{"id":32653,"date":"2019-11-06T19:15:55","date_gmt":"2019-11-06T22:15:55","guid":{"rendered":"https:\/\/blog.estrategiavestibulares.com.br\/?p=32653"},"modified":"2023-06-02T14:56:18","modified_gmt":"2023-06-02T17:56:18","slug":"teorema-de-taylor","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/teorema-de-taylor\/","title":{"rendered":"Teorema de Taylor: o que diz e como \u00e9 cobrado em prova?"},"content":{"rendered":"<p>F&oacute;rmula Teorema de Taylor<p><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B150%7D&amp;space;%5CLARGE&amp;space;f(x)=%5Ctextstyle%5Csum_%7Bn=0%7D%5E%5Cinfty%5Cfrac%7Bf%5E%7B(n)%7D(x_%7B0%7D)(x-x_%7B0%7D)%5E%7Bn%7D%7D%7Bn!%7D\" alt=\"\\dpi{150} \\LARGE f(x)=\\textstyle\\sum_{n=0}^\\infty\\frac{f^{(n)}(x_{0})(x-x_{0})^{n}}{n!}\" align=\"absmiddle\"><\/p><div id=\"ez-toc-container\" class=\"ez-toc-v2_0_76 counter-hierarchy ez-toc-counter ez-toc-transparent ez-toc-container-direction\">\n<div class=\"ez-toc-title-container\"><p class=\"ez-toc-title\" style=\"cursor:inherit\">Navegue pelo conte\u00fado<\/p>\n<\/div><nav><ul class='ez-toc-list ez-toc-list-level-1 ' ><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-1\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/teorema-de-taylor\/#O-que-e-o-Teorema-de-Taylor\" >O que &eacute; o Teorema de Taylor?<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-2\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/teorema-de-taylor\/#Aplicacao-do-teorema-de-Taylor\" >Aplica&ccedil;&atilde;o do teorema de Taylor<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-3\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/teorema-de-taylor\/#Utilidades-das-series-de-Taylor\" >Utilidades das s&eacute;ries de Taylor<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-4\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/teorema-de-taylor\/#Curiosidades-sobre-Taylor\" >Curiosidades sobre Taylor<\/a><\/li><\/ul><\/nav><\/div>\n<h2><span class=\"ez-toc-section\" id=\"O-que-e-o-Teorema-de-Taylor\"><\/span>O que &eacute; o Teorema de Taylor?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>O valor de uma fun&ccedil;&atilde;o qualquer perto de um ponto <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B150%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;x_%7B0%7D\" alt=\"\\dpi{150} \\large x_{0}\" align=\"absmiddle\"> pode ser aproximado por meio de um polin&ocirc;mio constru&iacute;do com base nos valores da derivada dessa <a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/funcao-de-segundo-grau\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">fun&ccedil;&atilde;o<\/a> no ponto analisado.<\/p><p>Esse polin&ocirc;mio &eacute; chamado de <strong>polin&ocirc;mio de Taylor<\/strong>, ou <strong>s&eacute;rie de Taylor<\/strong>, quando analisado com infinitos &iacute;ndices.<\/p><p>&nbsp;<\/p><p>A vantagem de se utilizar essa s&eacute;rie para analisar certas fun&ccedil;&otilde;es &eacute; que os polin&ocirc;mios s&atilde;o fun&ccedil;&otilde;es simples de serem analisadas, em compara&ccedil;&atilde;o com as demais fun&ccedil;&otilde;es, j&aacute; que sabe-se que polin&ocirc;mios s&atilde;o fun&ccedil;&otilde;es cont&iacute;nuas no conjunto dos reais, e seu comportamento &eacute; f&aacute;cil de se prever, conhecendo-se os coeficientes dominantes.<\/p><p>Isso facilita o estudo das <a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/funcao-de-primeiro-grau\/\" target=\"_blank\">fun&ccedil;&otilde;es<\/a> que n&atilde;o podem ser descritas de maneira t&atilde;o trivial, como fun&ccedil;&otilde;es trigonom&eacute;tricas e fun&ccedil;&otilde;es exponenciais, por exemplo.<\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-aplicacao-do-teorema-de-taylor\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Aplicacao-do-teorema-de-Taylor\"><\/span>Aplica&ccedil;&atilde;o do teorema de Taylor<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>amos aplicar a f&oacute;rmula de Taylor para encontrar a s&eacute;rie da fun&ccedil;&atilde;o <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B150%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;f(x)=e%5E%7Bx%7D\" alt=\"\\dpi{150} \\large f(x)=e^{x}\" align=\"absmiddle\">, pr&oacute;xima do ponto <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B150%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;x_%7B0%7D=0\" alt=\"\\dpi{150} \\large x_{0}=0\" align=\"absmiddle\">. Lembrando: a principal propriedade da fun&ccedil;&atilde;o em quest&atilde;o &eacute; o fato de que ela &eacute; sua pr&oacute;pria derivada, ou seja, <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B150%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;f'(x)=e%5E%7Bx%7D=f(x)\" alt=\"\\dpi{150} \\large f'(x)=e^{x}=f(x)\" align=\"absmiddle\">.<\/p><p>Aplicando essa propriedade repetidamente, conclu&iacute;mos que <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B120%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;f%5E%7B(n)%7D(x)=e%5E%7Bx%7D\" alt=\"\\dpi{120} \\large f^{(n)}(x)=e^{x}\" align=\"absmiddle\">, para todos os valores de n. Desse modo, o termo <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B150%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;f%5E%7B(n)%7D(x_%7B0%7D)\" alt=\"\\dpi{150} \\large f^{(n)}(x_{0})\" align=\"absmiddle\">&nbsp;&eacute; o mesmo para todos os termos da s&eacute;rie, e vale <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B150%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;e%5E%7B0%7D=1\" alt=\"\\dpi{150} \\large e^{0}=1\" align=\"absmiddle\">.<\/p><p>Assim, temos que <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B120%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;e%5E%7Bx%7D=1+x+%5Cfrac%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B2!%7D+%5Cfrac%7Bx%5E%7B3%7D%7D%7B3!%7D+...=%5Ctextstyle%5Csum_%7Bi=0%7D%5En%5Cfrac%7Bx%5E%7Bn%7D%7D%7Bn!%7D\" alt=\"\\dpi{120} \\large e^{x}=1+x+\\frac{x^{2}}{2!}+\\frac{x^{3}}{3!}+...=\\textstyle\\sum_{i=0}^n\\frac{x^{n}}{n!}\" align=\"absmiddle\">.<\/p><p>Vamos analisar agora a s&eacute;rie de Taylor para a fun&ccedil;&atilde;o f(x) = sen (x), tamb&eacute;m pr&oacute;xima do ponto <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B150%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;x_%7B0%7D&amp;space;=&amp;space;0\" alt=\"\\dpi{150} \\large x_{0} = 0\" align=\"absmiddle\">.<\/p><p>Sendo f(x) = sen (x), temos que <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B120%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;f(x_%7B0%7D)&amp;space;=&amp;space;0\" alt=\"\\dpi{120} \\large f(x_{0}) = 0\" align=\"absmiddle\">. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B120%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;f'(x)=cos(x)\" alt=\"\\dpi{120} \\large f'(x)=cos(x)\" align=\"absmiddle\">, e <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B120%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;f'(x_%7B0%7D)=1\" alt=\"\\dpi{120} \\large f'(x_{0})=1\" align=\"absmiddle\">. Derivando novamente, <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B120%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;f''(x)=-sen(x)\" alt=\"\\dpi{120} \\large f''(x)=-sen(x)\" align=\"absmiddle\">, e <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B120%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;f''(x_%7B0%7D)=0\" alt=\"\\dpi{120} \\large f''(x_{0})=0\" align=\"absmiddle\">. <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B120%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;f'''(x)=-cos(x)\" alt=\"\\dpi{120} \\large f'''(x)=-cos(x)\" align=\"absmiddle\">, e <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B120%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;f'''(x_%7B0%7D)=-1\" alt=\"\\dpi{120} \\large f'''(x_{0})=-1\" align=\"absmiddle\">. Realizando esse processo sucessivamente, notamos que os valores das derivadas no ponto <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B120%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;x_%7B0%7D=0\" alt=\"\\dpi{120} \\large x_{0}=0\" align=\"absmiddle\"> se repetem no seguinte padr&atilde;o: 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1,&hellip; Desse modo, aplicando esses valores na f&oacute;rmula de Taylor, vemos que:<\/p><p><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B120%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;en&amp;space;(x)=x-%5Cfrac%7Bx%5E%7B3%7D%7D%7B3!%7D+%5Cfrac%7Bx%5E%7B5%7D%7D%7B5!%7D-%5Cfrac%7Bx%5E%7B7%7D%7D%7B7!%7D...=%5Ctextstyle%5Csum_%7Bi=0%7D%5E%5Cinfty(-1)%5E%7Bi%7D%5Cfrac%7Bx%5E%7B2i+1%7D%7D%7B(2i+1)!%7D\" alt=\"\\dpi{120} \\large en (x)=x-\\frac{x^{3}}{3!}+\\frac{x^{5}}{5!}-\\frac{x^{7}}{7!}...=\\textstyle\\sum_{i=0}^\\infty(-1)^{i}\\frac{x^{2i+1}}{(2i+1)!}\" align=\"absmiddle\"><\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-utilidades-das-series-de-taylor\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Utilidades-das-series-de-Taylor\"><\/span>Utilidades das s&eacute;ries de Taylor<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>A f&oacute;rmula de Taylor fornece o valor da fun&ccedil;&atilde;o, mas para isso deve-se utilizar um n&uacute;mero infinito de termos. Contudo, em certas condi&ccedil;&otilde;es, podemos usar uma quantidade menor de termos para fazer aproxima&ccedil;&otilde;es utilizando as s&eacute;ries de Taylor das fun&ccedil;&otilde;es.<\/p><p>A seguir, est&atilde;o alguns exemplos que aparecem na f&iacute;sica, e utilizam aproxima&ccedil;&otilde;es envolvendo as s&eacute;ries descritas acima:<\/p><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-dilatacao-linear\"><strong>Dilata&ccedil;&atilde;o linear<\/strong><\/h3><p>Suponha um material com coeficiente de dilata&ccedil;&atilde;o <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B120%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;%5Calpha\" alt=\"\\dpi{120} \\large \\alpha\" align=\"absmiddle\">. Esse material recebe uma pequena quantidade de calor, que gera uma varia&ccedil;&atilde;o de temperatura <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B120%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;dT\" alt=\"\\dpi{120} \\large dT\" align=\"absmiddle\">, e uma pequena dilata&ccedil;&atilde;o, <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B120%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;dL\" alt=\"\\dpi{120} \\large dL\" align=\"absmiddle\">. Sabemos que a dilata&ccedil;&atilde;o &eacute; proporcional ao comprimento, ao coeficiente de dilata&ccedil;&atilde;o e &agrave; varia&ccedil;&atilde;o de temperatura.<\/p><p>Sendo assim:<\/p><p><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B120%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;dL=L%5Calpha&amp;space;dT%5Crightarrow&amp;space;%5Cfrac%7BdL%7D%7BL%7D=%5Calpha&amp;space;dT\" alt=\"\\dpi{120} \\large dL=L\\alpha dT\\rightarrow \\frac{dL}{L}=\\alpha dT\" align=\"absmiddle\"><\/p><p>Para encontrar o comprimento final do material, devemos integrar ambos os lados da equa&ccedil;&atilde;o (sabendo que <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B120%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;%5Cint_%7Bx_%7B0%7D%7D%5E%7Bx_%7Bf%7D%7D%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bx%7D=ln(%5Cfrac%7Bx_%7Bf%7D%7D%7Bx_%7B0%7D%7D)\" alt=\"\\dpi{120} \\large \\int_{x_{0}}^{x_{f}}\\frac{dx}{x}=ln(\\frac{x_{f}}{x_{0}})\" align=\"absmiddle\">):<\/p><p><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B120%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;%5Cint_%7BL_%7B0%7D%7D%5E%7BL%7D%5Cfrac%7BdL%7D%7BL%7D=%5Calpha&amp;space;%5Cint&amp;space;dT%5Crightarrow&amp;space;ln(%5Cfrac%7BL%7D%7BL_%7B0%7D%7D)=%5Calpha&amp;space;%5CDelta&amp;space;T%5Crightarrow&amp;space;L=L_%7B0%7De%5E%7B%5Calpha&amp;space;%5CDelta&amp;space;T%7D\" alt=\"\\dpi{120} \\large \\int_{L_{0}}^{L}\\frac{dL}{L}=\\alpha \\int dT\\rightarrow ln(\\frac{L}{L_{0}})=\\alpha \\Delta T\\rightarrow L=L_{0}e^{\\alpha \\Delta T}\" align=\"absmiddle\"><\/p><p>Contudo, sabemos das propriedades dos materiais, que os valores dos coeficientes de dilata&ccedil;&atilde;o s&atilde;o normalmente pequenos. Analisando a s&eacute;rie de Taylor para a fun&ccedil;&atilde;o <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B120%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;e%5E%7Bx%7D\" alt=\"\\dpi{120} \\large e^{x}\" align=\"absmiddle\">, vemos que ela apresenta pot&ecirc;ncias crescentes de x. Assim, para n&uacute;meros pequenos, as pot&ecirc;ncias maiores podem ser desprezadas.<\/p><p>Desse modo, podemos assumir como uma aproxima&ccedil;&atilde;o v&aacute;lida para <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B120%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;e%5E%7Bx%7D\" alt=\"\\dpi{120} \\large e^{x}\" align=\"absmiddle\">, <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B120%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;e%5E%7Bx%7D%5Capprox&amp;space;1+x\" alt=\"\\dpi{120} \\large e^{x}\\approx 1+x\" align=\"absmiddle\">. Como no caso analisado os valores de <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B120%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;%5Calpha&amp;space;%5CDelta&amp;space;T\" alt=\"\\dpi{120} \\large \\alpha \\Delta T\" align=\"absmiddle\"> s&atilde;o pequenos (da ordem de <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B120%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;10%5E%7B-4%7D\" alt=\"\\dpi{120} \\large 10^{-4}\" align=\"absmiddle\">), podemos usar essa aproxima&ccedil;&atilde;o, e obtemos a f&oacute;rmula mais utilizada para dilata&ccedil;&atilde;o:<\/p><p><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B120%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;L&amp;space;%5Capprox&amp;space;L_%7B0%7D(1+%5Calpha&amp;space;%5CDelta&amp;space;T)\" alt=\"\\dpi{120} \\large L \\approx L_{0}(1+\\alpha \\Delta T)\" align=\"absmiddle\"><\/p><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-difracao-e-refracao-da-luz\"><strong>Difra&ccedil;&atilde;o e refra&ccedil;&atilde;o da luz<\/strong><\/h3><p>Em alguns estudos sobre difra&ccedil;&atilde;o e refra&ccedil;&atilde;o, estudam-se &acirc;ngulos muito pequenos. Nesse tipo de situa&ccedil;&atilde;o, algumas aproxima&ccedil;&otilde;es para as fun&ccedil;&otilde;es trigonom&eacute;tricas dos &acirc;ngulos podem ser utilizadas para facilitar o estudo.<\/p><p>Com rela&ccedil;&atilde;o ao seno de &acirc;ngulos pequenos, se seguirmos o mesmo racioc&iacute;nio que utilizamos para e<sup>x<\/sup>, podemos concluir que a partir de um certo ponto, as pot&ecirc;ncias maiores da s&eacute;rie podem ser desprezadas.<\/p><p>Normalmente, adota-se a aproxima&ccedil;&atilde;o <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B120%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;sen(x)%5Capprox&amp;space;x\" alt=\"\\dpi{120} \\large sen(x)\\approx x\" align=\"absmiddle\"> para &acirc;ngulos menores que 10&deg; (ou 0,17 radianos), e essa aproxima&ccedil;&atilde;o &eacute; baseada na s&eacute;rie de Taylor para essa fun&ccedil;&atilde;o.<\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-curiosidades-sobre-taylor\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Curiosidades-sobre-Taylor\"><\/span>Curiosidades sobre Taylor<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>O matem&aacute;tico respons&aacute;vel por enunciar e desenvolver esse teorema foi Brook Taylor, matem&aacute;tico brit&acirc;nico que foi membro da Royal Society e publicou desde trabalhos em &aacute;reas mais te&oacute;ricas e puramente matem&aacute;ticas, como esse teorema analisado, como tamb&eacute;m &aacute;reas mais voltadas &agrave; f&iacute;sica e a astronomia.<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter is-resized\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/cdn.blog.estrategiavestibulares.com.br\/vestibulares\/wp-content\/uploads\/2019\/11\/image.png\" alt=\"Teorema de Taylor matem&aacute;tico respons&aacute;vel Teorema\" class=\"wp-image-32683\" width=\"256\" height=\"314\"><figcaption class=\"wp-element-caption\">Figura 1: Brook Taylor<\/figcaption><\/figure><\/div><p class=\"has-text-align-center has-luminous-vivid-amber-background-color has-background has-medium-font-size\"><a href=\"https:\/\/estrategiavestibulares.com.br\/pacotes\/\" target=\"_blank\">CURSO PARA VESTIBULAR<\/a><\/p><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"F&oacute;rmula Teorema de Taylor O que &eacute; o Teorema de Taylor? 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