{"id":145709,"date":"2025-09-30T12:34:19","date_gmt":"2025-09-30T15:34:19","guid":{"rendered":"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/?p=145709"},"modified":"2025-10-08T15:53:19","modified_gmt":"2025-10-08T18:53:19","slug":"poligonos-circunscritos-na-circunferencia-formulas-e-aplicacoes","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/poligonos-circunscritos-na-circunferencia-formulas-e-aplicacoes\/","title":{"rendered":"Pol\u00edgonos Circunscritos na Circunfer\u00eancia: F\u00f3rmulas e Aplica\u00e7\u00f5es"},"content":{"rendered":"<p>A mat&eacute;ria sobre pol&iacute;gonos &eacute; uma daquelas que sempre chamam a aten&ccedil;&atilde;o em provas de vestibulares e olimp&iacute;adas de matem&aacute;tica. Isso porque ela re&uacute;ne v&aacute;rias propriedades importantes da geometria, como &acirc;ngulos, &aacute;reas e inscritos, rela&ccedil;&otilde;es entre cordas e ap&oacute;temas, al&eacute;m de no&ccedil;&otilde;es de simetria e regularidade.<p>Para entender como essas figuras funcionam e se relacionam com a geometria, leia mais sobre Pol&iacute;gonos Circunscritos na Circunfer&ecirc;ncia no artigo a seguir do Estrat&eacute;gia vestibulares:<\/p><p>\n\n\n\n<div class=\"cta-medio\" style=\"background-image: url(https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2024\/08\/curso-enem-1-estrategia-vestibulares-ctamedio.jpg);\"><h3>Pacote Enem TOP <\/h3> <p>Estude com o Estrat\u00e9gia Vestibulares<\/p><div class=\"cta-botao\"><a id=\"cta-medio\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/curso\/enem-top\/\" target=\"_blank\" style=\"background:rgb(255,150,0)\">Saiba mais<\/a><\/div><\/div>\n\n\n\n<\/p><div id=\"ez-toc-container\" class=\"ez-toc-v2_0_76 counter-hierarchy ez-toc-counter ez-toc-transparent ez-toc-container-direction\">\n<div class=\"ez-toc-title-container\"><p class=\"ez-toc-title\" style=\"cursor:inherit\">Navegue pelo conte\u00fado<\/p>\n<\/div><nav><ul class='ez-toc-list ez-toc-list-level-1 ' ><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-1\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/poligonos-circunscritos-na-circunferencia-formulas-e-aplicacoes\/#O-que-e-um-poligono-circunscrito-na-Circunferencia\" >O que &eacute; um pol&iacute;gono circunscrito na Circunfer&ecirc;ncia<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-2\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/poligonos-circunscritos-na-circunferencia-formulas-e-aplicacoes\/#Poligonos-regulares\" >Pol&iacute;gonos regulares<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-3\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/poligonos-circunscritos-na-circunferencia-formulas-e-aplicacoes\/#Elementos-importantes-do-poligono-regular-circunscrito\" >Elementos importantes do pol&iacute;gono regular circunscrito<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-4\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/poligonos-circunscritos-na-circunferencia-formulas-e-aplicacoes\/#Formulas-e-propriedades-dos-principais-poligonos-regulares-circunscritos\" >F&oacute;rmulas e propriedades dos principais pol&iacute;gonos regulares circunscritos<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-5\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/poligonos-circunscritos-na-circunferencia-formulas-e-aplicacoes\/#Perimetro-e-Area-de-Poligonos-Regulares-Circunscritos-O-perimetro-de-um-poligono-regular-e-bem-tranquilo-de-calcular-basta-multiplicar-o-numero-de-lados-N-pelo-comprimento-de-um-lado-ln%E2%80%8B-ou-seja\" >Per&iacute;metro e &Aacute;rea de Pol&iacute;gonos Regulares Circunscritos: O per&iacute;metro de um pol&iacute;gono regular &eacute; bem tranquilo de calcular, basta multiplicar o n&uacute;mero de lados N pelo comprimento de um lado ln&#8203;, ou seja,<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-6\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/poligonos-circunscritos-na-circunferencia-formulas-e-aplicacoes\/#Poligonos-Inscritos-X-Poligonos-Circunscritos\" >Pol&iacute;gonos Inscritos X Pol&iacute;gonos Circunscritos<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-7\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/poligonos-circunscritos-na-circunferencia-formulas-e-aplicacoes\/#Questoes-sobre-poligonos-circunscritos\" >Quest&otilde;es sobre pol&iacute;gonos circunscritos<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-8\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/poligonos-circunscritos-na-circunferencia-formulas-e-aplicacoes\/#Alcance-a-aprovacao-com-o-Estrategia-Vestibulares\" >Alcance a aprova&ccedil;&atilde;o com o Estrat&eacute;gia Vestibulares!<\/a><\/li><\/ul><\/nav><\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-o-que-e-um-poligono-circunscrito-na-circunferencia\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"O-que-e-um-poligono-circunscrito-na-Circunferencia\"><\/span>O que &eacute; um pol&iacute;gono circunscrito na Circunfer&ecirc;ncia<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>Os pol&iacute;gonos circunscritos na circunfer&ecirc;ncia s&atilde;o uma categoria de figuras geom&eacute;tricas planas onde o pol&iacute;gono est&aacute; situado ao redor de uma circunfer&ecirc;ncia, de modo que cada um dos seus lados toca a circunfer&ecirc;ncia em um &uacute;nico ponto, sendo, portanto, tangente a ela. Esta circunfer&ecirc;ncia, que est&aacute; contida no interior do pol&iacute;gono e &eacute; tocada por todos os seus lados, &eacute; denominada circunfer&ecirc;ncia inscrita.<\/p><p>Um pol&iacute;gono estar circunscrito a uma circunfer&ecirc;ncia significa que todos os seus lados s&atilde;o tangentes a essa circunfer&ecirc;ncia, ou seja, cada lado do pol&iacute;gono toca a circunfer&ecirc;ncia em apenas um ponto, sem atravess&aacute;-la. J&aacute; a circunfer&ecirc;ncia que est&aacute; dentro do pol&iacute;gono, que &eacute; tangenciada por todos os seus lados, &eacute; chamada de circunfer&ecirc;ncia inscrita no pol&iacute;gono.&nbsp;<\/p><figure class=\"wp-block-image size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"606\" height=\"162\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-79.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-145716\"><\/figure><p>Essa configura&ccedil;&atilde;o geom&eacute;trica &eacute; caracter&iacute;stica dos pol&iacute;gonos circunscritos e possui importantes propriedades, especialmente em pol&iacute;gonos regulares, onde todos os lados s&atilde;o iguais e a circunfer&ecirc;ncia inscrita &eacute; perfeitamente centralizada.<\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-poligonos-regulares\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Poligonos-regulares\"><\/span><br>Pol&iacute;gonos regulares<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>Quando o pol&iacute;gono &eacute; <strong>regular<\/strong> algumas propriedades geom&eacute;tricas se destacam. Uma delas &eacute; a exist&ecirc;ncia de um <strong>centro do pol&iacute;gono<\/strong>, que &eacute; um ponto &uacute;nico que se localiza &agrave; mesma dist&acirc;ncia de todos os v&eacute;rtices e &agrave; mesma dist&acirc;ncia de todos os lados.&nbsp;<\/p><p>Outra propriedade &eacute; a <strong>circunfer&ecirc;ncia circunscrita<\/strong>, trata-se da circunfer&ecirc;ncia que passa exatamente por todos os v&eacute;rtices do pol&iacute;gono regular. O centro dessa circunfer&ecirc;ncia coincide com o centro do pol&iacute;gono, refor&ccedil;ando a ideia de equil&iacute;brio e uniformidade da figura.<\/p><p>Al&eacute;m disso, o pol&iacute;gono regular tamb&eacute;m possui <strong>circunfer&ecirc;ncia inscrita<\/strong>, ou seja, uma circunfer&ecirc;ncia que toca todos os lados do pol&iacute;gono em um &uacute;nico ponto de cada lado. Assim como a circunfer&ecirc;ncia circunscrita, o centro da circunfer&ecirc;ncia inscrita coincide com o centro do pol&iacute;gono, mostrando que esse ponto central &eacute; realmente respons&aacute;vel por unificar todas as suas propriedades geom&eacute;tricas.<\/p><p>Os <strong>centros coincidem<\/strong> devido &agrave; simetria rotacional, o ponto equidistante de todos os v&eacute;rtices (centro da circunfer&ecirc;ncia circunscrita) &eacute; tamb&eacute;m equidistante de todos os lados (centro da circunfer&ecirc;ncia inscrita).&nbsp;<\/p><figure class=\"wp-block-image size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"394\" height=\"246\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-80.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-145717\"><\/figure><p>Geometricamente, esse ponto pode ser visto como a interse&ccedil;&atilde;o entre todas as bissetrizes dos &acirc;ngulos internos e tamb&eacute;m entre todas as mediatrizes dos lados, mostrando que ele ocupa uma posi&ccedil;&atilde;o central na figura.<\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-elementos-importantes-do-poligono-regular-circunscrito\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Elementos-importantes-do-poligono-regular-circunscrito\"><\/span>Elementos importantes do pol&iacute;gono regular circunscrito<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>Em<strong> pol&iacute;gonos regulares circunscritos a uma circunfer&ecirc;ncia<\/strong>, o comprimento do ap&oacute;tema (a&#8345;) e o raio (r) da circunfer&ecirc;ncia inscrita s&atilde;o numericamente iguais. Para melhor compreens&atilde;o vamos definir ambos os conceitos.<\/p><p>O ap&oacute;tema &eacute; o segmento que vai do centro da figura at&eacute; o ponto m&eacute;dio de um lado, formando 90&deg; com ele. J&aacute; o raio do inc&iacute;rculo &eacute; o segmento de reta que vai do centro do pol&iacute;gono at&eacute; o ponto de tang&ecirc;ncia com um lado, formando 90&deg; com ele.<\/p><p>Em um pol&iacute;gono regular, a simetria garante que o ponto de tang&ecirc;ncia do inc&iacute;rculo com um lado seja exatamente o ponto m&eacute;dio desse lado. Assim, o segmento de reta que &eacute; o raio, tamb&eacute;m seja o ap&oacute;tema. Tal segmento &eacute; muito importante, pois aparece em c&aacute;lculos de &aacute;rea e em rela&ccedil;&otilde;es m&eacute;tricas.<\/p><figure class=\"wp-block-image size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"262\" height=\"207\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-81.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-145718\"><\/figure><p>Outro elemento &eacute; o <strong>lado do pol&iacute;gono (l&#8345;)<\/strong>, que representa a medida de cada um dos lado do pol&iacute;gono de N lados iguais. Enquanto que, o <strong>raio da circunfer&ecirc;ncia circunscrita (R)<\/strong> &eacute; a dist&acirc;ncia do centro do pol&iacute;gono at&eacute; qualquer v&eacute;rtice, ou seja, o segmento de reta que conecta o centro a um dos v&eacute;rtices.<\/p><p>Esses elementos se relacionam diretamente, como ao observar metade de um lado do pol&iacute;gono, percebe-se que se forma um <strong>tri&acirc;ngulo ret&acirc;ngulo<\/strong> em que a hipotenusa &eacute; R, um cateto &eacute; o ap&oacute;tema r, e o outro cateto &eacute; <strong>l&#8345;<\/strong>\/2. Essa rela&ccedil;&atilde;o geom&eacute;trica &eacute; a base para diversas f&oacute;rmulas envolvendo pol&iacute;gonos regulares, permitindo calcular lados, raios e &aacute;reas de forma mais pr&aacute;tica.<\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-formulas-e-propriedades-dos-principais-poligonos-regulares-circunscritos\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Formulas-e-propriedades-dos-principais-poligonos-regulares-circunscritos\"><\/span>F&oacute;rmulas e propriedades dos principais pol&iacute;gonos regulares circunscritos<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-triangulo-equilatero\">Tri&acirc;ngulo Equil&aacute;tero<\/h3><p>O tri&acirc;ngulo circunscrito a uma circunfer&ecirc;ncia est&aacute; fora do c&iacute;rculo com seus tr&ecirc;s lados tangenciando a circunfer&ecirc;ncia.&nbsp;<\/p><p>Sabendo que a altura de um tri&acirc;ngulo equil&aacute;tero &eacute; <\/p><figure class=\"wp-block-image size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"136\" height=\"75\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-82.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-145719\" style=\"width:91px;height:auto\"><\/figure><p> o raio vai ser r = h\/3. Substituindo vamos ter:<\/p><p>Lado: onde<\/p><figure class=\"wp-block-image size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"105\" height=\"37\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-83.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-145720\" style=\"width:71px;height:auto\"><\/figure><p>l = lado do tri&acirc;ngulo<\/p><p>r = raio da circunfer&ecirc;ncia inscrita, que tem o mesmo valor do ap&oacute;tema.<\/p><p>Para um tri&acirc;ngulo equil&aacute;tero inscrito numa circunfer&ecirc;ncia (o tri&acirc;ngulo est&aacute; dentro do c&iacute;rculo), temos que:<\/p><p>Lado (l): onde <\/p><figure class=\"wp-block-image size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"105\" height=\"27\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-84.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-145721\" style=\"width:78px;height:auto\"><\/figure><p>o que nos leva a uma rela&ccedil;&atilde;o entre os raios<\/p><p>Onde R = 2r<\/p><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-quadrado-nbsp\">Quadrado&nbsp;<\/h3><p>O quadrado circunscrito tem seus lados tangentes &agrave; circunfer&ecirc;ncia e o raio da circunfer&ecirc;ncia inscrita &eacute; r. Ao analisar, observa-se que o lado do quadrado &eacute; igual ao di&acirc;metro da circunfer&ecirc;ncia inscrita.&nbsp;<\/p><p>Sendo o di&acirc;metro da circunfer&ecirc;ncia: 2r. Logo: l&#8324; = 2r<\/p><p>Tendo que o quadrado inscrito: <\/p><figure class=\"wp-block-image size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"103\" height=\"33\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-86.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-145723\" style=\"width:87px;height:auto\"><\/figure><p> e o quadrado circunscrito: <\/p><figure class=\"wp-block-image size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"78\" height=\"26\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-85.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-145722\" style=\"width:66px;height:auto\"><\/figure><p>Calcula-se a rela&ccedil;&atilde;o entre r e R &eacute;: <\/p><figure class=\"wp-block-image size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"97\" height=\"31\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-87.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-145724\" style=\"width:87px;height:auto\"><\/figure><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-hexagono-regular\">Hex&aacute;gono Regular<\/h3><p>O hex&aacute;gono regular possui uma propriedade &uacute;nica que &eacute; possuir o seu lado igual ao raio da circunfer&ecirc;ncia circunscrita (l&#8326; = R).<\/p><p>Contudo, para encontrar o valor do lado a partir do raio da circunfer&ecirc;ncia inscrita nele, utilizamos as seguintes rela&ccedil;&otilde;es:&nbsp;<\/p><p>A altura de um tri&acirc;ngulo equil&aacute;tero de lado l &eacute; <\/p><figure class=\"wp-block-image size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"129\" height=\"71\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-89.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-145726\" style=\"width:84px;height:auto\"><\/figure><p>Neste caso, h = r e l = l&#8326;. Isolando l&#8326;: <\/p><figure class=\"wp-block-image size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"105\" height=\"73\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-90.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-145727\" style=\"width:63px;height:auto\"><\/figure><p> ou <\/p><figure class=\"wp-block-image size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"131\" height=\"76\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-91.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-145728\" style=\"width:107px;height:auto\"><\/figure><p>Vamos encontrar a rela&ccedil;&atilde;o para o mesmo hex&aacute;gono (com o mesmo lado l&#8326;). Do hex&aacute;gono inscrito: l&#8326; = R (propriedade fundamental) e do hex&aacute;gono circunscrito: <\/p><figure class=\"wp-block-image size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"119\" height=\"64\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-92.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-145729\" style=\"width:76px;height:auto\"><\/figure><p>Substituindo l&#8326; por R na segunda equa&ccedil;&atilde;o:<\/p><figure class=\"wp-block-image size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"118\" height=\"72\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-93.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-145730\" style=\"width:87px;height:auto\"><\/figure><p>Chega na rela&ccedil;&atilde;o <\/p><figure class=\"wp-block-image size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"100\" height=\"70\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-94.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-145731\" style=\"width:70px;height:auto\"><\/figure><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-perimetro-e-area-de-poligonos-regulares-circunscritos-o-perimetro-de-um-poligono-regular-e-bem-tranquilo-de-calcular-basta-multiplicar-o-numero-de-lados-n-pelo-comprimento-de-um-lado-ln-ou-seja\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Perimetro-e-Area-de-Poligonos-Regulares-Circunscritos-O-perimetro-de-um-poligono-regular-e-bem-tranquilo-de-calcular-basta-multiplicar-o-numero-de-lados-N-pelo-comprimento-de-um-lado-ln%E2%80%8B-ou-seja\"><\/span>Per&iacute;metro e &Aacute;rea de Pol&iacute;gonos Regulares Circunscritos:<br>O per&iacute;metro de um pol&iacute;gono regular &eacute; bem tranquilo de calcular, basta multiplicar o n&uacute;mero de lados N pelo comprimento de um lado ln&#8203;, ou seja,<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><figure class=\"wp-block-image size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"141\" height=\"41\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-95.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-145732\" style=\"width:100px;height:auto\"><\/figure><p>A &aacute;rea pode ser obtida a partir da ideia de dividir o pol&iacute;gono em tri&acirc;ngulos is&oacute;sceles, todos com altura igual ao ap&oacute;tema r. Assim, a f&oacute;rmula geral &eacute;:<\/p><figure class=\"wp-block-image size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"407\" height=\"56\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-96.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-145733\" style=\"width:276px;height:auto\"><\/figure><p>Aten&ccedil;&atilde;o para alguns casos espec&iacute;ficos em que podemos substituir ln&#8203; em fun&ccedil;&atilde;o do ap&oacute;tema r. Por exemplo:<\/p><ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Para n=3 (tri&acirc;ngulo equil&aacute;tero), <img decoding=\"async\" width=\"80\" height=\"28\" class=\"wp-image-145720\" style=\"width: 80px;\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-83.png\" alt=\"\"><br><\/li>\n\n\n\n<li>Para n=4 (quadrado), <img decoding=\"async\" width=\"60\" height=\"20\" class=\"wp-image-145722\" style=\"width: 60px;\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-85.png\" alt=\"\"><br><\/li>\n\n\n\n<li>Para n=6 (hex&aacute;gono regular), <img decoding=\"async\" width=\"80\" height=\"46\" class=\"wp-image-145728\" style=\"width: 80px;\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-91.png\" alt=\"\"><\/li>\n<\/ul><p>Assim, a &aacute;rea do pol&iacute;gono regular pode ser expressa em fun&ccedil;&atilde;o de r, simplificando c&aacute;lculos em situa&ccedil;&otilde;es pr&aacute;ticas.<\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-poligonos-inscritos-x-poligonos-circunscritos\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Poligonos-Inscritos-X-Poligonos-Circunscritos\"><\/span>Pol&iacute;gonos Inscritos X Pol&iacute;gonos Circunscritos<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>Ao tratar de pol&iacute;gonos regulares, podemos inscrev&ecirc;-los em uma circunfer&ecirc;ncia (todos os v&eacute;rtices sobre a circunfer&ecirc;ncia) ou circunscrev&ecirc;-los a uma circunfer&ecirc;ncia (todos os lados tangentes &agrave; circunfer&ecirc;ncia).&nbsp;<\/p><p>Nos dois casos, aparecem: o lado do pol&iacute;gono, o raio da circunfer&ecirc;ncia circunscrita (R) e o ap&oacute;tema (a&#8203; ou r), que &eacute; a dist&acirc;ncia do centro at&eacute; os lados.<\/p><p>Existe uma rela&ccedil;&atilde;o direta entre esses dois casos. Dado um n-l&aacute;tero regular com circunfer&ecirc;ncia circunscrita de raio R, o ap&oacute;tema do pol&iacute;gono <strong>inscrito<\/strong> &eacute; o mesmo que o raio da circunfer&ecirc;ncia <strong>inscrita<\/strong> no pol&iacute;gono <strong>circunscrito<\/strong>.<\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-questoes-sobre-poligonos-circunscritos\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Questoes-sobre-poligonos-circunscritos\"><\/span>Quest&otilde;es sobre pol&iacute;gonos circunscritos<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-puc-pr-2016\">PUC -PR (2016)<\/h3><p>Um tri&acirc;ngulo possui uma t;\/span&gt;-4c1c-ab03-f7155c451ae2&Prime; class=&rdquo;textannotation disambiguated wl-thing&rdquo; itemid=&rdquo;https:\/\/data.wordlift.io\/wl110249\/entity\/circunferencia&rdquo;&gt;circunfer&ecirc;ncia inscrita e outra circunscrita. Um dos lados do tri&acirc;ngulo passa pelo centro da circunfer&ecirc;ncia circunscrita e a soma das medidas dos outros lados &eacute; igual a s. Qual &eacute; a medida da soma dos comprimentos das duas circunfer&ecirc;ncias?<\/p><p><strong>A)<\/strong> &pi;s\/2<br><strong>B) <\/strong>&pi;s<br><strong>C)<\/strong> 2&pi;s\/3<br><strong>D)<\/strong> 2&pi;<br><strong>E)<\/strong> 3&pi;s\/2<\/p><details class=\"wp-block-details is-layout-flow wp-block-details-is-layout-flow\"><summary><strong>Resposta<\/strong><\/summary>\n<p>Precisamos encontrar os raios das duas circunfer&ecirc;ncias para calcular a soma de seus comprimentos.<\/p>\n\n\n\n<p>Diametro c=2R<\/p>\n\n\n\n<p>Pelo Teorema de Pit&aacute;goras no <s>pan id=&rdquo;urn:enhancement-6f1d1abe-c184-4f03-bcce-ef833e57b460&Prime; class=&rdquo;textannotation&rdquo;&gt;tri&acirc;ngulo ret&acirc;ngulo:<\/s><\/p>\n\n\n\n<p><\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"197\" height=\"234\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/image-97.png\" alt=\"\" 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id=\"Alcance-a-aprovacao-com-o-Estrategia-Vestibulares\"><\/span>Alcance a aprova&ccedil;&atilde;o com o Estrat&eacute;gia Vestibulares!<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>Conquiste sua vaga na universidade com o Estrat&eacute;gia Vestibulares!<\/p><p>Aqui voc&ecirc; tem acesso a materiais completos, atualizados e focados nos conte&uacute;dos que mais caem nas provas.&nbsp;<\/p><p>Com nossos planos, voc&ecirc; pode personalizar seus estudos, direcionando tempo e energia para os assuntos que realmente v&atilde;o fazer diferen&ccedil;a no seu resultado.<\/p><p>Clique no banner e saiba mais!<\/p><p>\n\n\n\n\n\n<a id=\"cta\" class=\"cta-imagem\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/cursos\/\" target=\"blank\">\n                <img decoding=\"async\" width=\"100%\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/EV4.jpg\" alt=\"CTA - Estrat\u00e9gia Vestibulares 4\" title=\"CTA - Estrat\u00e9gia Vestibulares 4\">\n        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