{"id":31967,"date":"2019-10-29T17:51:01","date_gmt":"2019-10-29T20:51:01","guid":{"rendered":"https:\/\/blog.estrategiavestibulares.com.br\/?p=31967"},"modified":"2022-08-09T11:54:27","modified_gmt":"2022-08-09T14:54:27","slug":"aproximacao-senx-tgx-x-e-suas-aplicacoes-no-vestibular","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/aproximacao-senx-tgx-x-e-suas-aplicacoes-no-vestibular\/","title":{"rendered":"Aproxima\u00e7\u00e3o sen(x) = tg(x) = x e suas aplica\u00e7\u00f5es no vestibular"},"content":{"rendered":"<p><!--[CDATA[\n\n<p]]-->A aproxima&ccedil;&atilde;o <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B100%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;sen%5Cleft(x%5Cright)%5Capprox&amp;space;tg(x)%5Capprox&amp;space;x\" alt=\"\\dpi{100} \\large sen\\left(x\\right)\\approx tg(x)\\approx x\" align=\"absmiddle\"> aparece em diversas quest&otilde;es e t&oacute;picos te&oacute;ricos da f&iacute;sica, principalmente. Vamos analisar onde essas aproxima&ccedil;&otilde;es aparecem, como devem ser utilizadas no vestibular e de onde ela surge (a demonstra&ccedil;&atilde;o da validade dessa aproxima&ccedil;&atilde;o envolve t&oacute;picos de c&aacute;lculo diferencial, n&atilde;o sendo, portanto, necess&aacute;ria para o vestibular.<div id=\"ez-toc-container\" class=\"ez-toc-v2_0_76 counter-hierarchy ez-toc-counter ez-toc-transparent ez-toc-container-direction\">\n<div class=\"ez-toc-title-container\"><p class=\"ez-toc-title\" style=\"cursor:inherit\">Navegue pelo conte\u00fado<\/p>\n<\/div><nav><ul class='ez-toc-list ez-toc-list-level-1 ' ><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-1\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/aproximacao-senx-tgx-x-e-suas-aplicacoes-no-vestibular\/#De-onde-surge-a-aproximacao\" >De onde surge a aproxima&ccedil;&atilde;o?<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-2\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/aproximacao-senx-tgx-x-e-suas-aplicacoes-no-vestibular\/#Como-cai-no-vestibular\" >Como cai no vestibular?<\/a><\/li><\/ul><\/nav><\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-de-onde-surge-a-aproximacao\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"De-onde-surge-a-aproximacao\"><\/span>De onde surge a aproxima&ccedil;&atilde;o?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>Um dos t&oacute;picos do c&aacute;lculo diferencial s&atilde;o as s&eacute;ries de Taylor, que s&atilde;o s&eacute;ries que utilizam as derivadas de uma fun&ccedil;&atilde;o para representar uma fun&ccedil;&atilde;o complicada em forma de um polin&ocirc;mio, que normalmente &eacute; muito mais f&aacute;cil de ser estudado.<\/p><p>N&atilde;o ser&aacute; mostrado aqui, mas a s&eacute;rie de Taylor da <a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/funcao-de-segundo-grau\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">fun&ccedil;&atilde;o<\/a> <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B100%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;f(x)&amp;space;=&amp;space;sen&amp;space;(x)\" alt=\"\\dpi{100} \\large f(x) = sen (x)\" align=\"absmiddle\"> pr&oacute;xima ao ponto <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B100%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;x&amp;space;=&amp;space;0\" alt=\"\\dpi{100} \\large x = 0\" align=\"absmiddle\"> &eacute; dada por:<\/p><p><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B100%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;sen(x)&amp;space;=&amp;space;x&amp;space;-&amp;space;%5Cfrac%7Bx%5E%7B3%7D%7D%7B3!%7D+%5Cfrac%7Bx%5E%7B5%7D%7D%7B5!%7D-%5Cfrac%7Bx%5E%7B7%7D%7D%7B7!%7D+%5Ccdots&amp;space;=%5Ctextstyle%5Csum_%7Bn=0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D&amp;space;%5Cfrac%7B(-1)%5E%7Bn%7D%7D%7B(2n+1)!%7Dx%5E%7B2n+1%7D\" alt=\"\\dpi{100} \\large sen(x) = x - \\frac{x^{3}}{3!}+\\frac{x^{5}}{5!}-\\frac{x^{7}}{7!}+\\cdots =\\textstyle\\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}x^{2n+1}\" align=\"absmiddle\"><\/p><p>Sendo assim, perceba que, se tomarmos valores de x (em radianos) pequenos, o valor dos n&uacute;meros <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B100%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;%5Cfrac%7Bx%5E%7B3%7D%7D%7B3!%7D\" alt=\"\\dpi{100} \\large \\frac{x^{3}}{3!}\" align=\"absmiddle\">, <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B100%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;%5Cfrac%7Bx%5E%7B5%7D%7D%7B5!%7D\" alt=\"\\dpi{100} \\large \\frac{x^{5}}{5!}\" align=\"absmiddle\">, e os demais se tornam muito pequenos se comparados com o valor de x.<\/p><p>Assim, torna-se v&aacute;lido e &uacute;til fazer a aproxima&ccedil;&atilde;o <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B100%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;sen(x)%5Capprox&amp;space;x\" alt=\"\\dpi{100} \\large sen(x)\\approx x\" align=\"absmiddle\">. S&atilde;o considerados pequenos os valores de x at&eacute; 10&ordm; (aproximadamente 0,17 radianos).<\/p><p>Note tamb&eacute;m que, para esse mesmo intervalo de valores de x (at&eacute; 10&ordm;), <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B100%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;cos(x)%5Capprox&amp;space;1\" alt=\"\\dpi{100} \\large cos(x)\\approx 1\" align=\"absmiddle\">. Como <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B100%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;tg(x)=%5Cfrac%7Bsen(x)%7D%7Bcos(x)%7D\" alt=\"\\dpi{100} \\large tg(x)=\\frac{sen(x)}{cos(x)}\" align=\"absmiddle\">, se <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B100%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;cos(x)%5Capprox&amp;space;1\" alt=\"\\dpi{100} \\large cos(x)\\approx 1\" align=\"absmiddle\">, ent&atilde;o <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B100%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;tg(x)%5Capprox&amp;space;sen(x)\" alt=\"\\dpi{100} \\large tg(x)\\approx sen(x)\" align=\"absmiddle\">.<\/p><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-outra-analise\"><strong>Outra an&aacute;lise<\/strong><\/h3><p>Outra forma um pouco mais visual de se perceber a validade dessa aproxima&ccedil;&atilde;o &eacute; analisando o ciclo trigonom&eacute;trico.<\/p><div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/cdn.blog.estrategiavestibulares.com.br\/vestibulares\/wp-content\/uploads\/2019\/10\/image164.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-31971\"><\/figure><\/div><p>Analisando os elementos do ciclo, podemos perceber que, quanto menor o &acirc;ngulo &theta;:<\/p><ol class=\"wp-block-list\"><li>mais o valor de <em>cos<\/em>&theta; se aproxima da borda do c&iacute;rculo, ou seja, fica pr&oacute;ximo de 1.<\/li><li>mais o valor de <em>sen<\/em>&theta;, que &eacute; dado pela reta vertical, se aproxima do arco. Em outras palavras, quanto menor o &acirc;ngulo, mais o trecho circular que corresponde ao arco se aproxima de uma reta, e para &acirc;ngulos suficientemente pequenos, podemos tomar dessa reta como aproxima&ccedil;&atilde;o.<\/li><\/ol><p>Ambas as observa&ccedil;&otilde;es nos levam a concluir mais uma vez que a aproxima&ccedil;&atilde;o &eacute; v&aacute;lida.<\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-como-cai-no-vestibular\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Como-cai-no-vestibular\"><\/span>Como cai no vestibular?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-questao-ita-2015\"><strong>Quest&atilde;o <a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/vestibulares\/vestibular-ita\/\" target=\"_blank\">ITA<\/a><\/strong> <strong>2015<\/strong><\/h3><p>Luz, que pode ser decomposta em componentes de comprimento de onda com 480nm e 600 nm, incide verticalmente em uma cunha de vidro com &acirc;ngulo de abertura <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B100%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;%5Calpha&amp;space;=&amp;space;3,00%5E%7Bo%7D\" alt=\"\\dpi{100} \\large \\alpha = 3,00^{o}\" align=\"absmiddle\"> e incide de refra&ccedil;&atilde;o de 1,50, conforme a figura, formando linhas de interfer&ecirc;ncia destrutivas. Qual &eacute; a dist&acirc;ncia entre essas linhas?<\/p><figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/cdn.blog.estrategiavestibulares.com.br\/vestibulares\/wp-content\/uploads\/2019\/10\/image165.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-31973\"><\/figure><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-resolucao-comentada\"><strong>Resolu&ccedil;&atilde;o Comentada<\/strong><\/h3><p>O aparecimento das linhas de interfer&ecirc;ncia destrutiva &eacute; causado pela espessura da cunha de vidro, que causa uma diferen&ccedil;a de caminho entre a luz que &eacute; imediatamente refletida, percorre a cunha e ent&atilde;o &eacute; refletida.<\/p><p>A diferen&ccedil;a de caminhos nessa situa&ccedil;&atilde;o &eacute; dada por <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/gif.latex?%5CDelta&amp;space;d=2e\" alt=\"\\Delta d=2e\" align=\"absmiddle\">, em que e &eacute; a espessura da cunha no ponto analisado.<\/p><p>Na reflex&atilde;o do ar para a cunha ocorre invers&atilde;o de fase, pois a cunha &eacute; mais refringente. Assim, os pontos em que ocorre interfer&ecirc;ncia destrutiva s&atilde;o aqueles em que <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/gif.latex?%5CDelta&amp;space;d=2e=N%5Cfrac%7B%5Clambda&amp;space;%7D%7Bn_%7Br%7D%7D(N=1,2,3...)\" alt=\"\\Delta d=2e=N\\frac{\\lambda }{n_{r}}(N=1,2,3...)\" align=\"absmiddle\"> sendo <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/gif.latex?n_%7Br%7D\" alt=\"n_{r}\" align=\"absmiddle\"> o &iacute;ndice de refra&ccedil;&atilde;o da cunha e <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/gif.latex?%5Clambda\" alt=\"\\lambda\" align=\"absmiddle\"> o comprimento de onda.<\/p><p>S&oacute; ser&atilde;o pontos de interfer&ecirc;ncia destrutiva aqueles em que essa interfer&ecirc;ncia acontecer para ambos os comprimentos de onda, ou seja, <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/gif.latex?%5CDelta&amp;space;d=&amp;space;N_%7B1%7D%5Clambda&amp;space;_%7B1%7D\" alt=\"\\Delta d= N_{1}\\lambda _{1}\" align=\"absmiddle\"> e <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/gif.latex?%5CDelta&amp;space;d=&amp;space;N_%7B2%7D%5Clambda&amp;space;_%7B2%7D\" alt=\"\\Delta d= N_{2}\\lambda _{2}\" align=\"absmiddle\">.<\/p><p>Como o <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/gif.latex?%5CDelta&amp;space;d\" alt=\"\\Delta d\" align=\"absmiddle\"> &eacute; o mesmo, podemos igualar as duas equa&ccedil;&otilde;es:<\/p><p><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/gif.latex?N_%7B1%7D%5Clambda&amp;space;_%7B1%7D&amp;space;=&amp;space;N_%7B2%7D%5Clambda&amp;space;_%7B2%7D%5Crightarrow&amp;space;480N_%7B1%7D&amp;space;=&amp;space;600N_%7B2%7D&amp;space;%5Crightarrow&amp;space;4N_%7B1%7D&amp;space;=&amp;space;5N_%7B2%7D\" alt=\"N_{1}\\lambda _{1} = N_{2}\\lambda _{2}\\rightarrow 480N_{1} = 600N_{2} \\rightarrow 4N_{1} = 5N_{2}\" align=\"absmiddle\">.<\/p><p>Os menores pares de n&uacute;meros que satisfazem essa equa&ccedil;&atilde;o s&atilde;o <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/gif.latex?(N_%7B1%7D,&amp;space;N_%7B2%7D)&amp;space;=&amp;space;(5,4)\" alt=\"(N_{1}, N_{2}) = (5,4)\" align=\"absmiddle\"> e <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/gif.latex?(N_%7B1%7D,N_%7B2%7D)&amp;space;=&amp;space;(10,8)\" alt=\"(N_{1},N_{2}) = (10,8)\" align=\"absmiddle\">. Com isso, conseguimos achar a espessura da cunha nos pontos desejados. No primeiro ponto, <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/gif.latex?%5CDelta&amp;space;=2e&amp;space;=&amp;space;%5Cfrac%7B5*480%7D%7B1,5%7D%5Crightarrow&amp;space;e=800&amp;space;nm\" alt=\"\\Delta =2e = \\frac{5*480}{1,5}\\rightarrow e=800 nm\" align=\"absmiddle\">, e no segundo ponto <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/gif.latex?%5CDelta&amp;space;=2e&amp;space;=&amp;space;%5Cfrac%7B10*480%7D%7B1,5%7D%5Crightarrow&amp;space;e=1600&amp;space;nm\" alt=\"\\Delta =2e = \\frac{10*480}{1,5}\\rightarrow e=1600 nm\" align=\"absmiddle\">.<\/p><p>Agora, precisamos usar a aproxima&ccedil;&atilde;o. Queremos a dist&acirc;ncia horizontal entre esses dois pontos, e temos a dist&acirc;ncia vertical, dada por <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/gif.latex?y&amp;space;=&amp;space;1600&amp;space;-&amp;space;800&amp;space;=&amp;space;800&amp;space;nm\" alt=\"y = 1600 - 800 = 800 nm\" align=\"absmiddle\">. Para isso, precisamos da tangente do &acirc;ngulo de 3&ordm; &eacute; um &acirc;ngulo pequeno, o que torna v&aacute;lida a aproxima&ccedil;&atilde;o <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/gif.latex?tg(%5Ctheta&amp;space;)%5Capprox&amp;space;%5Ctheta\" alt=\"tg(\\theta )\\approx \\theta\" align=\"absmiddle\"> , para <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/gif.latex?%5Ctheta\" alt=\"\\theta\" align=\"absmiddle\"> em radianos.<\/p><p>Convertendo o &acirc;ngulo para radianos, teremos que <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/gif.latex?3%5E%7Bo%7D=%5Cfrac%7B3%5Cpi&amp;space;%7D%7B180%7D=%5Cfrac%7B%5Cpi&amp;space;%7D%7B60%7D%5Capprox&amp;space;tg(3%5E%7Bo%7D)\" alt=\"3^{o}=\\frac{3\\pi }{180}=\\frac{\\pi }{60}\\approx tg(3^{o})\" align=\"absmiddle\">. Ent&atilde;o, <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/gif.latex?x&amp;space;=&amp;space;%5Cfrac%7B800%7D%7B%5Cfrac%7B%5Cpi&amp;space;%7D%7B60%7D%7D%5Capprox&amp;space;16&amp;space;%5Ccdot&amp;space;10%5E%7B-6%7D&amp;space;=&amp;space;16%5Cmu&amp;space;m\" alt=\"x = \\frac{800}{\\frac{\\pi }{60}}\\approx 16 \\cdot 10^{-6} = 16\\mu m\" align=\"absmiddle\">.<\/p><p>Geralmente, essa aproxima&ccedil;&atilde;o &eacute; usada apenas para um dos passos da solu&ccedil;&atilde;o de uma quest&atilde;o mais complicada, como &eacute; o caso da quest&atilde;o acima.<\/p><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"A aproxima&ccedil;&atilde;o aparece em diversas quest&otilde;es e t&oacute;picos te&oacute;ricos da f&iacute;sica, principalmente. 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