{"id":145143,"date":"2025-09-16T13:15:28","date_gmt":"2025-09-16T16:15:28","guid":{"rendered":"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/?p=145143"},"modified":"2025-11-06T15:12:47","modified_gmt":"2025-11-06T18:12:47","slug":"posicoes-relativas-entre-circunferencias-conceitos-e-aplicacoes","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/posicoes-relativas-entre-circunferencias-conceitos-e-aplicacoes\/","title":{"rendered":"Posi\u00e7\u00f5es relativas entre circunfer\u00eancias: conceitos e aplica\u00e7\u00f5es"},"content":{"rendered":"<p>O estudo das posi&ccedil;&otilde;es relativas entre duas circunfer&ecirc;ncias &eacute; essencial para compreender como essas figuras podem se relacionar no plano. A an&aacute;lise dessas posi&ccedil;&otilde;es depende basicamente da compara&ccedil;&atilde;o entre os raios e a dist&acirc;ncia que separa os centros.<p>Nesse sentido, &eacute; poss&iacute;vel identificar situa&ccedil;&otilde;es como circunfer&ecirc;ncias externas, tangentes, secantes, internas ou conc&ecirc;ntricas. Al&eacute;m disso, &eacute; &uacute;til para a resolu&ccedil;&atilde;o de problemas pr&aacute;ticos, pois envolve racioc&iacute;nio l&oacute;gico, visualiza&ccedil;&atilde;o espacial e desigualdades.<\/p><p>Neste texto voc&ecirc; vai aprender as diferentes posi&ccedil;&otilde;es relativas entre duas circunfer&ecirc;ncias, as condi&ccedil;&otilde;es matem&aacute;ticas envolvidas, n&uacute;mero de pontos em comum e aplica&ccedil;&otilde;es pr&aacute;ticas. Acompanhe abaixo.<\/p><p>\n\n\n\n<div class=\"cta-medio\" style=\"background-image: url(https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2024\/08\/curso-enem-e-vestibulares-2-estrategia-vestibulares-ctamedio.png.jpg);\"><h3>Pacote Vestibulares Platinum<\/h3><p>Conhe\u00e7a nosso curso<\/p><div class=\"cta-botao\"><a id=\"cta-medio\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/curso\/vestibulares-platinum\/\" target=\"_blank\" style=\"background:rgb(255,150,0)\">Compre agora<\/a><\/div><\/div>\n\n\n\n<\/p><div id=\"ez-toc-container\" class=\"ez-toc-v2_0_76 counter-hierarchy ez-toc-counter ez-toc-transparent ez-toc-container-direction\">\n<div class=\"ez-toc-title-container\"><p class=\"ez-toc-title\" style=\"cursor:inherit\">Navegue pelo conte\u00fado<\/p>\n<\/div><nav><ul class='ez-toc-list ez-toc-list-level-1 ' ><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-1\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/posicoes-relativas-entre-circunferencias-conceitos-e-aplicacoes\/#Conceitos-iniciais\" >Conceitos iniciais<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-2\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/posicoes-relativas-entre-circunferencias-conceitos-e-aplicacoes\/#Circunferencias-concentricas\" >Circunfer&ecirc;ncias conc&ecirc;ntricas<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-3\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/posicoes-relativas-entre-circunferencias-conceitos-e-aplicacoes\/#Circunferencias-externas\" >Circunfer&ecirc;ncias externas<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-4\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/posicoes-relativas-entre-circunferencias-conceitos-e-aplicacoes\/#Circunferencias-tangentes-externas\" >Circunfer&ecirc;ncias tangentes externas<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-5\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/posicoes-relativas-entre-circunferencias-conceitos-e-aplicacoes\/#Circunferencias-secantes\" >Circunfer&ecirc;ncias secantes<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-6\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/posicoes-relativas-entre-circunferencias-conceitos-e-aplicacoes\/#Circunferencias-tangentes-internas\" >Circunfer&ecirc;ncias tangentes internas<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-7\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/posicoes-relativas-entre-circunferencias-conceitos-e-aplicacoes\/#Circunferencias-internas-sem-tangencia\" >Circunfer&ecirc;ncias internas (sem tang&ecirc;ncia)<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-8\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/posicoes-relativas-entre-circunferencias-conceitos-e-aplicacoes\/#Resolucao-de-Problemas\" >Resolu&ccedil;&atilde;o de Problemas<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-9\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/posicoes-relativas-entre-circunferencias-conceitos-e-aplicacoes\/#Determinacao-do-centro-e-do-raio-a-partir-da-equacao-da-circunferencia\" >Determina&ccedil;&atilde;o do centro e do raio a partir da equa&ccedil;&atilde;o da circunfer&ecirc;ncia<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-10\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/posicoes-relativas-entre-circunferencias-conceitos-e-aplicacoes\/#Erros-comuns-e-como-evita-los\" >Erros comuns e como evit&aacute;-los<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-11\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/posicoes-relativas-entre-circunferencias-conceitos-e-aplicacoes\/#Questao-do-vestibular-sobre-posicoes-relativas-entre-circunferencias\" >Quest&atilde;o do vestibular sobre posi&ccedil;&otilde;es relativas entre circunfer&ecirc;ncias<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-12\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/posicoes-relativas-entre-circunferencias-conceitos-e-aplicacoes\/#Prepare-se-para-o-vestibular-com-o-Estrategia\" >Prepare-se para o vestibular com o Estrat&eacute;gia!<\/a><\/li><\/ul><\/nav><\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-conceitos-iniciais\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Conceitos-iniciais\"><\/span>Conceitos iniciais<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>A delimita&ccedil;&atilde;o dos<a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/elementos-da-circunferencia-definicoes-propriedades-e-aplicacoes\/\" target=\"_blank\"> elementos da circunfer&ecirc;ncia<\/a> &eacute; essencial para entendimento do conceito de posi&ccedil;&otilde;es relativas. Dentre eles temos:<\/p><ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Os centros das duas circunfer&ecirc;ncias: <em>C<\/em><em><sub>1<\/sub><\/em><em>&#8203;<\/em> e <em>C<\/em><em><sub>2<\/sub><\/em>&#8203;; e<\/li>\n\n\n\n<li>Os raios de cada uma: <em>R<\/em><em><sub>1<\/sub><\/em> e <em>R<\/em><em><sub>2<\/sub><\/em>&#8203;.<\/li>\n<\/ul><p>Para simplificar, vamos adotar a conven&ccedil;&atilde;o de que o maior raio &eacute; chamado <em>R<\/em> e o menor raio &eacute; chamado <em>r<\/em>, ou seja, <em>R &ge; r<\/em>.<\/p><p>Outro par&acirc;metro fundamental &eacute; a dist&acirc;ncia entre os centros, chamada de d. Formalmente:<\/p><p class=\"has-text-align-center\"><em>d= dist (C1,C2)<\/em><\/p><p>Toda a classifica&ccedil;&atilde;o das posi&ccedil;&otilde;es relativas se baseia na compara&ccedil;&atilde;o de d com dois valores:<\/p><ul class=\"wp-block-list\">\n<li>A soma dos raios (<em>R+r<\/em>); e<\/li>\n\n\n\n<li>A diferen&ccedil;a absoluta entre os raios (&#8739;<em>R&minus;r<\/em>&#8739; que, sob nossa conven&ccedil;&atilde;o, pode ser escrita como <em>R&minus;r<\/em>).<\/li>\n<\/ul><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-circunferencias-concentricas\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Circunferencias-concentricas\"><\/span>Circunfer&ecirc;ncias conc&ecirc;ntricas<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>Duas circunfer&ecirc;ncias s&atilde;o chamadas conc&ecirc;ntricas quando possuem o mesmo centro, ou seja:<\/p><p class=\"has-text-align-center\"><em>d=0<\/em><\/p><ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Se os raios tamb&eacute;m forem iguais (R=r), as circunfer&ecirc;ncias coincidem. Nesse caso, todos os pontos s&atilde;o comuns, e o n&uacute;mero de pontos em comum &eacute; infinito; e<\/li>\n\n\n\n<li>Se os raios forem diferentes (R&ne;r), n&atilde;o h&aacute; pontos em comum, j&aacute; que uma estar&aacute; inteiramente dentro da outra sem tocar.<\/li>\n<\/ul><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"305\" height=\"276\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-8.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-145145\" style=\"width:243px;height:auto\"><\/figure><\/div><p>Esse &eacute; um caso cl&aacute;ssico em quest&otilde;es te&oacute;ricas, em que frequentemente a dificuldade est&aacute; em lembrar que duas circunfer&ecirc;ncias conc&ecirc;ntricas n&atilde;o necessariamente coincidem.<\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-circunferencias-externas\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Circunferencias-externas\"><\/span>Circunfer&ecirc;ncias externas<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>As circunfer&ecirc;ncias s&atilde;o chamadas de externas quando permanecem totalmente separadas, sem pontos em comum. Observe:<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"425\" height=\"258\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-9.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-145146\" style=\"width:365px;height:auto\"><\/figure><\/div><p>A condi&ccedil;&atilde;o &eacute;:<\/p><p class=\"has-text-align-center\"><em>d &gt; R+r<\/em><\/p><p>Nesse caso, mesmo somando os raios, a dist&acirc;ncia entre os centros ainda &eacute; maior, impedindo qualquer contato. Portanto, o n&uacute;mero de pontos em comum &eacute; zero.<\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-circunferencias-tangentes-externas\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Circunferencias-tangentes-externas\"><\/span>Circunfer&ecirc;ncias tangentes externas<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>Nesse caso, as circunfer&ecirc;ncias est&atilde;o encostadas externamente em apenas um ponto.<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"491\" height=\"289\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-10.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-145147\" style=\"width:365px;height:auto\"><\/figure><\/div><p>A condi&ccedil;&atilde;o &eacute;:<\/p><p class=\"has-text-align-center\"><em>d=R+r.<\/em><\/p><p>O ponto de tang&ecirc;ncia localiza-se no segmento que une os centros, e o n&uacute;mero de pontos em comum &eacute; um. Quest&otilde;es do vestibular envolvendo esses conceitos s&atilde;o&nbsp; associadas ao conceito de &ldquo;tang&ecirc;ncia&rdquo; e ao c&aacute;lculo da dist&acirc;ncia entre os centros.<\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-circunferencias-secantes\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Circunferencias-secantes\"><\/span>Circunfer&ecirc;ncias secantes<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>Duas circunfer&ecirc;ncias s&atilde;o classificadas como secantes quando se cruzam em dois pontos distintos. Observe:<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"439\" height=\"284\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-11.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-145148\" style=\"width:353px;height:auto\"><\/figure><\/div><p>A condi&ccedil;&atilde;o para esse caso &eacute;:<\/p><p class=\"has-text-align-center\"><em>R&minus;r &lt; d &lt; R+r<\/em><\/p><p>A dist&acirc;ncia entre os centros n&atilde;o pode ser excessiva, pois isso as tornaria externas, nem demasiadamente pequena, o que faria uma conter a outra. Quando essa condi&ccedil;&atilde;o &eacute; atendida, os dois pontos de interse&ccedil;&atilde;o formam uma corda comum &agrave;s circunfer&ecirc;ncias, e o n&uacute;mero de pontos em comum &eacute; dois.<\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-circunferencias-tangentes-internas\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Circunferencias-tangentes-internas\"><\/span>Circunfer&ecirc;ncias tangentes internas<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>Esse caso ocorre quando uma circunfer&ecirc;ncia est&aacute; dentro da outra, mas elas se tocam em apenas um ponto.<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"326\" height=\"297\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-12.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-145149\" style=\"width:234px;height:auto\"><\/figure><\/div><p>A condi&ccedil;&atilde;o &eacute;:<\/p><p class=\"has-text-align-center\"><em>d=R&minus;r.<\/em><\/p><p>O ponto de tang&ecirc;ncia, assim como nas tangentes externas, encontra-se alinhado com os dois centros, e o n&uacute;mero de pontos em comum &eacute; um.<\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-circunferencias-internas-sem-tangencia\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Circunferencias-internas-sem-tangencia\"><\/span>Circunfer&ecirc;ncias internas (sem tang&ecirc;ncia)<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>Nesse caso, uma circunfer&ecirc;ncia encontra-se totalmente contida na outra, sem que haja pontos de contato.<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"322\" height=\"306\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-13.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-145150\" style=\"width:238px;height:auto\"><\/figure><\/div><p>A condi&ccedil;&atilde;o &eacute;:<\/p><p class=\"has-text-align-center\"><em>d&lt;R&minus;r<\/em><\/p><p>O n&uacute;mero de pontos em comum &eacute; zero.<\/p><p>&Eacute; fundamental distinguir essa situa&ccedil;&atilde;o das circunfer&ecirc;ncias conc&ecirc;ntricas com raios diferentes: aqui os centros s&atilde;o distintos, mas a dist&acirc;ncia entre eles &eacute; pequena o bastante para que a circunfer&ecirc;ncia de menor raio esteja inteiramente dentro da de maior raio.<\/p><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-resumo-nbsp\">Resumo&nbsp;<\/h3><p>Para sintetizar as informa&ccedil;&otilde;es, apresenta-se a seguir um quadro comparativo.<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"827\" height=\"273\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-20.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-145162\" style=\"width:618px;height:auto\" srcset=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-20.png 827w, https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-20-768x254.png 768w, https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-20-800x264.png 800w\" sizes=\"(max-width: 827px) 100vw, 827px\" \/><\/figure><\/div><p>Ele serve como recurso pr&aacute;tico de revis&atilde;o e deve ser bem memorizado por quem se prepara para vestibulares.<\/p><p>+ <strong>Veja Tamb&eacute;m:<\/strong> <a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/trigonometria\/\" target=\"_blank\">Trigonometria: defini&ccedil;&atilde;o e principais conceitos!<\/a><\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-resolucao-de-problemas\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Resolucao-de-Problemas\"><\/span>Resolu&ccedil;&atilde;o de Problemas<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>Os vestibulares costumam explorar esse tema de diferentes maneiras:Os vestibulares costumam explorar esse tema de diferentes maneiras:<\/p><ol class=\"wp-block-list\">\n<li><strong>Classifica&ccedil;&atilde;o direta:<\/strong> s&atilde;o fornecidos os valores de R, r e d, e &eacute; necess&aacute;rio identificar a posi&ccedil;&atilde;o relativa das circunfer&ecirc;ncias.<\/li>\n\n\n\n<li><strong>Problemas inversos:<\/strong> o enunciado descreve a posi&ccedil;&atilde;o (como tangentes internas) e fornece os raios; a tarefa &eacute; calcular a dist&acirc;ncia dentre os centros.<\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/geometria-analitica\/\" target=\"_blank\"><strong>Geometria anal&iacute;tica<\/strong><\/a><strong>:<\/strong> conhecidos os centros em coordenadas cartesianas, calcula-se ddd pela f&oacute;rmula da dist&acirc;ncia: <br>                                              <img decoding=\"async\" width=\"203\" height=\"32\" src=\"data:image\/png;base64,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\"><br>e depois compara-se com R+r;<\/li>\n\n\n\n<li> <strong>Geometria anal&iacute;tica com equa&ccedil;&otilde;es da circunfer&ecirc;ncia:<\/strong> quando o enunciado fornece a equa&ccedil;&atilde;o da circunfer&ecirc;ncia na forma geral <em>x<sup>2<\/sup>+y<sup>2<\/sup>+Ax+By+C=0<\/em>, &eacute; necess&aacute;rio determinar o centro e o raio. Com esses valores, pode-se calcular a dist&acirc;ncia entre centros e classificar a posi&ccedil;&atilde;o relativa; e<\/li>\n\n\n\n<li><strong>Propriedades associadas:<\/strong> em situa&ccedil;&otilde;es de tang&ecirc;ncia, pode ser exigida a equa&ccedil;&atilde;o da reta tangente; em casos de secantes, o c&aacute;lculo do comprimento da corda comum pode ser explorado. pode ser explorado.<\/li>\n<\/ol><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-determinacao-do-centro-e-do-raio-a-partir-da-equacao-da-circunferencia\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Determinacao-do-centro-e-do-raio-a-partir-da-equacao-da-circunferencia\"><\/span>Determina&ccedil;&atilde;o do centro e do raio a partir da equa&ccedil;&atilde;o da circunfer&ecirc;ncia<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>Um ponto importante na an&aacute;lise das posi&ccedil;&otilde;es relativas entre circunfer&ecirc;ncias &eacute; saber identificar o centro e o raio a partir da equa&ccedil;&atilde;o da circunfer&ecirc;ncia. Muitas quest&otilde;es de vestibular pedem para classificar a posi&ccedil;&atilde;o de duas circunfer&ecirc;ncias a partir delas.&nbsp;&nbsp;<\/p><p>A forma geral de uma circunfer&ecirc;ncia &eacute;:<\/p><p class=\"has-text-align-center\"><em>x<\/em><em><sup>2<\/sup><\/em><em>+y<\/em><em><sup>2<\/sup><\/em><em>+Ax+By+C=0<\/em><\/p><p>Para facilitar o entendimento vamos fazer o passo a passo com um exemplo num&eacute;rico. Considere a equa&ccedil;&atilde;o:<\/p><p class=\"has-text-align-center\"><em>x<\/em><em><sup>2<\/sup><\/em><em>+y<\/em><em><sup>2<\/sup><\/em><em>&minus;6x+4y&minus;3=0<\/em><\/p><p>Para descobrir o centro e o raio, completa-se o quadrado:<br><strong>Passo 1:<\/strong> agrupa os termos de x e y<\/p><p class=\"has-text-align-center\"><em>(x<\/em><em><sup>2<\/sup><\/em><em>&minus;6x)+(y<\/em><em><sup>2<\/sup><\/em><em>+4y)=3<\/em><\/p><p><strong>Passo 2:<\/strong> Completa-se o quadrado de cada vari&aacute;vel:<\/p><p class=\"has-text-align-center\"><em>(x<\/em><em><sup>2<\/sup><\/em><em>&minus;6x+9)&minus;9+(y<\/em><em><sup>2<\/sup><\/em><em>+4y+4)&minus;4=3<\/em><\/p><p><strong>Passo 3:<\/strong> Isola-se a soma dos quadrados e organiza-se os termos:<\/p><p class=\"has-text-align-center\"><em>(x&minus;3)<\/em><em><sup>2<\/sup><\/em><em>+(y+2)<\/em><em><sup>2<\/sup><\/em><em>=16<\/em><\/p><p>O centro &eacute; (3,&minus;2).<\/p><p>O raio &eacute;:<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"135\" height=\"46\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-17.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-145154\" style=\"width:91px;height:auto\"><\/figure><\/div><p>Com esses valores, j&aacute; &eacute; poss&iacute;vel comparar com outra circunfer&ecirc;ncia usando as condi&ccedil;&otilde;es que estudamos (d, R+r, R&minus;r) para determinar se elas s&atilde;o externas, tangentes, secantes ou internas.<\/p><p>Esse procedimento conecta diretamente a geometria anal&iacute;tica com o estudo das posi&ccedil;&otilde;es relativas entre circunfer&ecirc;ncias, tornando mais f&aacute;cil resolver problemas de vestibular.<\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-erros-comuns-e-como-evita-los\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Erros-comuns-e-como-evita-los\"><\/span>Erros comuns e como evit&aacute;-los<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>&Eacute; comum, nesse conte&uacute;do, surgirem alguns erros frequentes:<\/p><ul class=\"wp-block-list\">\n<li><strong>Troca de desigualdades: <\/strong>muitos confundem d&gt;R+r (circunfer&ecirc;ncias externas) com d&lt;R+r (possibilidade de contato). A dica &eacute; sempre raciocinar em termos de aproxima&ccedil;&atilde;o ou afastamento dos centros;<\/li>\n\n\n\n<li><strong>Esquecimento do valor absoluto: <\/strong>quando n&atilde;o se sabe qual raio &eacute; maior, &eacute; indispens&aacute;vel usar &#8739;R&minus;r&#8739; para evitar conclus&otilde;es incorretas;&nbsp;<\/li>\n\n\n\n<li><strong>Aus&ecirc;ncia de esbo&ccedil;o: <\/strong>deixar de desenhar a situa&ccedil;&atilde;o pode dificultar a compreens&atilde;o; um simples esquema costuma esclarecer a posi&ccedil;&atilde;o relativa; e<\/li>\n\n\n\n<li><strong>Confus&atilde;o entre casos internos: <\/strong>&eacute; comum confundir tang&ecirc;ncia interna com secantes. &Eacute; essencial lembrar: tang&ecirc;ncia = 1 ponto de contato; secante = 2 pontos de interse&ccedil;&atilde;o.<\/li>\n<\/ul><p>\n\n\n\n<div id=\"new-form\">\n\t<form id=\"forms_layout\">\n\t<input type=\"hidden\" id=\"chave_de\" name=\"chave_de\" value=\"01_EVEST_LEADS_TOTAIS\" \/>\n\t\t<input type=\"hidden\" id=\"mid\" name=\"mid\" value=\"515008983\" \/>\n\t\t<input type=\"hidden\" id=\"Objetivo\" name=\"Objetivo\" value=\"Vestibulares\" \/>\n\t\t<input type=\"hidden\" id=\"Estado_de_Origem_do_IP\" name=\"Estado_de_Origem_do_IP\"  value=\"\" \/>\n\t\t<input type=\"hidden\" id=\"Cidade_de_Origem_do_IP\" name=\"Cidade_de_Origem_do_IP\" value=\"\" \/>\n\t\t<input type=\"hidden\" id=\"Modo_de_entrada\" name=\"Modo_de_entrada\" value=\"Portal\" \/>\n\t\t<input type=\"hidden\" id=\"Pagina_Origem\" name=\"Pagina_Origem\" value=\"\" \/>\n\n\t\t<div class=\"texto\">\n\t\t\t<h3 class=\"news\">Inscreva-se em nossa newsletter\ud83e\udd89<\/h3>\n\t\t\t<p>Receba dicas de estudo gratuitas e saiba em primeira m\u00e3o as novidades sobre o Enem, Sisu, Encceja, Fuvest e outros vestibulares!<\/p>\n\t\t<\/div>\n\t\t<div class=\"campos\">\n\t\t\t<div class=\"first_name labels\">\n\t\t\t\t<input type=\"text\" class=\"input_labels\" id=\"first_name\" name=\"Nome_Completo\" placeholder=\"Nome\" required \/>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<div class=\"email labels\">\n\t\t\t\t<input type=\"email\" class=\"input_labels\" id=\"email\" name=\"Email\" placeholder=\"E-mail\" required \/>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<button type=\"submit\" class=\"button_layout\">\n\t\t\t\t<div id=\"lblBotao\">Inscreva-se<\/div>\n\t\t\t\t<span id=\"divSpiner\" class=\"loader\" role=\"status\" style=\"display: none;\"><\/span>\t\n\t\t\t<\/button>\n\t\t<\/div><!-- \/campos -->\n\t\t\n\t\t<label class=\"container_checkbox\">Voc\u00ea concorda com a nossa\n\t\t\t<a class=\"politics_privacy_ahref\" target=\"_blank\" href=\"https:\/\/gratis.estrategiaconcursos.com.br\/politica-de-privacidade\/\">Pol\u00edtica de Privacidade<\/a> e aceita receber informa\u00e7\u00f5es adicionais do Estrat\u00e9gia Educacional.\n\t\t\t<input id=\"checkbox_layout\" type=\"checkbox\" checked=\"checked\" required \/>\n\t\t\t<span class=\"checkbox\"><\/span>\n\t\t<\/label>\n\t\t<div id=\"msg\"><\/div>\n\t\t<div id=\"error\" class=\"error\">\n\t\t<\/div>\n\t<\/form>\n<\/div><!-- \/new-form -->\n\n\n\n<\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-questao-do-vestibular-sobre-posicoes-relativas-entre-circunferencias\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Questao-do-vestibular-sobre-posicoes-relativas-entre-circunferencias\"><\/span>Quest&atilde;o do vestibular sobre posi&ccedil;&otilde;es relativas entre circunfer&ecirc;ncias<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-simulado-eear-2023\">Simulado EEAR 2023<\/h3><p>Sobre a posi&ccedil;&atilde;o relativa entre duas circunfer&ecirc;ncias &#119862;&#8321; e &#119862;&#8322; dadas a seguir, &eacute; correto afirmar que s&atilde;o:<\/p><p>&#119862;&#8321;: &#119909;&sup2; + &#119910;&sup2; &ndash; 4&#119909; &ndash; 8&#119910; + 19 = 0<\/p><p>&#119862;&#8322;: &#119909;&sup2; + &#119910;&sup2; &ndash; 10&#119909; &ndash; 4&#119910; + 25 = 0<\/p><p><strong>A) <\/strong>Externas<br><strong>B) <\/strong>Secantes<br><strong>C) <\/strong>Tangentes<br><strong>D) <\/strong>Conc&ecirc;ntricas<\/p><details class=\"wp-block-details is-layout-flow wp-block-details-is-layout-flow\"><summary><strong>Resposta:<\/strong><\/summary>\n<p>Reescrevendo as equa&ccedil;&otilde;es das circunfer&ecirc;ncias:<\/p>\n\n\n\n<p>&#119862;&#8321;: &#119909;&sup2; + &#119910;&sup2; &ndash; 4&#119909; &ndash; 8&#119910; + 19 = 0<\/p>\n\n\n\n<p>&#119862;&#8321;: (&#119909; &ndash; 2)&sup2; + (&#119910; &ndash; 4)&sup2; = 1&sup2;<\/p>\n\n\n\n<p>&#119862;&#8322;: &#119909;&sup2; + &#119910;&sup2; &ndash; 10&#119909; &ndash; 4&#119910; + 25 = 0<\/p>\n\n\n\n<p>&#119862;&#8322;: (&#119909; &ndash; 5)&sup2; + (&#119910; &ndash; 2)&sup2; = 2&sup2;<\/p>\n\n\n\n<p>Note que:<\/p>\n\n\n\n<p>C<sub>1<\/sub>(2, 4) e r<sub>1<\/sub>= 1<br>C<sub>2<\/sub>(5, 2) e r<sub>2<\/sub> = 2<\/p>\n\n\n\n<p>Para determinar a posi&ccedil;&atilde;o relativa entre as circunfer&ecirc;ncias:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"372\" height=\"51\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-18.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-145156\" style=\"width:283px;height:auto\"><\/figure>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"129\" height=\"46\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-19.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-145157\" style=\"width:96px;height:auto\"><\/figure>\n\n\n\n<p>Logo, como &#119889; &gt; &#119903;&#8321; + &#119903;&#8322; ent&atilde;o as circunfer&ecirc;ncias s&atilde;o externas.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Alternativa correta:<br>A<\/strong><\/p>\n<\/details><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-prepare-se-para-o-vestibular-com-o-estrategia\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Prepare-se-para-o-vestibular-com-o-Estrategia\"><\/span>Prepare-se para o vestibular com o Estrat&eacute;gia!<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>Nos cursos preparat&oacute;rios da Coruja, os alunos s&atilde;o treinados para conectar diferentes &aacute;reas do conhecimento e aplicar essas informa&ccedil;&otilde;es em simulados e provas.<\/p><p>As aulas s&atilde;o ministradas por professores especialistas, com nossos Livros Digitais Interativos (LDI), al&eacute;m de contar com simulados exclusivos. 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