o Estrat&eacute;gia Vestibulares!<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>Prepare-se para o Enem e vestibulares com os cursos da Coruja! Na plataforma do EV, voc&ecirc; ter&aacute; acesso aos melhores materiais para a sua prepara&ccedil;&atilde;o, com um banco de quest&otilde;es exclusivo, conte&uacute;dos em v&iacute;deo e pdf, al&eacute;m de f&oacute;rum de d&uacute;vidas para falar direto com os professores. 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