{"id":158733,"date":"2026-07-28T19:14:35","date_gmt":"2026-07-28T22:14:35","guid":{"rendered":"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/?p=158733"},"modified":"2026-07-28T19:14:39","modified_gmt":"2026-07-28T22:14:39","slug":"questoes-de-analise-combinatoria-das-ultimas-edicoes-da-unesp","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/enem-e-vestibulares\/questoes-de-analise-combinatoria-das-ultimas-edicoes-da-unesp\/","title":{"rendered":"Quest\u00f5es de An\u00e1lise Combinat\u00f3ria das \u00faltimas edi\u00e7\u00f5es da Unesp\u00a0"},"content":{"rendered":"<p>A <strong>An&aacute;lise Combinat&oacute;ria<\/strong> &eacute; o ramo da matem&aacute;tica respons&aacute;vel por analisar e contar as possibilidades de ocorr&ecirc;ncia de determinados eventos. &Eacute;, portanto, uma &aacute;rea que permite calcular de quantas maneiras distintas um agrupamento de elementos pode ser formado, sem a necessidade de descrever todas elas uma a uma.<p>Aqui, &eacute; importante lembrar que <strong>a ordem de escolha ou a natureza dos elementos altera completamente a forma de resolver a quest&atilde;o<\/strong>, ao contr&aacute;rio do que &eacute; dito na frase: a ordem dos fatores n&atilde;o altera o produto.<\/p><p>S&atilde;o v&aacute;rios tipos de agrupamentos e m&eacute;todos de contagem existentes: princ&iacute;pio fundamental da contagem (PFC), arranjos (simples e com repeti&ccedil;&atilde;o), combina&ccedil;&otilde;es (simples e com repeti&ccedil;&atilde;o), permuta&ccedil;&otilde;es (simples, com elementos repetidos e circulares), entre outros. E a <strong>variedade de f&oacute;rmulas e regras faz com que algumas confus&otilde;es surjam na hora de estudar<\/strong>.<\/p><p>Dentre as aplica&ccedil;&otilde;es pr&aacute;ticas da <a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/analise-combinatoria-enem\/\">An&aacute;lise Combinat&oacute;ria<\/a> est&atilde;o o c&aacute;lculo de probabilidades em jogos de loteria, o desenvolvimento de senhas e sistemas de criptografia, a organiza&ccedil;&atilde;o de chaves de torneios esportivos, e at&eacute; mesmo na cria&ccedil;&atilde;o de placas de tr&acirc;nsito e n&uacute;meros de telefone, por exemplo.&nbsp;<\/p><p>E, por conta de sua grande variedade de aplica&ccedil;&otilde;es e necessidades, &eacute; que o assunto se faz presente em praticamente todos os vestibulares, inclusive na Unesp.<\/p><p>Por isso, reunimos algumas<strong> quest&otilde;es sobre An&aacute;lise Combinat&oacute;ria que foram utilizadas na Unesp<\/strong> nos &uacute;ltimos anos e que est&atilde;o presentes em nosso <strong>Banco de Quest&otilde;es<\/strong>, com resolu&ccedil;&otilde;es em texto, como voc&ecirc; ver&aacute; aqui, mas tamb&eacute;m em v&iacute;deo, al&eacute;m de contar com f&oacute;rum de d&uacute;vidas dos alunos. Veja, abaixo, as perguntas selecionadas, e treine seu potencial.<\/p><p class=\"wp-block-verse\"><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/enem-e-vestibulares\/questoes-de-trigonometria-das-ultimas-edicoes-da-unesp\/\">+ Quest&otilde;es de Trigonometria das &uacute;ltimas edi&ccedil;&otilde;es da Unesp<br><\/a><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/enem-e-vestibulares\/questoes-de-geometria-plana-das-ultimas-edicoes-da-fuvest\/\">+ Quest&otilde;es de Geometria Plana das &uacute;ltimas edi&ccedil;&otilde;es da Fuvest<\/a><br><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/enem-e-vestibulares\/questoes-de-probabilidade-das-ultimas-edicoes-da-fuvest\/\">+ Quest&otilde;es de Probabilidade das &uacute;ltimas edi&ccedil;&otilde;es da Fuvest<\/a><br><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/enem-e-vestibulares\/questoes-de-funcoes-das-ultimas-edicoes-da-unicamp\/\">+ Quest&otilde;es de Fun&ccedil;&otilde;es das &uacute;ltimas edi&ccedil;&otilde;es da Unicamp<\/a><br><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/enem-e-vestibulares\/questoes-de-geometria-espacial-das-ultimas-edicoes-da-unicamp\/\">+ Quest&otilde;es de Geometria Espacial das &uacute;ltimas edi&ccedil;&otilde;es da Unicamp<\/a><\/p><p>\n\n\n\n<div class=\"cta-medio\" style=\"background-image: url(https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2024\/08\/curso-unesp-estrategia-vestibulares-ctamedio.jpg);\"><h3>Pacote Unesp<\/h3> <p>Conhe\u00e7a nosso curso<\/p><div class=\"cta-botao\"><a id=\"cta-medio\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/curso\/pacote-unesp\/\" target=\"_blank\" style=\"background:rgb(255,150,0)\">Saiba mais<\/a><\/div><\/div>\n\n\n\n<\/p><div id=\"ez-toc-container\" class=\"ez-toc-v2_0_76 counter-hierarchy ez-toc-counter ez-toc-transparent ez-toc-container-direction\">\n<div class=\"ez-toc-title-container\"><p class=\"ez-toc-title\" style=\"cursor:inherit\">Navegue pelo conte\u00fado<\/p>\n<\/div><nav><ul class='ez-toc-list ez-toc-list-level-1 ' ><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-1\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/enem-e-vestibulares\/questoes-de-analise-combinatoria-das-ultimas-edicoes-da-unesp\/#7-questoes-sobre-Analise-Combinatoria-que-cairam-nas-ultimas-edicoes-do-Vestibular-Unesp\" >7 quest&otilde;es sobre An&aacute;lise Combinat&oacute;ria que ca&iacute;ram nas &uacute;ltimas edi&ccedil;&otilde;es do Vestibular Unesp<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-2\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/enem-e-vestibulares\/questoes-de-analise-combinatoria-das-ultimas-edicoes-da-unesp\/#Principais-temas-de-Matematica-da-Unesp\" >Principais temas de Matem&aacute;tica da Unesp<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-3\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/enem-e-vestibulares\/questoes-de-analise-combinatoria-das-ultimas-edicoes-da-unesp\/#Veja-mais-sobre-questoes\" >Veja mais sobre quest&otilde;es<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-4\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/enem-e-vestibulares\/questoes-de-analise-combinatoria-das-ultimas-edicoes-da-unesp\/#Estude-com-o-Estrategia-Vestibulares\" >Estude com o Estrat&eacute;gia Vestibulares&nbsp;<\/a><\/li><\/ul><\/nav><\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-7-questoes-sobre-analise-combinatoria-que-cairam-nas-ultimas-edicoes-do-vestibular-unesp\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"7-questoes-sobre-Analise-Combinatoria-que-cairam-nas-ultimas-edicoes-do-Vestibular-Unesp\"><\/span>7 quest&otilde;es sobre An&aacute;lise Combinat&oacute;ria que ca&iacute;ram nas &uacute;ltimas edi&ccedil;&otilde;es do Vestibular Unesp<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>Veja, a seguir, algumas das quest&otilde;es que abordam An&aacute;lise Combinat&oacute;ria presentes nas &uacute;ltimas edi&ccedil;&otilde;es do vestibular Unesp, com resolu&ccedil;&atilde;o em texto, e treine seu conhecimento no assunto agora mesmo.<\/p><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-unesp-2025-1&ordf;-fase\">Unesp (2025) (1&ordf; fase)<\/h3><p>Uma equipe de futebol terminou o campeonato com 36 pontos em 20 jogos disputados. Considere que cada vit&oacute;ria vale 3 pontos, o empate vale 1, a derrota vale zero, e que v, e, d representam, respectivamente, o n&uacute;mero de vit&oacute;rias, de empates e de derrotas. Nessas condi&ccedil;&otilde;es, o n&uacute;mero m&aacute;ximo de ternas ordenadas (v, e, d) distintas poss&iacute;veis &eacute; igual a<\/p><p><strong>A <\/strong>2.<br><strong>B <\/strong>3.<br><strong>C <\/strong>1.<br><strong>D <\/strong>4.<br><strong>E <\/strong>5.<\/p><details class=\"wp-block-details is-layout-flow wp-block-details-is-layout-flow\"><summary><strong>Resposta:<\/strong><\/summary>\n<p>Sabendo que a pontua&ccedil;&atilde;o e a quantidade de jogos &eacute; dada por:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"173\" height=\"176\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/img1-1.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-158757\"><\/figure>\n\n\n\n<p>Pela condi&ccedil;&atilde;o de &#119907; &ge; 0, &#119890; &ge; 0, &#119889; &ge; 0:<\/p>\n\n\n\n<p>&#119890; &ge; 0 &rArr; 36 &minus; 3&#119907; &ge; 0<br>&#119907; &le; 12<br>&#119889; &ge; 0 &rArr; 2&#119907; &minus; 16 &ge; 0<br>&#119907;&ge;8<br>&#119907; = {8, 9, 10, 11, 12}<br>&#119890; = 36 &minus; 3&#119907; = {12, 9, 6, 3, 0}<br>&#119889; = 2&#119907; &minus; 16 = {0, 2, 4, 6, 8}<br>(&#119907;, &#119890;, &#119889;) = {(8, 12, 0); (9, 9, 2); (10, 6, 4); (11, 3, 6); (12, 0, 8)}<br>&#119899;=5<\/p>\n\n\n\n<p>Alternativa correta: <strong>E<\/strong><\/p>\n<\/details><h3 class=\"wp-block-heading\">Unesp (2025) (1&ordf; fase)<\/h3><p>Em uma urna, s&atilde;o colocados cart&otilde;es id&ecirc;nticos: um cart&atilde;o com o n&uacute;mero 1, dois cart&otilde;es com o n&uacute;mero 2, tr&ecirc;s cart&otilde;es com o n&uacute;mero 3, e assim sucessivamente, at&eacute; cem cart&otilde;es com o n&uacute;mero 100, totalizando 1 + 2 + 3 + &hellip; + 100 = 5050 cart&otilde;es. A quantidade m&iacute;nima de cart&otilde;es que devem ser retirados aleatoriamente dessa urna para que se tenha certeza de que pelo menos 10 dos cart&otilde;es retirados tenham um mesmo n&uacute;mero &eacute;<\/p><p><strong>A <\/strong>865.<br><strong>B <\/strong>253.<br><strong>C <\/strong>55.<br><strong>D <\/strong>1001.<br><strong>E <\/strong>11.<\/p><details class=\"wp-block-details is-layout-flow wp-block-details-is-layout-flow\"><summary><strong>Resposta:<\/strong><\/summary>\n<p>Para se retirar, com certeza, pelo menos 10 cart&otilde;es de mesmo n&uacute;mero, teremos de retirar todos os n&uacute;meros com menos de 10 cart&otilde;es, 9 cart&otilde;es de todos os n&uacute;meros que possuem 10 ou mais cart&otilde;es e mais um &ndash; que possuir&aacute; um n&uacute;mero repetido:<\/p>\n\n\n\n<p>1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 9 &sdot; (100 &minus; 9) + 1 = 865 cart&otilde;es<\/p>\n\n\n\n<p>Alternativa correta: <strong>A<\/strong><\/p>\n<\/details><h3 class=\"wp-block-heading\">Unesp (2017) (1&ordf; fase)<\/h3><p>Uma crian&ccedil;a possui 6 blocos de encaixe, sendo 2 amarelos, 2 vermelhos, 1 verde e 1 azul.<\/p><figure class=\"wp-block-image size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"295\" height=\"105\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/image-66-81.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-158760\"><\/figure><p>Usando essas pe&ccedil;as, &eacute; poss&iacute;vel fazer diferentes pilhas de tr&ecirc;s blocos. A seguir, s&atilde;o exemplificadas quatro das pilhas poss&iacute;veis<\/p><figure class=\"wp-block-image size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"294\" height=\"126\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/image-66-82.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-158761\"><\/figure><p>Utilizando os blocos que possui, o total de pilhas diferentes de tr&ecirc;s blocos, incluindo as exemplificadas, que a crian&ccedil;a pode fazer &eacute; igual a<\/p><p><strong>A <\/strong>58<br><strong>B <\/strong>20<br><strong>C <\/strong>42<br><strong>D <\/strong>36<br><strong>E <\/strong>72<\/p><details class=\"wp-block-details is-layout-flow wp-block-details-is-layout-flow\"><summary><strong>Resposta:<\/strong><\/summary>\n<p>Como temos possibilidades de cores repetidas, teremos 3 tipos de pilhas de 3 blocos: as de 3 cores diferentes, as com dois blocos amarelos e as com dois blocos vermelhos.<\/p>\n\n\n\n<p>Para as torres de 3 cores diferentes, temos 4 cores dispon&iacute;veis e 3 vagas. Al&eacute;m disso, mesmo que duas torres apresentem as mesmas cores, mas em ordens diferentes, ser&atilde;o consideradas torres diferentes, indicando que devemos considerar a escolha como um arranjo de 4 cores, tomados 3 a 3.<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"205\" height=\"140\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/image-66-83.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-158762\"><\/figure>\n\n\n\n<p>Desse modo, o n&uacute;mero &#119899; de torres diferentes com 3 cores distintas &eacute; dado por:<\/p>\n\n\n\n<p>&#119899; = &#119860;&#8324;,&#8323;<br>&#119899; = 4 &#8729; 3 &#8729; 2<br>&#119899; = 24<\/p>\n\n\n\n<p>Para as torres que apresentarem 2 pe&ccedil;as amarelas, temos dois aspectos a considerar: o n&uacute;mero de posi&ccedil;&otilde;es das pe&ccedil;as amarelas e o n&uacute;mero de op&ccedil;&otilde;es para a terceira cor.<br>Para o n&uacute;mero de op&ccedil;&otilde;es que 2 pe&ccedil;as amarelas podem ocupar em 3 lugares dispon&iacute;veis, temos uma combina&ccedil;&atilde;o de 3 lugares, tomados 2 a 2 cores.<\/p>\n\n\n\n<p>&#119862;&#8323;,&#8322; = 3 &#8729; 2 \/ 2 &#8729; 1<br>&#119862;&#8323;,&#8322; = 3<\/p>\n\n\n\n<p>J&aacute; para o n&uacute;mero de escolhas da terceira cor (as duas primeiras foram amarelas), temos 3 cores dispon&iacute;veis (azul, vermelho e verde) e apenas um lugar remanescente, assim, uma combina&ccedil;&atilde;o de 3 cores, escolhidas uma a uma, ou seja, 3 op&ccedil;&otilde;es.<\/p>\n\n\n\n<p>&#119862;&#8323;,&#8321; = 3\/1<br>&#119862;&#8323;,&#8321; = 3<\/p>\n\n\n\n<p>Aqui, novamente, o momento de escolhermos entre os princ&iacute;pios multiplicativo ou aditivo.<br>Teremos, nesta torre de duas pe&ccedil;as amarelas, qual das seguintes situa&ccedil;&otilde;es?<\/p>\n\n\n\n<p><em>Duas pe&ccedil;as amarelas<\/em> <strong>E<\/strong> <em>uma pe&ccedil;a de outra cor.<\/em><br><em>Duas pe&ccedil;as amarelas<\/em> <strong>OU<\/strong> <em>uma pe&ccedil;a de outra cor.<\/em><\/p>\n\n\n\n<p>Como cada torre deve ter, obrigatoriamente, 3 pe&ccedil;as, teremos duas pe&ccedil;as amarelas E uma pe&ccedil;a de outra cor, indicando o uso do princ&iacute;pio multiplicativo. Assim, o n&uacute;mero &#119901; de torres que apresentam duas pe&ccedil;as amarelas e uma pe&ccedil;a de outra cor &eacute; dado por:<\/p>\n\n\n\n<p>&#119901; = &#119862;&#8323;,&#8322; &#8729; &#119862;&#8323;,&#8321;<br>&#119901; = 3 &#8729; 3<br>&#119901; = 9<\/p>\n\n\n\n<p>A an&aacute;lise para o n&uacute;mero de torres que apresentam 2 pe&ccedil;as vermelhas e uma de outra cor &eacute; id&ecirc;ntica &agrave; an&aacute;lise feita para o n&uacute;mero de torres que apresentam 2 pe&ccedil;as amarelas e uma de outra cor, acompanhe.<br>O n&uacute;mero de op&ccedil;&otilde;es que 2 pe&ccedil;as vermelhas podem ocupar em 3 lugares dispon&iacute;veis, temos uma combina&ccedil;&atilde;o de 3 lugares, tomados 2 a 2 cores.<\/p>\n\n\n\n<p>&#119862;&#8323;,&#8322; = 3 &#8729; 2 \/ 2 &#8729; 1<br>&#119862;&#8323;,&#8322; = 3<\/p>\n\n\n\n<p>J&aacute; para o n&uacute;mero de escolhas da terceira cor (as duas primeiras foram vermelhas), temos 3 cores dispon&iacute;veis (azul, amarelo e verde) e apenas um lugar remanescente, assim, uma combina&ccedil;&atilde;o de 3 cores, escolhidas uma a uma, ou seja, 3 op&ccedil;&otilde;es.<\/p>\n\n\n\n<p>&#119862;&#8323;,&#8321; = 3\/1<br>&#119862;&#8323;,&#8321; = 3<\/p>\n\n\n\n<p>Novamente, a escolha do princ&iacute;pio a ser usado, no caso, o multiplicativo pois as torres apresentam duas pe&ccedil;as vermelhas <strong>E <\/strong>uma pe&ccedil;a de outra cor.<\/p>\n\n\n\n<p>Desse modo, o n&uacute;mero &#119902; de torres que apresentam duas pe&ccedil;as vermelhas e uma terceira de outra cor &eacute; dado por:<\/p>\n\n\n\n<p>&#119902; = &#119862;&#8323;,&#8322; &#8729; &#119862;&#8323;,&#8321;<br>&#119902; = 3 &#8729; 3<br>&#119902; = 9<\/p>\n\n\n\n<p>Vamos organizar esses dados para n&atilde;o nos perdermos na resolu&ccedil;&atilde;o:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"400\" height=\"136\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/image-66-84.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-158763\"><\/figure>\n\n\n\n<p>E agora, o que fazer com esses n&uacute;meros? Estamos diante de um caso em que utilizaremos o princ&iacute;pio multiplicativo ou o aditivo?<br>Pensemos no caso das torres.<\/p>\n\n\n\n<p><em>Cada torre apresenta 3 cores distintas <\/em><strong>E<\/strong><em> 2 amarelas <\/em><strong>E<\/strong><em> 2 vermelhas<\/em><em><br><\/em><em>Cada torre apresenta 3 cores distintas <\/em><strong>OU<\/strong><em> 2 amarelas <\/em><strong>OU<\/strong><em> duas vermelhas<\/em><\/p>\n\n\n\n<p>Como cada torre s&oacute; pode ser de um dos 3 tipos, n&atilde;o de todos ao mesmo tempo, estamos diante do princ&iacute;pio aditivo.<\/p>\n\n\n\n<p>Assim, o n&uacute;mero &#119905; de torres diferentes que podemos montar com as condi&ccedil;&otilde;es dadas &eacute; de:<\/p>\n\n\n\n<p>&#119905; = &#119899; + &#119901; + &#119902;<br>&#119905; = 24 + 9 + 9<br>&#119905; = 42<\/p>\n\n\n\n<p>Alternativa correta: <strong>C<\/strong><\/p>\n<\/details><p>\n\n\n\n<div class=\"estrategia-catalog\"><h3>Estude para a Unesp<\/h3><div class=\"carrossel-product\"><div><h4><strong>Pacote UNESP - 24 Meses<\/strong><\/h4><div class=\"cat-description\">Sua prepara\u00e7\u00e3o completa para ingressar na maior universidade do estado de S\u00e3o Paulo.\n<br>\nO Pacote UNESP \u00e9 ideal para quem deseja conquistar uma vaga na Universidade Estadual Paulista (Unesp), reconhecida por sua excel\u00eancia em diversas \u00e1reas do conhecimento. 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Para efeitos da classifica&ccedil;&atilde;o final, as regras do torneio impedem qualquer tipo de empate.<\/p><p>Considerando para os c&aacute;lculos log 15! = 12 e log 2 = 0,3, a ordem de grandeza do total de classifica&ccedil;&otilde;es poss&iacute;veis das equipes nesse torneio &eacute; de<\/p><p><strong>A <\/strong>bilh&otilde;es.<br><strong>B <\/strong>quatrilh&otilde;es.<br><strong>C <\/strong>quintilh&otilde;es.<br><strong>D <\/strong>milh&otilde;es.<br><strong>E <\/strong>trilh&otilde;es.<\/p><details class=\"wp-block-details is-layout-flow wp-block-details-is-layout-flow\"><summary><strong>Resposta: <\/strong><\/summary>\n<p>N&uacute;mero de classifica&ccedil;&otilde;es: &#119899; = 16! = 16.15!<br>Olhando para log &#119899; = log 16.15! = log 16 + log 15! = log 2&#8308; + log 15!<br>log &#119899; = 4. log 2 + log 15! ~ 4.0,3 + 12 = 1,2 + 12<br>&#119899; = 10&sup1;&bull;&sup2;. 10&sup1;&sup2; (&#119900;&#119903;&#119889;&#119890;&#119898; &#119889;&#119890; &#119905;&#119903;&#119894;&#119897;&#8462;&otilde;&#119890;&#119904;)<\/p>\n\n\n\n<p>Alternativa correta: <strong>E<\/strong><\/p>\n<\/details><h3 class=\"wp-block-heading\">Unesp (2014) (1&ordf; fase)<\/h3><p>Um professor, ao elaborar uma prova composta de 10 quest&otilde;es de m&uacute;ltipla escolha, com 5 alternativas cada e apenas uma correta, deseja que haja um equil&iacute;brio no n&uacute;mero de alternativas corretas, a serem assinaladas com X na folha de respostas. Isto &eacute;, ele deseja que duas quest&otilde;es sejam assinaladas com a alternativa A, duas com a B, e assim por diante, como mostra o modelo.<\/p><figure class=\"wp-block-image size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"337\" height=\"377\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/image-66-85.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-158764\"><\/figure><p>Nessas condi&ccedil;&otilde;es, a quantidade de folha de respostas diferentes, com a letra X disposta nas alternativas corretas, ser&aacute;<\/p><p><strong>A <\/strong>302 400.<br><strong>B <\/strong>113 400<br><strong>C <\/strong>226 800.<br><strong>D <\/strong>181 440<br><strong>E <\/strong>604 800.<\/p><details class=\"wp-block-details is-layout-flow wp-block-details-is-layout-flow\"><summary><strong>Resposta:<\/strong><\/summary>\n<p>A chave para entender a resolu&ccedil;&atilde;o dessa quest&atilde;o est&aacute; em separar as quest&otilde;es por alternativa. Utilizando o gabarito fornecido, em colunas.<\/p>\n\n\n\n<p>A ordem de escolha n&atilde;o importa muito, desde que tenhamos, ao final, duas quest&otilde;es para cada alternativa de resposta.<\/p>\n\n\n\n<p>Vamos escolher as alternativas na ordem em que aparecem, de a) para e), mas voc&ecirc; pode fazer em outra ordem se quiser.<\/p>\n\n\n\n<p>De in&iacute;cio, temos 10 quest&otilde;es a resolver e estamos interessados em saber de quantos modos distintos podemos escolher duas alternativas a). Aqui n&atilde;o estamos interessados, ainda, nas outras alternativas, s&oacute; na alternativa a).<\/p>\n\n\n\n<p>Desse modo, temos.<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"400\" height=\"218\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/image-66-86.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-158765\"><\/figure>\n\n\n\n<p>Para escolher duas op&ccedil;&otilde;es a) em 10 quest&otilde;es, temos uma combina&ccedil;&atilde;o de 10 quest&otilde;es tomadas 2 a 2.<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"400\" height=\"31\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/image-66-87.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-158766\"><\/figure>\n\n\n\n<p>Assim, para escolher duas quest&otilde;es, dentre 10 poss&iacute;veis, para a alternativa a), temos<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"162\" height=\"219\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/image-66-88.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-158767\"><\/figure>\n\n\n\n<p>Temos, ent&atilde;o, 45 formas diferentes de escolher 2 alternativas a) dentre as 10 quest&otilde;es poss&iacute;veis.<\/p>\n\n\n\n<p>Passemos, ent&atilde;o, &agrave; an&aacute;lise da alternativa b).<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"308\" height=\"242\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/image-66-89.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-158768\"><\/figure>\n\n\n\n<p>Do mesmo modo, temos uma combina&ccedil;&atilde;o. No entanto, n&atilde;o podemos mais utilizar as 10 quest&otilde;es, pois j&aacute; utilizamos 2 na alternativa a).<\/p>\n\n\n\n<p>Assim, o n&uacute;mero de maneiras de escolhermos duas alternativas b) nesse gabarito, dentre as 8 quest&otilde;es restantes &eacute;:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"139\" height=\"127\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/image-66-90.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-158769\"><\/figure>\n\n\n\n<p>Analisemos, ent&atilde;o, a alternativa c).<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"311\" height=\"241\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/image-66-91.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-158770\"><\/figure>\n\n\n\n<p>Para a escolha de 2 quest&otilde;es com a alternativa c) como resposta, temos sobrando apenas 6 quest&otilde;es ainda n&atilde;o assinaladas.<\/p>\n\n\n\n<p>Assim, o n&uacute;mero de maneiras de escolhermos a alternativa c) &eacute; dado por:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"152\" height=\"138\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/image-66-92.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-158771\"><\/figure>\n\n\n\n<p>An&aacute;lise da alternativa d).<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"309\" height=\"247\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/image-66-93.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-158772\"><\/figure>\n\n\n\n<p>Para a escolha da alternativa d), temos ainda menos op&ccedil;&otilde;es, pois j&aacute; utilizamos 6 das 10 quest&otilde;es inicialmente dispon&iacute;veis com as alternativas a), b) e c).<\/p>\n\n\n\n<p>Desse modo, temos, para a alternativa d), apenas 4 quest&otilde;es dispon&iacute;veis para escolha.<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"147\" height=\"123\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/image-66-94.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-158773\"><\/figure>\n\n\n\n<p>E, por fim, temos a alternativa e).<\/p>\n\n\n\n<p>Como j&aacute; escolhemos 8 das 10 quest&otilde;es dispon&iacute;veis, temos apenas uma maneira de escolher, dentre as 2 quest&otilde;es restantes, 2 alternativas e).<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"335\" height=\"335\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/image-66-95.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-158774\" srcset=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/image-66-95.png 335w, https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/image-66-95-150x150.png 150w\" sizes=\"(max-width: 335px) 100vw, 335px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>Agora, de posse de todos esses n&uacute;meros, precisamos pensar se estamos diante do princ&iacute;pio multiplicativo ou do princ&iacute;pio aditivo.<\/p>\n\n\n\n<p>Analisemos.<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"400\" height=\"37\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/image-66-96.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-158775\"><\/figure>\n\n\n\n<p>Cada gabarito de prova deve ser preenchido totalmente, implicando o uso de todas as alternativas, de a) a e). Assim, estamos diante do princ&iacute;pio multiplicativo.<\/p>\n\n\n\n<p>Dessa forma, o n&uacute;mero &#119899; de gabaritos distintos, contendo exatamente duas respostas de cada alternativa &eacute;:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"231\" height=\"109\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/image-66-97.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-158776\"><\/figure>\n\n\n\n<p>Alternativa correta: <strong>B<\/strong><\/p>\n<\/details><h3 class=\"wp-block-heading\">Unesp (2011) (1&ordf; fase)<\/h3><p>Em um jogo lot&eacute;rico, com 40 dezenas distintas e poss&iacute;veis de serem escolhidas para aposta, s&atilde;o sorteadas 4 dezenas e o ganhador do pr&ecirc;mio maior deve acertar todas elas. Se a aposta m&iacute;nima, em 4 dezenas, custa R$ 2,00, uma aposta em 6 dezenas deve custar:<\/p><p><strong>A <\/strong>R$ 15,00.<br><strong>B <\/strong>R$ 30,00.<br><strong>C <\/strong>R$ 35,00.<br><strong>D <\/strong>R$ 70,00.<br><strong>E <\/strong>R$ 140,00.<\/p><details class=\"wp-block-details is-layout-flow wp-block-details-is-layout-flow\"><summary><strong>Resposta:<\/strong><\/summary>\n<p>Fa&ccedil;amos todas as combina&ccedil;&otilde;es poss&iacute;veis de apostas com 6 dezenas:<\/p>\n\n\n\n<p>&#119862;&#8326;,&#8324; = 6! \/ 4! 2! = 15<\/p>\n\n\n\n<p>&Eacute; poss&iacute;vel formarmos 15 jogos com 4 dezenas, pois, se escolhermos 6 n&uacute;meros, ele nos d&aacute; a mesma quantidade de combina&ccedil;&otilde;es que 15 jogos de 4. Ent&atilde;o o pre&ccedil;o ser&aacute;:<\/p>\n\n\n\n<p>&#119901; = 2 &sdot; 15 = &#119877;$ 30,00<\/p>\n\n\n\n<p>Alternativa correta: <strong>B<\/strong><\/p>\n<\/details><h3 class=\"wp-block-heading\">Unesp (2010) (1&ordf; fase)<\/h3><p>Paulo quer comprar um sorvete com 4 bolas em uma sorveteria que possui tr&ecirc;s sabores de sorvete: chocolate, morango e uva. De quantos modos diferentes ele pode fazer a compra?<\/p><p><strong>A <\/strong>4.<br><strong>B <\/strong>6.<br><strong>C <\/strong>9.<br><strong>D <\/strong>12.<br><strong>E <\/strong>15.<\/p><details class=\"wp-block-details is-layout-flow wp-block-details-is-layout-flow\"><summary><strong>Resposta:<\/strong><\/summary>\n<p>Seja &#119886; a quantidade de bolas do sabor chocolate, &#119887; a quantidade de morango e &#119888; a quantidade de uva.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>&Eacute; necess&aacute;rio que &#119886; + &#119887; + &#119888; = 4<\/p>\n\n\n\n<p>Pensando nessas 4 bolas como &ldquo;palitinhos&rdquo; |,temos que organizar essa configura&ccedil;&atilde;o:&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>||||++. De quantas maneiras podemos organizar 4 palitinhos e 2 sinais de mais (6!)\/(2!4!) = 6.5\/2 = 15<\/p>\n\n\n\n<p>Alternativa correta: <strong>E<\/strong><\/p>\n<\/details><p>\n\n\n\n<div id=\"new-form\">\n\t<form id=\"forms_layout\">\n\t<input type=\"hidden\" id=\"chave_de\" name=\"chave_de\" value=\"01_EVEST_LEADS_TOTAIS\" \/>\n\t\t<input type=\"hidden\" id=\"mid\" name=\"mid\" value=\"515008983\" \/>\n\t\t<input type=\"hidden\" id=\"Objetivo\" name=\"Objetivo\" value=\"Vestibulares\" \/>\n\t\t<input type=\"hidden\" id=\"Estado_de_Origem_do_IP\" name=\"Estado_de_Origem_do_IP\"  value=\"\" \/>\n\t\t<input type=\"hidden\" id=\"Cidade_de_Origem_do_IP\" name=\"Cidade_de_Origem_do_IP\" value=\"\" \/>\n\t\t<input type=\"hidden\" id=\"Modo_de_entrada\" name=\"Modo_de_entrada\" value=\"Portal\" \/>\n\t\t<input type=\"hidden\" id=\"Pagina_Origem\" name=\"Pagina_Origem\" value=\"\" \/>\n\n\t\t<div class=\"texto\">\n\t\t\t<h3 class=\"news\">Inscreva-se em nossa newsletter\ud83e\udd89<\/h3>\n\t\t\t<p>Receba dicas de estudo gratuitas e saiba em primeira m\u00e3o as novidades sobre o Enem, Sisu, Encceja, Fuvest e outros vestibulares!<\/p>\n\t\t<\/div>\n\t\t<div class=\"campos\">\n\t\t\t<div class=\"first_name labels\">\n\t\t\t\t<input type=\"text\" class=\"input_labels\" id=\"first_name\" name=\"Nome_Completo\" placeholder=\"Nome\" required \/>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<div class=\"email labels\">\n\t\t\t\t<input type=\"email\" class=\"input_labels\" id=\"email\" name=\"Email\" placeholder=\"E-mail\" required \/>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<button type=\"submit\" class=\"button_layout\">\n\t\t\t\t<div id=\"lblBotao\">Inscreva-se<\/div>\n\t\t\t\t<span id=\"divSpiner\" class=\"loader\" role=\"status\" style=\"display: none;\"><\/span>\t\n\t\t\t<\/button>\n\t\t<\/div><!-- \/campos -->\n\t\t\n\t\t<label class=\"container_checkbox\">Voc\u00ea concorda com a nossa\n\t\t\t<a class=\"politics_privacy_ahref\" target=\"_blank\" href=\"https:\/\/gratis.estrategiaconcursos.com.br\/politica-de-privacidade\/\">Pol\u00edtica de Privacidade<\/a> e aceita receber informa\u00e7\u00f5es adicionais do Estrat\u00e9gia Educacional.\n\t\t\t<input id=\"checkbox_layout\" type=\"checkbox\" checked=\"checked\" required \/>\n\t\t\t<span class=\"checkbox\"><\/span>\n\t\t<\/label>\n\t\t<div id=\"msg\"><\/div>\n\t\t<div id=\"error\" class=\"error\">\n\t\t<\/div>\n\t<\/form>\n<\/div><!-- \/new-form -->\n\n\n\n<\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-principais-temas-de-matematica-da-unesp\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Principais-temas-de-Matematica-da-Unesp\"><\/span>Principais temas de Matem&aacute;tica da Unesp<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>Quer saber quais outros temas da disciplina caem no vestibular da institui&ccedil;&atilde;o presente em todas as regi&otilde;es do interior paulista? Acesse o nosso&nbsp;<a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/enem-e-vestibulares\/unesp-o-que-estudar-para-a-prova-de-matematica-do-vestibular\/\" target=\"_blank\">guia completo sobre o que estudar para a prova de matem&aacute;tica da Unesp<\/a>. Confira tamb&eacute;m outros artigos sobre An&aacute;lise Combinat&oacute;ria:<\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-veja-mais-sobre-questoes\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Veja-mais-sobre-questoes\"><\/span>Veja mais sobre quest&otilde;es<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><ul class=\"wp-block-list\">\n<li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/atualidades-e-dicas\/7-questoes-sobre-mudancas-climaticas-que-ja-cairam-nos-vestibulares-e-no-enem\/\">7 quest&otilde;es sobre mudan&ccedil;as clim&aacute;ticas que j&aacute; ca&iacute;ram nos vestibulares e no Enem<\/a><\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/atualidades-e-dicas\/7-questoes-sobre-indicadores-socioeconomicos-que-ja-cairam-nos-vestibulares-e-no-enem\/\">7 quest&otilde;es sobre indicadores socioecon&ocirc;micos que j&aacute; ca&iacute;ram nos vestibulares e no Enem<\/a><\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/enem-e-vestibulares\/7-questoes-sobre-arte-contemporanea-que-ja-cairam-no-enem-e-vestibulares\/\">7 quest&otilde;es sobre arte contempor&acirc;nea que j&aacute; ca&iacute;ram no Enem e vestibulares<\/a><\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/enem-e-vestibulares\/7-questoes-sobre-o-periodo-regencial-que-cairam-no-enem-e-nos-vestibulares\/\">7 quest&otilde;es sobre o Per&iacute;odo Regencial que ca&iacute;ram no Enem e nos vestibulares<\/a><\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/atualidades-e-dicas\/7-questoes-sobre-a-revolucao-russa-que-ja-cairam-nos-vestibulares\/\">7 quest&otilde;es sobre a revolu&ccedil;&atilde;o russa que j&aacute; ca&iacute;ram nos vestibulares<\/a><\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/atualidades-e-dicas\/5-questoes-sobre-probabilidade-que-ja-cairam-no-enem-e-vestibulares\/\">5 quest&otilde;es sobre probabilidade que j&aacute; ca&iacute;ram no Enem e vestibulares<\/a><\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/enem-e-vestibulares\/7-questoes-sobre-hidrografia-que-ja-cairam-no-enem-e-vestibulares\/\">7 quest&otilde;es sobre hidrografia que j&aacute; ca&iacute;ram no Enem e vestibulares<\/a><\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/atualidades-e-dicas\/9-questoes-sobre-ecologia-que-ja-cairam-nos-vestibulares-e-no-enem\/\" target=\"_blank\">9 quest&otilde;es sobre ecologia que j&aacute; ca&iacute;ram nos vestibulares e no Enem<\/a><\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/atualidades-e-dicas\/questoes-sobre-citologia\/\" target=\"_blank\">13 quest&otilde;es sobre Citologia que j&aacute; ca&iacute;ram nos vestibulares e no Enem<\/a><\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/atualidades-e-dicas\/11-questoes-sobre-revolucao-francesa-que-ja-cairam-nos-vestibulares-e-no-enem\/\">11 quest&otilde;es sobre Revolu&ccedil;&atilde;o Francesa que j&aacute; ca&iacute;ram nos vestibulares e no Enem<\/a><\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/atualidades-e-dicas\/11-questoes-sobre-agricultura-e-agronegocio-que-ja-cairam-no-enem-e-em-vestibulares\/\" target=\"_blank\">11 quest&otilde;es sobre agricultura e agroneg&oacute;cio que j&aacute; ca&iacute;ram no Enem e em vestibulares<\/a><\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/enem-e-vestibulares\/7-questoes-sobre-astronomia-que-ja-cairam-no-enem-e-vestibulares\/\">7 quest&otilde;es sobre astronomia que j&aacute; ca&iacute;ram no Enem e vestibulares<\/a><\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/atualidades-e-dicas\/9-questoes-sobre-revolucao-industrial-que-ja-cairam-no-enem-e-demais-vestibulares\/\">9 quest&otilde;es sobre Revolu&ccedil;&atilde;o Industrial que j&aacute; ca&iacute;ram no Enem e demais vestibulares<\/a><\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/atualidades-e-dicas\/7-questoes-sobre-cartografia-que-ja-cairam-nos-vestibulares-e-no-enem\/\">7 Quest&otilde;es sobre cartografia que j&aacute; ca&iacute;ram nos vestibulares e no Enem<\/a><\/li>\n<\/ul><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-estude-com-o-estrategia-vestibulares-nbsp\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Estude-com-o-Estrategia-Vestibulares\"><\/span>Estude com o Estrat&eacute;gia Vestibulares&nbsp;<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>O Estrat&eacute;gia Vestibulares oferece diariamente aulas gratuitas no YouTube sobre todas as mat&eacute;rias que caem nos principais vestibulares do Brasil!&nbsp;<\/p><p>Al&eacute;m disso, para aqueles que querem investir nos estudos, a plataforma tamb&eacute;m oferece cursos preparat&oacute;rios focados em cada uma das bancas, com professores especialistas na prova e com diversos benef&iacute;cios. 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