{"id":145693,"date":"2025-09-30T11:50:45","date_gmt":"2025-09-30T14:50:45","guid":{"rendered":"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/?p=145693"},"modified":"2025-10-08T10:50:12","modified_gmt":"2025-10-08T13:50:12","slug":"posicoes-relativas-entre-reta-e-circunferencia","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/posicoes-relativas-entre-reta-e-circunferencia\/","title":{"rendered":"Posi\u00e7\u00f5es Relativas entre Reta e Circunfer\u00eancia"},"content":{"rendered":"<p>Um dos t&oacute;picos mais cobrados que relaciona Geometria Pura e Anal&iacute;tica, que aparece com frequ&ecirc;ncia no Enem e outros vestibulares, &eacute; o estudo das <strong>posi&ccedil;&otilde;es relativas entre reta e circunfer&ecirc;ncia<\/strong>.&nbsp;<p>Esse conte&uacute;do aborda c&aacute;lculos de geometria anal&iacute;tica com a combina&ccedil;&atilde;o da equa&ccedil;&atilde;o da reto juntamente com equa&ccedil;&atilde;o que descreve a circunfer&ecirc;ncia. Veja mais sobre esse assunto no artigo do EV a seguir:<\/p><p>\n\n\n\n<div class=\"cta-medio\" style=\"background-image: url(https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2024\/08\/curso-enem-1-estrategia-vestibulares-ctamedio.jpg);\"><h3>Pacote Enem TOP <\/h3> <p>Estude com o Estrat\u00e9gia Vestibulares<\/p><div class=\"cta-botao\"><a id=\"cta-medio\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/curso\/enem-top\/\" target=\"_blank\" style=\"background:rgb(255,150,0)\">Saiba mais<\/a><\/div><\/div>\n\n\n\n<\/p><div id=\"ez-toc-container\" class=\"ez-toc-v2_0_76 counter-hierarchy ez-toc-counter ez-toc-transparent ez-toc-container-direction\">\n<div class=\"ez-toc-title-container\"><p class=\"ez-toc-title\" style=\"cursor:inherit\">Navegue pelo conte\u00fado<\/p>\n<\/div><nav><ul class='ez-toc-list ez-toc-list-level-1 ' ><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-1\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/posicoes-relativas-entre-reta-e-circunferencia\/#Elementos-Principais\" >Elementos Principais<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-2\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/posicoes-relativas-entre-reta-e-circunferencia\/#Retas-e-numero-de-interseccoes\" >Retas e n&uacute;mero de intersec&ccedil;&otilde;es<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-3\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/posicoes-relativas-entre-reta-e-circunferencia\/#Visao-geral\" >Vis&atilde;o geral<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-4\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/posicoes-relativas-entre-reta-e-circunferencia\/#Questoes-sobre-posicao-relativa-entre-circunferencia-e-reta\" >Quest&otilde;es sobre posi&ccedil;&atilde;o relativa entre circunfer&ecirc;ncia e reta<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-5\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/posicoes-relativas-entre-reta-e-circunferencia\/#Alcance-a-aprovacao-com-o-Estrategia-Vestibulares\" >Alcance a aprova&ccedil;&atilde;o com o Estrat&eacute;gia Vestibulares!<\/a><\/li><\/ul><\/nav><\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-elementos-principais\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Elementos-Principais\"><\/span>Elementos Principais<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>A posi&ccedil;&atilde;o que uma reta ocupa em rela&ccedil;&atilde;o a uma circunfer&ecirc;ncia tem diferentes classifica&ccedil;&otilde;es, cada uma com suas propriedades e caracter&iacute;sticas. Para compreend&ecirc;-las veja os principais elementos que comp&otilde;em essas figuras geom&eacute;tricas.<\/p><p>Primeiramente a <strong>circunfer&ecirc;ncia<\/strong>, ela &eacute; um dos conceitos fundamentais da Geometria Plana. Para entend&ecirc;-la, imagine um ponto fixo em um plano, chamado centro (C). A partir desse ponto, considere todos os pontos que est&atilde;o exatamente a uma mesma dist&acirc;ncia dele.&nbsp;<\/p><p>O conjunto formado por esses pontos gera uma linha curva fechada chamada de circunfer&ecirc;ncia. A dist&acirc;ncia constante entre o centro (ponto rosa) e qualquer ponto da circunfer&ecirc;ncia recebe o nome de raio (r).<\/p><figure class=\"wp-block-image size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"395\" height=\"375\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-73.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-145701\" style=\"width:169px;height:auto\"><\/figure><p>Outro elemento associado &agrave; circunfer&ecirc;ncia &eacute; o <strong>di&acirc;metro<\/strong> (d). Ele corresponde ao segmento de reta que atravessa o centro e conecta dois pontos opostos da circunfer&ecirc;ncia. Por defini&ccedil;&atilde;o, o comprimento do di&acirc;metro &eacute; o dobro do raio (d=2r).<\/p><p>Ainda sobre a circunfer&ecirc;ncia temos a <strong>corda<\/strong>, segmento de reta que une dois pontos distintos da circunfer&ecirc;ncia, podendo ter diferentes comprimentos &mdash; sendo o di&acirc;metro a maior corda poss&iacute;vel.&nbsp;<\/p><figure class=\"wp-block-image size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"583\" height=\"416\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-74.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-145702\" style=\"width:307px;height:auto\"><\/figure><p>A <strong>reta<\/strong> pode ser compreendida como uma linha infinita, sem curvas, que se prolonga indefinidamente em ambas as dire&ccedil;&otilde;es. No plano cartesiano, ela &eacute; descrita por uma equa&ccedil;&atilde;o, geralmente em sua forma geral: ax+by+c=0, em que a, b e c s&atilde;o n&uacute;meros reais. Essa representa&ccedil;&atilde;o expressa a ideia de que a reta &eacute; formada por uma sucess&atilde;o infinita de pontos alinhados, que seguem sempre a mesma dire&ccedil;&atilde;o.<\/p><p>Imagine-se no centro de uma rotat&oacute;ria e precisando chegar o mais r&aacute;pido poss&iacute;vel a uma cal&ccedil;ada reta que passa ao lado. O caminho mais curto ser&aacute; sempre em linha reta, formando um &acirc;ngulo de 90&deg; com a cal&ccedil;ada.<\/p><p>De maneira an&aacute;loga, ao analisar uma <strong>reta e uma circunfer&ecirc;ncia<\/strong>, a dist&acirc;ncia <em>d <\/em>entre o centro da circunfer&ecirc;ncia e a reta &eacute; essencial para compreender a posi&ccedil;&atilde;o relativa entre as figuras.&nbsp;<\/p><p>Essa dist&acirc;ncia corresponde ao <strong>menor caminho poss&iacute;vel<\/strong> entre o ponto C e qualquer ponto da reta, ou seja, ao comprimento do segmento perpendicular que liga o centro da circunfer&ecirc;ncia &agrave; reta.&nbsp;<\/p><p>Para encontrar o valor de <strong><em>d<\/em><\/strong>, utilizamos uma f&oacute;rmula espec&iacute;fica da geometria anal&iacute;tica para calcular a dist&acirc;ncia entre um ponto e uma reta. Dado um ponto (centro da circunfer&ecirc;ncia neste caso) com coordenadas C(x0&#8203;,y0&#8203;) e uma reta na forma <strong>ax+by+c=0<\/strong>. Temos que:<\/p><figure class=\"wp-block-image size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"245\" height=\"98\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-71.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-145696\"><\/figure><p>O <strong>numerador<\/strong> representa o valor absoluto do resultado obtido ao substituir as coordenadas do centro (x0,y0) na equa&ccedil;&atilde;o da reta, garantindo que a dist&acirc;ncia seja sempre positiva. J&aacute; o <strong>denominador<\/strong> corresponde &agrave; raiz quadrada da soma dos quadrados dos coeficientes a e b da reta.<\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-retas-e-numero-de-interseccoes\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Retas-e-numero-de-interseccoes\"><\/span>Retas e n&uacute;mero de intersec&ccedil;&otilde;es<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-reta-secante\">Reta secante<\/h3><p>Imagine uma pizza perfeitamente redonda sobre uma mesa. Se voc&ecirc; pegar uma faca e fizer um corte reto que atravesse a pizza, a linha do seu corte representa uma <strong>reta secante<\/strong>. Ela entra por um lado e sai pelo outro. &Eacute; exatamente essa a ideia geom&eacute;trica.&nbsp;<\/p><p>Uma reta &eacute; classificada como <strong>secante<\/strong> a uma circunfer&ecirc;ncia quando sua trajet&oacute;ria a leva a cruzar o interior da circunfer&ecirc;ncia. Essa &ldquo;invas&atilde;o&rdquo; do espa&ccedil;o interno da circunfer&ecirc;ncia resulta na exist&ecirc;ncia de <strong>dois pontos distintos<\/strong> que pertencem tanto &agrave; reta quanto &agrave; circunfer&ecirc;ncia.<\/p><figure class=\"wp-block-image size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"650\" height=\"528\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-75.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-145703\" style=\"width:266px;height:auto\"><\/figure><p>Esses <strong>dois pontos<\/strong> (interse&ccedil;&atilde;o), vamos cham&aacute;-los de P1&#8203; e P2&#8203;, definem um segmento de reta muito importante: a <strong>corda<\/strong>. Toda reta secante, ao cruzar uma circunfer&ecirc;ncia, gera uma corda interna a ela.<\/p><p>Se a menor dist&acirc;ncia da reta ao centro (d) &eacute; <strong>menor<\/strong> que a dist&acirc;ncia da fronteira ao centro (r), isso significa que a reta <strong>obrigatoriamente<\/strong> passou por dentro da &aacute;rea delimitada pela circunfer&ecirc;ncia. Se ela entrar na &aacute;rea, ela ter&aacute; que sair, e &eacute; nesse trajeto de entrada e sa&iacute;da que os dois pontos de interse&ccedil;&atilde;o s&atilde;o criados.<\/p><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-reta-tangente\">Reta Tangente<\/h3><p>A reta tangente &eacute; um caso especial da rela&ccedil;&atilde;o entre uma reta e uma circunfer&ecirc;ncia. Ela acontece quando a reta toca a circunfer&ecirc;ncia em um &uacute;nico ponto, chamado ponto de tang&ecirc;ncia.<\/p><p>Para a reta ser tangente, &eacute; preciso que a <strong>dist&acirc;ncia entre o centro da circunfer&ecirc;ncia e a reta seja exatamente igual &agrave; do raio<\/strong>. Essa condi&ccedil;&atilde;o garante que a reta n&atilde;o corte e nem fique afastada, mas apenas toque a curva.<\/p><figure class=\"wp-block-image size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"635\" height=\"564\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-76.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-145704\" style=\"width:319px;height:auto\"><\/figure><p>A <strong>propriedade fundamental da tangente<\/strong> diz que: o <strong>raio que liga o centro da circunfer&ecirc;ncia ao ponto de tang&ecirc;ncia &eacute; sempre perpendicular (forma um &acirc;ngulo de 90&deg;) &agrave; reta tangente<\/strong>.&nbsp;<\/p><p>Essa rela&ccedil;&atilde;o &eacute; extremamente &uacute;til em problemas de geometria, pois permite aplicar conceitos de &acirc;ngulos, ortogonalidade, tri&acirc;ngulos e at&eacute; equa&ccedil;&otilde;es da reta no plano cartesiano.<\/p><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-reta-externa\">Reta externa<\/h3><p>Uma reta &eacute; classificada como <strong>exterior<\/strong> (ou externa) a uma circunfer&ecirc;ncia quando elas <strong>n&atilde;o possuem nenhum ponto em comum<\/strong>, ou seja, elas nunca se tocam. A reta e a circunfer&ecirc;ncia s&atilde;o figuras completamente disjuntas no plano; n&atilde;o h&aacute; um &uacute;nico ponto que satisfa&ccedil;a a equa&ccedil;&atilde;o da reta e a equa&ccedil;&atilde;o da circunfer&ecirc;ncia simultaneamente.&nbsp;<\/p><figure class=\"wp-block-image size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"703\" height=\"569\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-72.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-145700\" style=\"width:326px;height:auto\"><\/figure><p>Se a menor dist&acirc;ncia que a reta atinge em rela&ccedil;&atilde;o ao centro (d) j&aacute; &eacute; maior do que a dist&acirc;ncia necess&aacute;ria para tocar a borda da circunfer&ecirc;ncia (r), ent&atilde;o &eacute; imposs&iacute;vel que qualquer ponto da reta toque ou cruze a circunfer&ecirc;ncia. O ponto de maior aproxima&ccedil;&atilde;o da reta j&aacute; est&aacute; longe demais, e todos os outros pontos da reta estar&atilde;o ainda mais distantes.<\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-visao-geral\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Visao-geral\"><\/span>Vis&atilde;o geral<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><figure class=\"wp-block-image size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"895\" height=\"263\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-77.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-145705\" srcset=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-77.png 895w, https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-77-768x226.png 768w, https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-77-800x235.png 800w\" sizes=\"(max-width: 895px) 100vw, 895px\" \/><\/figure><p><\/p><h2><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Questoes-sobre-posicao-relativa-entre-circunferencia-e-reta\"><\/span>Quest&otilde;es sobre posi&ccedil;&atilde;o relativa entre circunfer&ecirc;ncia e reta<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-simulado-usp-fuvest-2021\">Simulado USP &ndash; FUVEST (2021)<\/h3><p>Duas circunfer&ecirc;ncias &#120582;&#8321; e &#120582;&#8322; com raios 2 e 4 t&ecirc;m centros no primeiro quadrante do plano cartesiano. Elas tangenciam Ox e Oy. Sabendo que as circunfer&ecirc;ncias s&atilde;o secantes nos pontos (&#119909;&#8321;,&#119910;&#8321;) e (&#119909;&#8322;,&#119910;&#8322;). O valor de (&#119909;&#8321;+&#119910;&#8321;)&sup2;+(&#119909;&#8322;+&#119910;&#8322;)&sup2; &eacute;<\/p><p><strong>A)<\/strong> 16<br><strong>B) <\/strong>9<br><strong>C)<\/strong> 18<br><strong>D)<\/strong> 12<br><strong>E)<\/strong> 24<\/p><details class=\"wp-block-details is-layout-flow wp-block-details-is-layout-flow\"><summary><strong>Resposta<\/strong><\/summary>\n<p>Alternativa correta: <strong>C<\/strong><\/p>\n<\/details><p><\/p><p><\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-alcance-a-aprovacao-com-o-estrategia-vestibulares\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Alcance-a-aprovacao-com-o-Estrategia-Vestibulares\"><\/span>Alcance a aprova&ccedil;&atilde;o com o Estrat&eacute;gia Vestibulares!<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>No <strong>Estrat&eacute;gia Vestibulares<\/strong>, voc&ecirc; encontra a prepara&ccedil;&atilde;o completa para conquistar sua aprova&ccedil;&atilde;o: materiais atualizados, professores especializados, tecnologia de ponta e um 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