{"id":32768,"date":"2019-11-08T15:15:42","date_gmt":"2019-11-08T18:15:42","guid":{"rendered":"https:\/\/blog.estrategiavestibulares.com.br\/?p=32768"},"modified":"2022-04-27T15:34:08","modified_gmt":"2022-04-27T18:34:08","slug":"teorema-fundamental-da-aritmetica","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/teorema-fundamental-da-aritmetica\/","title":{"rendered":"Teorema Fundamental da Aritm\u00e9tica: o que ele diz?"},"content":{"rendered":"<p>Neste artigo, voc&ecirc; vai conhecer o Teorema Fundamental da Aritm&eacute;tica e como esse assunto cai em prova.<div id=\"ez-toc-container\" class=\"ez-toc-v2_0_76 counter-hierarchy ez-toc-counter ez-toc-transparent ez-toc-container-direction\">\n<div class=\"ez-toc-title-container\"><p class=\"ez-toc-title\" style=\"cursor:inherit\">Navegue pelo conte\u00fado<\/p>\n<\/div><nav><ul class='ez-toc-list ez-toc-list-level-1 ' ><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-1\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/teorema-fundamental-da-aritmetica\/#O-que-e-o-Teorema-Fundamental-da-Aritmetica\" >O que &eacute; o Teorema Fundamental da Aritm&eacute;tica?<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-2\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/teorema-fundamental-da-aritmetica\/#Numeros-Primos\" >N&uacute;meros Primos<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-3\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/teorema-fundamental-da-aritmetica\/#Decomposicao\" >Decomposi&ccedil;&atilde;o<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-4\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/teorema-fundamental-da-aritmetica\/#Veja-tambem\" >Veja tamb&eacute;m:<\/a><\/li><\/ul><\/nav><\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-o-que-e-o-teorema-fundamental-da-aritmetica\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"O-que-e-o-Teorema-Fundamental-da-Aritmetica\"><\/span>O que &eacute; o Teorema Fundamental da Aritm&eacute;tica?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p><em>&ldquo;Todos os inteiros positivos maiores que 1 possuem uma decomposi&ccedil;&atilde;o &uacute;nica em fatores primos&rdquo;.<\/em><\/p><p>Para entender melhor o teorema, vamos analisar alguns de seus detalhes.<\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-numeros-primos\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Numeros-Primos\"><\/span>N&uacute;meros Primos<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>Um n&uacute;mero inteiro primo <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B150%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;p\" alt=\"\\dpi{150} \\large p\" align=\"absmiddle\"> &eacute; um n&uacute;mero que possui apenas quatro divisores distintos: <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B150%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;%5Cpm&amp;space;1\" alt=\"\\dpi{150} \\large \\pm 1\" align=\"absmiddle\"> e <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B150%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;%5Cpm&amp;space;p\" alt=\"\\dpi{150} \\large \\pm p\" align=\"absmiddle\">. J&aacute; um n&uacute;mero natural primo n &eacute; um n&uacute;mero que possui apenas dois divisores, que s&atilde;o 1 e o pr&oacute;prio n&uacute;mero, ou seja, 1 e n. Exemplos de n&uacute;meros primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53&hellip;<\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-decomposicao\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Decomposicao\"><\/span>Decomposi&ccedil;&atilde;o<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>Podemos dizer que decompor um <a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/como-provar-que-um-numero-e-irracional\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">n&uacute;mero<\/a> &eacute; escrev&ecirc;-lo como o produto de fatores que ele, por exemplo, o n&uacute;mero 84 poderia ser decomposto nas formas <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B150%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;2*42,&amp;space;3*28,&amp;space;6*14,&amp;space;2*3*14,&amp;space;2*6*7,2%5E%7B2%7D*3*7\" alt=\"\\dpi{150} \\large 2*42, 3*28, 6*14, 2*3*14, 2*6*7,2^{2}*3*7\" align=\"absmiddle\"> , entre outras.<\/p><p>Tendo entendido isso, podemos compreender com mais facilidade o significado do teorema: dado um n&uacute;mero inteiro p, dentre todas as suas decomposi&ccedil;&otilde;es poss&iacute;veis, existiria uma &uacute;nica tal que todos os elementos multiplicando sejam primos ou pot&ecirc;ncias de primos:<\/p><p><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B150%7D&amp;space;%5CLARGE&amp;space;p=p_%7B1%7D%5E%7B%5Calpha&amp;space;_%7B1%7D%7Dp_%7B2%7D%5E%7B%5Calpha&amp;space;_%7B2%7D%7D...p_%7Bn%7D%5E%7B%5Calpha&amp;space;_%7Bn%7D%7D\" alt=\"\\dpi{150} \\LARGE p=p_{1}^{\\alpha _{1}}p_{2}^{\\alpha _{2}}...p_{n}^{\\alpha _{n}}\" align=\"absmiddle\">, em que os <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B150%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;p_%7Bi%7D\" alt=\"\\dpi{150} \\large p_{i}\" align=\"absmiddle\"> s&atilde;o n&uacute;meros primos.<\/p><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-demonstracao\"><strong>Demonstra&ccedil;&atilde;o<\/strong><\/h3><p>A demonstra&ccedil;&atilde;o ser&aacute; dividida em duas etapas. Inicialmente, provaremos que uma decomposi&ccedil;&atilde;o em fatores primos e, em seguida, provaremos que essa decomposi&ccedil;&atilde;o &eacute; &uacute;nica.<\/p><p>Sendo x um n&uacute;mero qualquer, queremos provar que existe uma decomposi&ccedil;&atilde;o de x em fatores primos. Para isso, usaremos um recurso indutivo:<\/p><ul class=\"wp-block-list\"><li>Come&ccedil;ando com x=2, vemos que ele possui uma decomposi&ccedil;&atilde;o em fatores primos, j&aacute; que ele pr&oacute;prio &eacute; um n&uacute;mero primo, e podemos chamar essa decomposi&ccedil;&atilde;o de <strong>decomposi&ccedil;&atilde;o trivial<\/strong>.<\/li><li>Sendo x &gt; 2, se x for um n&uacute;mero primo, ent&atilde;o admite a decomposi&ccedil;&atilde;o trivial, da mesma forma que o n&uacute;mero 2. Se x n&atilde;o for primo, ent&atilde;o x possui um divisor positivo d qualquer, tal que x=dq. Analogamente ao que foi feito com x, caso d ou q sejam primos, eles admitem decomposi&ccedil;&atilde;o trivial. Se n&atilde;o forem, eles podem ser repetido at&eacute; que se encontrem fatores que aceitam apenas a decomposi&ccedil;&atilde;o trivial, ou seja, fatores primos.<\/li><\/ul><p>Uma vez provada a exist&ecirc;ncia da decomposi&ccedil;&atilde;o, devemos provar que essa &eacute; &uacute;nica:<\/p><p>Vamos supor que o n&uacute;mero x admite duas decomposi&ccedil;&otilde;es em primos, de modo que <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B150%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;x=p_%7B1%7D\" alt=\"\\dpi{150} \\large x=p_{1}\" align=\"absmiddle\"> e <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B150%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;x=q_%7B1%7Dq_%7B2%7D...q_%7Bs%7D\" alt=\"\\dpi{150} \\large x=q_{1}q_{2}...q_{s}\" align=\"absmiddle\">. Chamaremos s de comprimento de x.<\/p><p>Ent&atilde;o <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B150%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;p_%7B1%7D=q_%7B1%7Dq_%7B2%7D...q_%7Bs%7D\" alt=\"\\dpi{150} \\large p_{1}=q_{1}q_{2}...q_{s}\" align=\"absmiddle\"> como <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B150%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;q_%7B1%7D\" alt=\"\\dpi{150} \\large q_{1}\" align=\"absmiddle\"> divide <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B150%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;q_%7B1%7Dq_%7B2%7D...q_%7Bs%7D,&amp;space;q_%7B1%7D\" alt=\"\\dpi{150} \\large q_{1}q_{2}...q_{s}, q_{1}\" align=\"absmiddle\"> divide <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B150%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;p_%7B1%7D\" alt=\"\\dpi{150} \\large p_{1}\" align=\"absmiddle\"> e <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B150%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;p_%7B1%7D\" alt=\"\\dpi{150} \\large p_{1}\" align=\"absmiddle\"> &eacute; primo, devemos ter <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B150%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;p_%7B1%7D=q_%7B1%7D\" alt=\"\\dpi{150} \\large p_{1}=q_{1}\" align=\"absmiddle\">. Cancelando dos dois lados da igualdade, teremos <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B150%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;1=q_%7B2%7D...q_%7Bs%7D\" alt=\"\\dpi{150} \\large 1=q_{2}...q_{s}\" align=\"absmiddle\">. Assim, vemos que <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B150%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;s=1\" alt=\"\\dpi{150} \\large s=1\" align=\"absmiddle\">, pois se <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B150%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;s&gt;&amp;space;1\" alt=\"\\dpi{150} \\large s&gt; 1\" align=\"absmiddle\">, ter&iacute;amos um produto de n&uacute;meros primos resultado em 1, o que &eacute; um absurdo.<\/p><p>Assim, todo o n&uacute;mero de comprimento 1 admite uma &uacute;nica decomposi&ccedil;&atilde;o.<\/p><p>Agora, suponha que, para algum k natural, n&uacute;meros de comprimento k admita uma &uacute;nica decomposi&ccedil;&atilde;o. Sendo x tal que <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B150%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;x=p_%7B1%7Dp_%7B2%7D...p_%7Bk%7Dp_%7Bk+1%7D=q_%7B1%7Dq_%7B2%7D...q_%7Bs%7D\" alt=\"\\dpi{150} \\large x=p_{1}p_{2}...p_{k}p_{k+1}=q_{1}q_{2}...q_{s}\" align=\"absmiddle\">, em que os fatores est&atilde;o dispostos em ordem crescente, vamos provar que n&uacute;meros de comprimento <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B150%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;k+1\" alt=\"\\dpi{150} \\large k+1\" align=\"absmiddle\"> admitem uma &uacute;nica decomposi&ccedil;&atilde;o.<\/p><p><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B150%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;q_%7B1%7D\" alt=\"\\dpi{150} \\large q_{1}\" align=\"absmiddle\"> divide <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B150%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;p_%7B1%7Dp_%7B2%7D...p_%7Bk+1%7D\" alt=\"\\dpi{150} \\large p_{1}p_{2}...p_{k+1}\" align=\"absmiddle\">, ent&atilde;o <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B150%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;q_%7B1%7D\" alt=\"\\dpi{150} \\large q_{1}\" align=\"absmiddle\"> divide algum <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B150%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;p_%7Bi%7D\" alt=\"\\dpi{150} \\large p_{i}\" align=\"absmiddle\">. Como ambos s&atilde;o primos, <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B150%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;q_%7Bi%7D=p_%7Bi%7D\" alt=\"\\dpi{150} \\large q_{i}=p_{i}\" align=\"absmiddle\">, e sabemos que <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B150%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;q_%7B1%7D%5Cgeq&amp;space;p_%7B1%7D\" alt=\"\\dpi{150} \\large q_{1}\\geq p_{1}\" align=\"absmiddle\">, pois os n&uacute;meros est&atilde;o em ordem crescente. Da mesma forma, <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B150%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;p_%7B1%7D\" alt=\"\\dpi{150} \\large p_{1}\" align=\"absmiddle\"> divide <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B150%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;q_%7B1%7Dq_%7B2%7D...q_%7Bs%7D\" alt=\"\\dpi{150} \\large q_{1}q_{2}...q_{s}\" align=\"absmiddle\">, ent&atilde;o <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B150%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;p_%7B1%7D=q_%7Bj%7D\" alt=\"\\dpi{150} \\large p_{1}=q_{j}\" align=\"absmiddle\">, para algum j.<\/p><p>Desse modo, <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B150%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;p_%7B1%7D%5Cgeq&amp;space;q_%7B1%7D\" alt=\"\\dpi{150} \\large p_{1}\\geq q_{1}\" align=\"absmiddle\">. Cancelando os dois valores na igualdade, teremos que <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B150%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;p_%7B2%7D...p_%7Bk+1%7D=q_%7B2%7D...q_%7Bs%7D\" alt=\"\\dpi{150} \\large p_{2}...p_{k+1}=q_{2}...q_{s}\" align=\"absmiddle\">.<\/p><p>Temos, assim, um n&uacute;mero de comprimento <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cdpi%7B150%7D&amp;space;%5Clarge&amp;space;k(p_%7B2%7D...p_%7Bk+1%7D)\" alt=\"\\dpi{150} \\large k(p_{2}...p_{k+1})\" align=\"absmiddle\">, que, pela hip&oacute;tese de indu&ccedil;&atilde;o, possui uma &uacute;nica decomposi&ccedil;&atilde;o. Conclu&iacute;mos, assim, que a decomposi&ccedil;&atilde;o de fatores primos de um n&uacute;mero x qualquer existe e &eacute; &uacute;nica.<\/p><p>\n\n\n\n\n<a id=\"cta\" class=\"cta-imagem\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/curso\/pacote-enem\/\" target=\"blank\">\n                <img decoding=\"async\" width=\"100%\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Enem.jpg\" alt=\"CTA curso Enem\" title=\"CTA curso Enem\">\n        <\/a>\n\n\n\n<\/p><h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Veja-tambem\"><\/span>Veja tamb&eacute;m:<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><ul class=\"wp-block-list\"><li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/funcao-de-primeiro-grau\/\">Fun&ccedil;&atilde;o de Primeiro Grau: o que &eacute; e como aplicar em prova?<\/a>&nbsp;<\/li><li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/funcao-de-segundo-grau\/\">Fun&ccedil;&atilde;o de Segundo Grau: o que &eacute; e como resolver quest&otilde;es<\/a>&nbsp;<\/li><li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/plano-cartesiano\/\">Plano cartesiano: o que &eacute;, como se calcula e como cai em prova<\/a>&nbsp;<\/li><li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/teorema-fundamental-da-algebra\/\">O que diz o teorema fundamental da &aacute;lgebra?<\/a>&nbsp;<\/li><li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/regra-de-sinais\/\">Regra de sinais: o que &eacute; e como funciona o jogo de sinais<\/a>&nbsp;<\/li><li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/prova-matematica-fuvest-2020\/\">Prova de matem&aacute;tica Fuvest 2020 com Resolu&ccedil;&atilde;o Comentada<\/a><\/li><li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/prova-matematica-2-fase-unicamp-2020\/\">Resolu&ccedil;&atilde;o da prova de Matem&aacute;tica da 2&ordf; Fase da Unicamp 2020<\/a>&nbsp;<\/li><li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/prova-matematica-unesp-2020\/\">Prova de Matem&aacute;tica UNESP 2020 com Resolu&ccedil;&atilde;o Comentada<\/a>&nbsp;<\/li><\/ul><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"Neste artigo, voc&ecirc; vai conhecer o Teorema Fundamental da Aritm&eacute;tica e como esse assunto cai em prova. 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