{"id":145617,"date":"2025-09-29T17:52:15","date_gmt":"2025-09-29T20:52:15","guid":{"rendered":"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/?p=145617"},"modified":"2025-10-21T09:48:15","modified_gmt":"2025-10-21T12:48:15","slug":"poligonos-inscritos-em-uma-circunferencia-definicao-e-propriedades","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/poligonos-inscritos-em-uma-circunferencia-definicao-e-propriedades\/","title":{"rendered":"Pol\u00edgonos inscritos em uma circunfer\u00eancia: defini\u00e7\u00e3o e propriedades"},"content":{"rendered":"<p>Um tema que recentemente vem sendo bastante explorado nos vestibulares, envolvendo diversos conceitos de geometria, &eacute; a inscri&ccedil;&atilde;o de pol&iacute;gonos na circunfer&ecirc;ncia, principalmente pol&iacute;gonos regulares, por conta que envolvem problemas com simetria de figuras, al&eacute;m de rela&ccedil;&otilde;es entre figuras e problemas com ap&oacute;tema e calculo do lado das figuras.<p>Veja mais sobre o assunto no artigo do Estrat&eacute;gia Vestibulares.<\/p><p>\n\n\n\n<div class=\"cta-medio\" style=\"background-image: url(https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2024\/08\/curso-enem-1-estrategia-vestibulares-ctamedio.jpg);\"><h3>Pacote Enem TOP <\/h3> <p>Estude com o Estrat\u00e9gia Vestibulares<\/p><div class=\"cta-botao\"><a id=\"cta-medio\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/curso\/enem-top\/\" target=\"_blank\" style=\"background:rgb(255,150,0)\">Saiba mais<\/a><\/div><\/div>\n\n\n\n<\/p><div id=\"ez-toc-container\" class=\"ez-toc-v2_0_76 counter-hierarchy ez-toc-counter ez-toc-transparent ez-toc-container-direction\">\n<div class=\"ez-toc-title-container\"><p class=\"ez-toc-title\" style=\"cursor:inherit\">Navegue pelo conte\u00fado<\/p>\n<\/div><nav><ul class='ez-toc-list ez-toc-list-level-1 ' ><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-1\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/poligonos-inscritos-em-uma-circunferencia-definicao-e-propriedades\/#Definicao-de-poligono-inscrito\" >Defini&ccedil;&atilde;o de pol&iacute;gono inscrito<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-2\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/poligonos-inscritos-em-uma-circunferencia-definicao-e-propriedades\/#Poligonos-regulares-inscritos\" >Pol&iacute;gonos regulares inscritos<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-3\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/poligonos-inscritos-em-uma-circunferencia-definicao-e-propriedades\/#Propriedade-dos-principais-poligonos-regulares-inscritos\" >Propriedade dos principais pol&iacute;gonos regulares inscritos<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-4\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/poligonos-inscritos-em-uma-circunferencia-definicao-e-propriedades\/#Questoes-sobre-poligonos-inscritos\" >Quest&otilde;es sobre pol&iacute;gonos inscritos<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-5\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/poligonos-inscritos-em-uma-circunferencia-definicao-e-propriedades\/#Alcance-a-aprovacao-com-o-Estrategia-Vestibulares\" >Alcance a aprova&ccedil;&atilde;o com o Estrat&eacute;gia Vestibulares!<\/a><\/li><\/ul><\/nav><\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-definicao-de-poligono-inscrito\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Definicao-de-poligono-inscrito\"><\/span>Defini&ccedil;&atilde;o de pol&iacute;gono inscrito<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>De modo geral, definimos que um pol&iacute;gono est&aacute; inscrito em uma circunfer&ecirc;ncia se todos os seus v&eacute;rtices pertencem &agrave; circunfer&ecirc;ncia que o envolve, como mostrado na figura a seguir. Assim, podemos afirmar que o pol&iacute;gono est&aacute; inscrito na circunfer&ecirc;ncia e que a circunfer&ecirc;ncias est&aacute; circunscrita ao pol&iacute;gono.<\/p><figure class=\"wp-block-image size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"329\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-67-1.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-145645\" style=\"width:470px;height:auto\" srcset=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-67-1.jpg 1024w, https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-67-1-768x247.jpg 768w, https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-67-1-800x257.jpg 800w\" sizes=\"(max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/figure><p>No dia a dia, diversas constru&ccedil;&otilde;es arquitet&ocirc;nicas e designers utilizam da circunscri&ccedil;&atilde;o, como para montar c&uacute;pulas e elementos das catedrais, al&eacute;m das constru&ccedil;&otilde;es geom&eacute;tricas, a circunscri&ccedil;&atilde;o tem variadas aplica&ccedil;&otilde;es trigonom&eacute;tricas.<\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-poligonos-regulares-inscritos\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Poligonos-regulares-inscritos\"><\/span>Pol&iacute;gonos regulares inscritos<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>A import&acirc;ncia dos pol&iacute;gonos regulares &eacute; que eles apresentam propriedades que realmente simplificam os c&aacute;lculos. Nesse tipo de pol&iacute;gonos, todos os lados e &acirc;ngulos internos s&atilde;o congruentes, com tal simetria, mesmo tendo apenas a medida de um lado &eacute; poss&iacute;vel achar a &aacute;rea, ap&oacute;tema, &acirc;ngulos internos, etc.<\/p><p>Outra vantagem desse tipo de figura &eacute; que elas podem ser decompostas em tri&acirc;ngulos is&oacute;sceles id&ecirc;nticos, transformando um problema complexo em um simples e &aacute;rea de tri&acirc;ngulos. Os raios da circunfer&ecirc;ncia que ligam os v&eacute;rtices do pol&iacute;gono inscritos ao centro dele s&atilde;o os lados do tri&acirc;ngulo.<\/p><p>Um conceito muito utilizado &eacute; o ap&oacute;tema, ele pode ser definido como um segmento de reta especial que parte do centro de um pol&iacute;gono regular e alcan&ccedil;a o ponto m&eacute;dio de um de seus lados, sempre formando um &acirc;ngulo reto com esse lado, ou seja, sendo perpendicular a ele.<\/p><p>H&aacute;, ainda, o conceito de circuncentro da figura, que &eacute; o ponto central da circunfer&ecirc;ncia circunscrita, que coincide com o centro dos pol&iacute;gonos regulares inscritos. Do centro, saindo dois raios vizinhos at&eacute; o v&eacute;rtice, temos o &acirc;ngulo central do pol&iacute;gono, que &eacute; constante =360&deg;\/n.<\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-propriedade-dos-principais-poligonos-regulares-inscritos\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Propriedade-dos-principais-poligonos-regulares-inscritos\"><\/span>Propriedade dos principais pol&iacute;gonos regulares inscritos<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-triangulo-equilatero\">Tri&acirc;ngulo equil&aacute;tero<\/h3><p>Dado um tri&acirc;ngulo equil&aacute;tero, com os tr&ecirc;s lados de mesma medida, inscrito em uma circunfer&ecirc;ncia de<strong> raio R<\/strong>.<\/p><figure class=\"wp-block-image size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"210\" height=\"214\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-52.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-145625\"><\/figure><p>O lado L &eacute; dado por<em> L=R&radic;3<\/em>, portanto o per&iacute;metro ser&aacute; o triplo disso (<em>P=3L=3R&radic;3<\/em>). A altura &eacute; <em>h=3R\/2<\/em>, o ap&oacute;tema &eacute;<em> a=R\/2<\/em>, porque o centro do tri&acirc;ngulo equil&aacute;tero divide a altura na raz&atilde;o 2:1. Como a altura &eacute; <em>h=3R\/2<\/em>, a dist&acirc;ncia do centro ao lado (ap&oacute;tema) &eacute; &#8531; da altura.<\/p><p>Com os valores dos lados, encontramos a &aacute;rea pela seguinte rela&ccedil;&atilde;o:&nbsp;<\/p><figure class=\"wp-block-image size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"363\" height=\"29\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-53.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-145626\"><\/figure><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-quadrado\">Quadrado<\/h3><p>A diagonal do quadrado &eacute; exatamente <em>d=2R<\/em>, enquanto o lado vai ser <em>L=R&radic;2<\/em>, sendo o per&iacute;metro&nbsp; <em>P=4L=4R&radic;2<\/em>, pois: <\/p><figure class=\"wp-block-image size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"462\" height=\"34\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-54.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-145627\"><\/figure><figure class=\"wp-block-image size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"257\" height=\"193\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-50.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-145623\"><\/figure><p>A per&iacute;metro ser&aacute; P=4L=4R&radic;2 e o ap&oacute;tema, sendo a dist&acirc;ncia do centro do quadrado at&eacute; um dos lados, vai ser metade do lado <em>a=L\/2=(R&radic;2)\/2<\/em>. Sua &aacute;rea vai ser <\/p><figure class=\"wp-block-image size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"160\" height=\"39\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-56.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-145629\"><\/figure><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-hexagono\">Hex&aacute;gono<\/h3><p>O hex&aacute;gono regular vai apresentar o lado L igual ao raio (<em>L=R<\/em>), isso ocorre por conta que o hex&aacute;gono pode ser dividido em 6 tri&acirc;ngulos equil&aacute;teros congruentes, com isso o raio coincide com o tamanho L.<\/p><p>O per&iacute;metro vai ser <em>P=6L=6R<\/em>, enquanto o ap&oacute;tema vai ser a altura de um dos tri&acirc;ngulos equil&aacute;teros que formam o hex&aacute;gono<em> a = (R&radic;3)\/2<\/em> e a &aacute;rea: <\/p><figure class=\"wp-block-image size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"659\" height=\"546\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-67.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-145644\" style=\"width:291px;height:auto\"><\/figure><p>Conforme mostra a figura, temos um hex&aacute;gono inscrito e &eacute; poss&iacute;vel dividi-lo em 6 tri&acirc;ngulos equil&aacute;teros. A partir de um desses tri&acirc;ngulos e usando o teorema de Pit&aacute;goras &eacute; not&aacute;vel a rela&ccedil;&atilde;o entre o raio, metade do lado e o ap&oacute;tema: R2=l2\/4+a2 .<\/p><p>Usando a simetria, sabemos que o &acirc;ngulo central no hex&aacute;gono vai ser 60&deg;, pois<\/p><figure class=\"wp-block-image size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"138\" height=\"25\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-59.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-145632\"><\/figure><p>O novo &acirc;ngulo formado pr&oacute;ximo ao centro O do tri&acirc;ngulo ret&acirc;ngulo formado ser&aacute; metade do &acirc;ngulo central:<\/p><figure class=\"wp-block-image size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"113\" height=\"26\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-58.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-145631\"><\/figure><p><\/p><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-poligonos-nao-regulares\">Pol&iacute;gonos n&atilde;o regulares<\/h3><p>Os <strong>pol&iacute;gonos n&atilde;o regulares inscritos<\/strong> s&atilde;o figuras geom&eacute;tricas que possuem todos os seus v&eacute;rtices localizados exatamente sobre uma mesma circunfer&ecirc;ncia. A principal caracter&iacute;stica que os diferencia dos pol&iacute;gonos regulares &eacute; que, apesar de estarem todos dentro de um c&iacute;rculo, eles n&atilde;o apresentam lados com o mesmo comprimento nem &acirc;ngulos internos iguais entre si. Isso significa que suas medidas podem variar bastante, mesmo que todos os v&eacute;rtices estejam distribu&iacute;dos sobre a borda do c&iacute;rculo.<\/p><p>Para que um pol&iacute;gono seja considerado <strong>inscrit&iacute;vel<\/strong>, ou seja, possa ser constru&iacute;do dentro de uma circunfer&ecirc;ncia, a &uacute;nica exig&ecirc;ncia &eacute; que todos os seus v&eacute;rtices toquem a circunfer&ecirc;ncia. Assim, n&atilde;o h&aacute; necessidade de que o pol&iacute;gono seja regular, bastando apenas que essa condi&ccedil;&atilde;o seja satisfeita.<\/p><p>Tri&acirc;ngulos escalenos e ret&acirc;ngulos s&atilde;o &oacute;timos exemplos, e para resolver problemas que envolvem este tipo de figura n&atilde;o apresenta uma f&oacute;rmula a ser seguida por conta da falta de simetria. Em suma, utilizam a Lei dos Senos e Cossenos, ou outras propriedades espec&iacute;ficas para resolver este tipo de problema.&nbsp;<\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-questoes-sobre-poligonos-inscritos\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Questoes-sobre-poligonos-inscritos\"><\/span>Quest&otilde;es sobre pol&iacute;gonos inscritos<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-centro-universitario-sao-lucas-2018\">Centro Universit&aacute;rio S&atilde;o Lucas (2018)<\/h3><p>Sobre pol&iacute;gonos regulares, marque V para as afirmativas verdadeiras e F para as falsas.<\/p><p>( &nbsp; ) O ap&oacute;tema de um tri&acirc;ngulo equil&aacute;tero inscrito &eacute; ap&#8323; = R\/2.<\/p><p>( &nbsp; ) O ap&oacute;tema de um quadrado circunscrito &eacute; ap&#8324; = R.<\/p><p>( &nbsp; ) O ap&oacute;tema de um hex&aacute;gono circunscrito &eacute; ap&#8326; = R.<\/p><p>( &nbsp; ) O ap&oacute;tema de um tri&acirc;ngulo equil&aacute;tero circunscrito &eacute; ap&#8323; = R&radic;3<\/p><p>A sequ&ecirc;ncia est&aacute; correta em<\/p><p><strong>A)<\/strong> V, V, V, V<br><strong>B)<\/strong> V, F, V, V<br><strong>C)<\/strong> F, F, V, V<br><strong>D)<\/strong> V, V, V, F<\/p><p><\/p><details class=\"wp-block-details is-layout-flow wp-block-details-is-layout-flow\"><summary><strong>Resposta<\/strong><\/summary>\n<p>Alternativa correta: <strong>D<\/strong><\/p>\n<\/details><p><\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-alcance-a-aprovacao-com-o-estrategia-vestibulares\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Alcance-a-aprovacao-com-o-Estrategia-Vestibulares\"><\/span>Alcance a aprova&ccedil;&atilde;o com o Estrat&eacute;gia Vestibulares!<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>Aqui no EV, voc&ecirc; encontra os melhores e mais completos conte&uacute;dos selecionados com os assuntos mais cobrados nos vestibulares. 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