{"id":32722,"date":"2019-11-07T18:14:31","date_gmt":"2019-11-07T21:14:31","guid":{"rendered":"https:\/\/blog.estrategiavestibulares.com.br\/?p=32722"},"modified":"2022-04-27T15:27:29","modified_gmt":"2022-04-27T18:27:29","slug":"teorema-fundamental-da-algebra","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/teorema-fundamental-da-algebra\/","title":{"rendered":"Teorema fundamental da \u00e1lgebra: o que ele diz?"},"content":{"rendered":"<p>Voc&ecirc; certamente j&aacute; ouviu falar sobre a &Aacute;lgebra. Voc&ecirc; sabe o que &eacute;? Sabe calcular? Saiba que esse &eacute; um assunto recorrente em provas de <a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/category\/matematica\/\" target=\"_blank\">vestibular<\/a>. Por isso, criamos esse artigo para tirar algumas d&uacute;vidas sobre o tema. Mas, o que diz o Teorema Fundamental da &Aacute;lgebra?<div id=\"ez-toc-container\" class=\"ez-toc-v2_0_76 counter-hierarchy ez-toc-counter ez-toc-transparent ez-toc-container-direction\">\n<div class=\"ez-toc-title-container\"><p class=\"ez-toc-title\" style=\"cursor:inherit\">Navegue pelo conte\u00fado<\/p>\n<\/div><nav><ul class='ez-toc-list ez-toc-list-level-1 ' ><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-1\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/teorema-fundamental-da-algebra\/#Algebra\" >&Aacute;lgebra<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-2\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/teorema-fundamental-da-algebra\/#O-que-significa-o-teorema-fundamental-da-algebra\" >O que significa o teorema fundamental da &aacute;lgebra?<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-3\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/teorema-fundamental-da-algebra\/#Como-cai-Algebra-na-prova\" >Como cai &Aacute;lgebra na prova?<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-4\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/teorema-fundamental-da-algebra\/#Curiosidades\" >Curiosidades<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-5\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/teorema-fundamental-da-algebra\/#Veja-tambem\" >Veja tamb&eacute;m:<\/a><\/li><\/ul><\/nav><\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-algebra\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Algebra\"><\/span>&Aacute;lgebra<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>H&aacute; v&aacute;rios enunciados poss&iacute;veis para o teorema da &Aacute;lgebra, sendo que um dos mais claros &eacute;: <strong><em>&ldquo;Todo polin&ocirc;mio n&atilde;o constante de grau n possui n ra&iacute;zes complexas, n&atilde;o necessariamente todas distintas&rdquo;<\/em><\/strong>.<\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-o-que-significa-o-teorema-fundamental-da-algebra\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"O-que-significa-o-teorema-fundamental-da-algebra\"><\/span>O que significa o teorema fundamental da &aacute;lgebra?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>Alguns lembretes que facilitar&atilde;o o entendimento e revelar&atilde;o a import&acirc;ncia desse teorema:<\/p><p>Polin&ocirc;mios s&atilde;o express&otilde;es da forma:<\/p><figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B150%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;P(x)=a_%7Bn%7Dx%5E%7Bn%7D+a_%7Bn-1%7Dx%5E%7Bn-1%7D+...+a_%7B1%7Dx+a_%7B0%7D\" alt=\"\\dpi{150} \\large P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}\"><\/figure><p>Em que n &eacute; o grau do polin&ocirc;mio, <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B150%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;a_%7Bi%7D\" alt=\"\\dpi{150} \\large a_{i}\" align=\"absmiddle\"> para i indo de 0 at&eacute; n, s&atilde;o os coeficientes do polin&ocirc;mio, reais ou complexos, e x &eacute; a vari&aacute;vel. Um n&uacute;mero k &eacute; chamado de raiz de um polin&ocirc;mio <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B150%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;P(x)\" alt=\"\\dpi{150} \\large P(x)\" align=\"absmiddle\"> se satisfaz <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B150%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;P(k)=0\" alt=\"\\dpi{150} \\large P(k)=0\" align=\"absmiddle\">.<\/p><p>Assim, o que esse teorema afirma &eacute; que para um polin&ocirc;mio com quaisquer coeficientes, reais ou complexos, o n&uacute;mero de ra&iacute;zes sempre ser&aacute; igual ao seu grau.<\/p><h3 class=\"wp-block-heading\"><strong>Observa&ccedil;&atilde;o<\/strong><\/h3><p>Tomando de exemplo o polin&ocirc;mio <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B150%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;P(x)=x%5E%7B2%7D-2x+1\" alt=\"\\dpi{150} \\large P(x)=x^{2}-2x+1\" align=\"absmiddle\">. Segundo o teorema, o n&uacute;mero de ra&iacute;zes desse polin&ocirc;mio deve ser 2, pois seu grau &eacute; 2. Entretanto, apenas <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B150%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;x=1\" alt=\"\\dpi{150} \\large x=1\" align=\"absmiddle\"> &eacute; raiz, mesmo considerando que x pode ser complexo.<\/p><p>Nesse caso, &eacute; dito que <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B150%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;P(x)\" alt=\"\\dpi{150} \\large P(x)\" align=\"absmiddle\"> possui <strong>duas ra&iacute;zes iguais<\/strong> ou <strong>uma raiz com multiplicidade 2<\/strong>. Isso pode parecer estranho, mas a justificativa para essa defini&ccedil;&atilde;o envolve conceitos topol&oacute;gicos de espa&ccedil;os complexos e an&aacute;lise de fun&ccedil;&otilde;es complexas, conte&uacute;dos que fogem completamente do escopo de qualquer vestibular.<\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-como-cai-algebra-na-prova\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Como-cai-Algebra-na-prova\"><\/span>Como cai &Aacute;lgebra na prova?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>Na pr&aacute;tica, o teorema da &Aacute;lgebra aparece de forma indireta em quaisquer quest&otilde;es referentes a polin&ocirc;mios. Pois traz de maneira r&aacute;pida a informa&ccedil;&atilde;o do n&uacute;mero de ra&iacute;zes do polin&ocirc;mio apenas olhando seu grau. Abaixo, entretanto, est&aacute; uma quest&atilde;o em que o uso do teorema poderia fornecer uma solu&ccedil;&atilde;o mais r&aacute;pida:<\/p><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-questao-ita-2017\"><strong>Quest&atilde;o <a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/prova-ita-2020-matematica\/\" target=\"_blank\">ITA<\/a> 2017<\/strong><\/h3><p>Considere a equa&ccedil;&atilde;o <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B150%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;(a-bi)%5E%7B501%7D=%5Cfrac%7B2(a+bi)%7D%7B(a%5E%7B2%7D+b%5E%7B2%7D)%5E%7B250%7D+1%7D\" alt=\"\\dpi{150} \\large (a-bi)^{501}=\\frac{2(a+bi)}{(a^{2}+b^{2})^{250}+1}\" align=\"absmiddle\"><\/p><p>O n&uacute;mero de pares ordenados <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B150%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;(a,&amp;space;b)%5Cin&amp;space;%5Cmathbb%7BR%7D%5E%7B2%7D\" alt=\"\\dpi{150} \\large (a, b)\\in \\mathbb{R}^{2}\" align=\"absmiddle\"> que satisfazem a equa&ccedil;&atilde;o &eacute;:<\/p><h3><strong>Resolu&ccedil;&atilde;o<\/strong><\/h3><p>Inicialmente, utilizando algumas ideias de n&uacute;meros complexos, podemos fazer <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B150%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;z=a-bi\" alt=\"\\dpi{150} \\large z=a-bi\" align=\"absmiddle\">. Sendo assim, <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B150%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;a+bi=%5Cbar%7Bz%7D\" alt=\"\\dpi{150} \\large a+bi=\\bar{z}\" align=\"absmiddle\"> e <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B150%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;a%5E%7B2%7D+b%5E%7B2%7D=%7Cz%7C%5E%7B2%7D\" alt=\"\\dpi{150} \\large a^{2}+b^{2}=|z|^{2}\" align=\"absmiddle\">. Assim, pedir os pares de reais (a, b) &eacute; equivalente a pedir os complexos z que satisfazem a equa&ccedil;&atilde;o, que se torna:<\/p><p><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B150%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;z%5E%7B501%7D=%5Cfrac%7B2%5Cbar%7Bz%7D%7D%7B%7Cz%7C%5E%7B500%7D+1%7D\" alt=\"\\dpi{150} \\large z^{501}=\\frac{2\\bar{z}}{|z|^{500}+1}\" align=\"absmiddle\"><\/p><p>A seguir, podemos multiplicar a equa&ccedil;&atilde;o de ambos os lados por z, caso <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B150%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;z%5Cneq&amp;space;0\" alt=\"\\dpi{150} \\large z\\neq 0\" align=\"absmiddle\">. Entretanto, notamos facilmente que <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B150%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;z=&amp;space;0\" alt=\"\\dpi{150} \\large z= 0\" align=\"absmiddle\"> &eacute; solu&ccedil;&atilde;o da equa&ccedil;&atilde;o. Desse modo, o n&uacute;mero total de solu&ccedil;&otilde;es ser&aacute; o n&uacute;mero de solu&ccedil;&otilde;es da equa&ccedil;&atilde;o gerada por essa multiplica&ccedil;&atilde;o mais a solu&ccedil;&atilde;o <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B150%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;z=&amp;space;0\" alt=\"\\dpi{150} \\large z= 0\" align=\"absmiddle\">.<\/p><p>Analisando a equa&ccedil;&atilde;o obtida:<\/p><p><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B150%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;z%5E%7B501%7Dz=%5Cfrac%7B2%5Cbar%7Bz%7Dz%7D%7B%7Cz%7C%5E%7B500%7D+1%7D%5Crightarrow&amp;space;z%5E%7B502%7D=%5Cfrac%7B2%7Cz%7C%5E%7B2%7D%7D%7B%7Cz%7C%5E%7B500%7D+1%7D\" alt=\"\\dpi{150} \\large z^{501}z=\\frac{2\\bar{z}z}{|z|^{500}+1}\\rightarrow z^{502}=\\frac{2|z|^{2}}{|z|^{500}+1}\" align=\"absmiddle\">, lembrando que <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B150%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;z%5Cbar%7Bz%7D=%7Cz%7C%5E%7B2%7D\" alt=\"\\dpi{150} \\large z\\bar{z}=|z|^{2}\" align=\"absmiddle\">.<\/p><p>Mas note que a express&atilde;o do lado direito da equa&ccedil;&atilde;o &eacute; um n&uacute;mero real e, como retiramos a possibilidade de z ser nulo, esse n&uacute;mero real com certeza n&atilde;o &eacute; zero. Assim, fazendo <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B150%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;%5Cfrac%7B2%7Cz%7C%5E%7B2%7D%7D%7B%7Cz%7C%5E%7B500%7D+1%7D=a\" alt=\"\\dpi{150} \\large \\frac{2|z|^{2}}{|z|^{500}+1}=a\" align=\"absmiddle\">, a equa&ccedil;&atilde;o se torna:<\/p><p><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B150%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;z%5E%7B502%7D=a%5Crightarrow&amp;space;z%5E%7B502%7D-a=0\" alt=\"\\dpi{150} \\large z^{502}=a\\rightarrow z^{502}-a=0\" align=\"absmiddle\">. Pelo teorema fundamental da &aacute;lgebra, sabemos que o polin&ocirc;mio <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B150%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;P(z)=z%5E%7B502%7D-a\" alt=\"\\dpi{150} \\large P(z)=z^{502}-a\" align=\"absmiddle\"> possui 502 ra&iacute;zes. Ent&atilde;o, a equa&ccedil;&atilde;o obtida possui 502 solu&ccedil;&otilde;es. Considerando o zero, que havia sido desconsiderado inicialmente, chegamos ao total de 503 solu&ccedil;&otilde;es, que &eacute; a resposta final.<\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-curiosidades\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Curiosidades\"><\/span>Curiosidades<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>A demonstra&ccedil;&atilde;o do teorema fundamental da &aacute;lgebra &eacute; de dif&iacute;cil entendimento, envolvendo conceitos relacionados &agrave; topologia de espa&ccedil;os complexos, c&aacute;lculo e an&aacute;lise de fun&ccedil;&otilde;es em vari&aacute;veis complexas, e foge do escopo de qualquer vestibular.<\/p><p>Ao longo da hist&oacute;ria, diversos matem&aacute;ticos tentaram demonstrar esse teorema. A primeira apari&ccedil;&atilde;o registada de qualquer men&ccedil;&atilde;o &agrave; ideia desse resultado ocorreu em 1608, no livro &ldquo;Arithmetica Philosofica&rdquo; de Peter Rothe.<\/p><p>Contudo, o primeiro manual universit&aacute;rio a conter a demonstra&ccedil;&atilde;o formal desse teorema s&oacute; foi publicado em 1821, pelo matem&aacute;tico franc&ecirc;s Augustin- Louis Cauchy.<\/p><p>Ao longo dos mais de 200 anos entre essas datas, diversos matem&aacute;ticos tentaram demonstrar esse teorema, dos quais os mais conhecidos s&atilde;o d&rsquo;Alembert (1746), Euler (1749), de Foncenex (1759), Lagrange (1772), Laplace (1795) e at&eacute; mesmo Gauss (1799).<\/p><p>Contudo, todos esses matem&aacute;ticos apresentaram demonstra&ccedil;&otilde;es falhas para o teorema.<\/p><p>\n\n\n\n<a id=\"cta\" class=\"cta-imagem\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/curso\/pacote-enem\/\" target=\"blank\">\n                <img decoding=\"async\" width=\"100%\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Enem.jpg\" alt=\"CTA curso Enem\" title=\"CTA curso Enem\">\n        <\/a>\n\n\n\n<\/p><h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Veja-tambem\"><\/span>Veja tamb&eacute;m:<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><ul class=\"wp-block-list\"><li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/funcao-de-primeiro-grau\/\">Fun&ccedil;&atilde;o de Primeiro Grau: o que &eacute; e como aplicar em prova?<\/a>&nbsp;<\/li><li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/funcao-de-segundo-grau\/\">Fun&ccedil;&atilde;o de Segundo Grau: o que &eacute; e como resolver quest&otilde;es<\/a>&nbsp;<\/li><li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/plano-cartesiano\/\">Plano cartesiano: o que &eacute;, como se calcula e como cai em prova<\/a>&nbsp;<\/li><li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/teorema-fundamental-da-aritmetica\/\">Teorema Fundamental da Aritm&eacute;tica: o que diz o teorema?<\/a>&nbsp;<\/li><li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/regra-de-sinais\/\">Regra de sinais: o que &eacute; e como funciona o jogo de sinais<\/a>&nbsp;<\/li><li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/prova-matematica-fuvest-2020\/\">Prova de matem&aacute;tica Fuvest 2020 com Resolu&ccedil;&atilde;o Comentada<\/a><\/li><li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/prova-matematica-2-fase-unicamp-2020\/\">Resolu&ccedil;&atilde;o da prova de Matem&aacute;tica da 2&ordf; Fase da Unicamp 2020<\/a>&nbsp;<\/li><li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/prova-matematica-unesp-2020\/\">Prova de Matem&aacute;tica UNESP 2020 com Resolu&ccedil;&atilde;o Comentada<\/a>&nbsp;<\/li><\/ul><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"Voc&ecirc; certamente j&aacute; ouviu falar sobre a &Aacute;lgebra. 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