{"id":33654,"date":"2019-11-18T14:26:43","date_gmt":"2019-11-18T17:26:43","guid":{"rendered":"https:\/\/blog.estrategiavestibulares.com.br\/?p=33654"},"modified":"2021-06-23T10:16:35","modified_gmt":"2021-06-23T13:16:35","slug":"prova-unicamp-2020-matematica","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/prova-unicamp-2020-matematica\/","title":{"rendered":"Prova Unicamp 2020 \u2013 Matem\u00e1tica \u2013 Resolu\u00e7\u00e3o Comentada"},"content":{"rendered":"

Olá, pessoal… Tudo bem? Sou a prof. Marçal, do Estratégia Vestibulares, e escrevo este artigo para lançar o Gabarito UNICAMP 2020, da disciplina de Matemática<\/a>. Nesta página, você vai conferir a resolução comentada completa. Vamos nessa??

\">Prova UNICAMP 2020 – Matemática – Correção\" class=\"wp-block-file__button\" download>Baixar<\/div>

Prova UNICAMP 2020<\/a><\/h2>

Questão 80<\/strong><\/h3>

“(…) as palavras tomam significados distintos\ndaqueles utilizados no cotidiano. Por exemplo, utiliza-se, com frequência, nas\naulas sobre frações, a frase reduzir ao mesmo denominador.”<\/p>

(Edi Jussara\nCândido Lorensatti, Linguagem matemática e Língua Portuguesa: diálogo<\/p>

necessário na\nresolução de problemas matemáticos. Conjectura: Filosofia e Educação<\/p>

Caxias do Sul,\nv. 14, n. 2, p. 91, maio\/ago. 2009.)<\/p>

Cada ciência usa uma linguagem própria e com um grau\nde precisão terminológica necessário para o seu exercício. Tendo em vista os\nsignificados distintos que as palavras assumem nas situações concretas em que\nsão empregadas, o verbo “reduzir”, no uso cotidiano, significa<\/p>

a) limitar alguma coisa, ao passo que na linguagem\nmatemática é sinônimo de restringir.<\/p>

b) moderar alguma coisa, ao passo que na linguagem\nmatemática implica aumentar as relações entre os números.<\/p>

c) eliminar alguma coisa, ao passo que na linguagem\nmatemática implica reverter as relações entre os números.<\/p>

d) diminuir alguma coisa, ao passo que na linguagem\nmatemática é sinônimo de converter.<\/p>

Resolução Comentada<\/strong><\/h3>

No cotidiano, reduzir significa diminuir. No contexto matemático das frações, pode ser entendido com reescrever uma fração, ou seja, convertê-la em outro formato.<\/em><\/p>

Gabarito: d)<\/p>

Questão 32<\/h3>

Em uma família, cada filha tem o mesmo\nnúmero de irmãs e irmãos, e cada filho tem um número de irmãs igual ao dobro do\nnúmero de irmãos. O número total de filhos e filhas dessa família é igual a<\/p>

a) 11.<\/p>

b) 9.<\/p>

c) 7.<\/p>

d) 5.<\/p>

Resolução Comentada<\/strong><\/h3>

Para uma filha, podemos dizer que o número de irmãs, sendo \"\\dpi{100} o número de filhas, é dado por \"\\dpi{100}, pois uma filha não é considerada irmã de si mesma. Já o número de irmãos de uma filha, sendo O<\/em> o número de filhos, é dado por O<\/em> mesmo.<\/p>

Já para um filho, o número de irmãos é igual a \"\\dpi{100} pelo mesmo motivo citado anteriormente. O número de irmãs de um filho é igual a \"\\dpi{100}.<\/p>

Dessa forma, pelo enunciado, podemos montar o seguinte sistema de equações:<\/p>

\"\\dpi{100}<\/p>

\"\\dpi{100}<\/p>

De posse do número de filhos O<\/em> e de filhas A<\/em>, a soma é dada por:<\/p>

\"\\dpi{100}<\/p>

Gabarito: C<\/strong><\/p>

Questão 33<\/strong><\/h3>

Cinco pessoas devem ficar em pé, uma ao\nlado da outra, para tirar uma fotografia, sendo que duas delas se recusam a\nficar lado a lado. O número de posições distintas para as cinco pessoas serem\nfotografadas juntas é igual a<\/p>

a) 48.<\/p>

b) 72.<\/p>

c) 96.<\/p>

d) 120.<\/p>

Resolução Comentada<\/strong><\/h3>

Se não houvesse restrição, o número de maneiras de colocarmos cinco pessoas em linha é dado por:<\/p>

\"\\dpi{100}<\/p>

Considerando as duas pessoas “enguiçadas” como uma só (modo proibido), temos:<\/p>

\"\\dpi{100}<\/p>

Dessa maneira, o número de modos permitidos para enfileirarmos essas pessoas, de modo que as duas que se recusam a ficar lado a lado não sejam contrariadas, é dado pela diferença:<\/p>

\"\\dpi{100}<\/p>

\"\\dpi{100}<\/p>

\"\\dpi{100}<\/p>

Gabarito: B<\/strong><\/p>

Questão 34<\/strong><\/h3>

Um atleta participa de um torneio composto por três\nprovas. Em cada prova, a probabilidade de ele ganhar é de 2\/3,\nindependentemente do resultado das outras provas.<\/p>

Para vencer o torneio, é preciso ganhar pelo menos\nduas provas. A probabilidade de o atleta vencer o torneio é igual a<\/p>

a) 2\/3.<\/p>

b) 4\/9.<\/p>

c) 20\/27.<\/p>

d) 16\/81.<\/p>

Resolução Comentada<\/strong><\/h3>

Considerando V<\/em> a situação em que o atleta vence e P<\/em> a situação em que o atleta perde uma prova, temos que, para vender o torneio, deverá ocorrer uma das seguintes situações:<\/p>

\"\\dpi{100}<\/p>

\"\\dpi{100}<\/p>

\"\\dpi{100}<\/p>

\"\\dpi{100}<\/p>

Como as situações agrupadas são alternativas, ou seja, deve ocorrer uma OU outra, a probabilidade é dada pela soma:<\/p>

\"\\dpi{100}<\/p>

\"\\dpi{100}<\/p>

\"\\dpi{100}<\/p>

Gabarito: C<\/strong><\/p>

Questão 35<\/strong><\/h3>

Sabendo que \"\\dpi{100} é um número real, considere a função \"\\dpi{100}, definida para todo número real \"\\dpi{100}. Se \"\\dpi{100}, então:<\/p>

a) \"\\dpi{100}<\/p>

b) \"\\dpi{100}<\/p>

c) \"\\dpi{100}<\/p>

d) \"\\dpi{100}<\/p>

Resolução Comentada<\/h3>

Como a questão pediu uma função composta envolvendo \"\\dpi{100}, vamos adiantar nosso trabalho e calcular \"\\dpi{100}.<\/p>

\"\\dpi{100}<\/p>

\"\\dpi{100}<\/p>

\"\\dpi{100}<\/p>

Se posse de \"\\dpi{100}, vamos substitui-la na equação \"\\dpi{100} dada no enunciado.<\/p>

\"\\dpi{100}<\/p>

\"\\dpi{100}<\/p>

\"\\dpi{100}<\/p>

\"\\dpi{100}<\/p>

\"\\dpi{100}<\/p>

\"\\dpi{100}<\/p>

\"\\dpi{100}<\/p>

Gabarito: A<\/strong><\/p>

Questão 36<\/strong><\/h3>

Sabendo que \"\\dpi{100} é um número real, considere a equação quadrática \"\\dpi{100}. Se as soluções dessa equação são números inteiros, o módulo da soma das soluções é igual a<\/p>

a) 3.<\/p>

b) 4.<\/p>

c) 5.<\/p>

d) 6.<\/p>

Resolução Comentada<\/strong><\/h3>

Dada a equação<\/p>

\"\\dpi{100}<\/p>

Temos, pelas relações de Girard:<\/p>

\"\\dpi{100}<\/p>

Para que o produto de dois números inteiros, x”<\/em> e x”<\/em>,seja igual a 5, temos apenas duas opções:<\/p>

\"\\dpi{100}<\/p>

\"\\dpi{100}<\/p>

De todo modo, temos:<\/p>

\"\\dpi{100}<\/p>

Gabarito: D<\/strong><\/p>

Questão 37<\/strong><\/h3>

Considere que (a, b, 3, c) é uma progressão aritmética de números reais, e que a soma de seus elementos é igual a 8. O produto dos elementos dessa progressão é igual a<\/p>

a) 30.<\/p>

b) 10.<\/p>

c) -15.<\/p>

d) -20.<\/p>

Resolução Comentada<\/strong><\/h3>

Para reduzir o número de incógnitas, vamos reescrever a progressão com base na razão r<\/em>.<\/p>

\"\\dpi{100}<\/p>

\"\\dpi{100}<\/p>

O enunciado informou que a soma dos elementos da progressão é igual a 8, então, vamos escrever e resolver essa equação.<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

De posse da razão, podemos estabelecer quais são os elementos da progressão:<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

Como nossa questão pede o produto dos elementos, temos:<\/p>

\"\\large<\/p>

Gabarito: C<\/strong><\/p>

Questão 38<\/strong><\/h3>

Tendo em vista que \"\\large e \"\\large são números reais positivos, \"\\large, considere a função \"\\large, definida para todo número real \"\\large. Logo, \"\\large é igual a:<\/p>

a) \"\\large<\/p>

b) \"\\large<\/p>

c) \"\\large<\/p>

d) \"\\large<\/p>

Resolução Comentada<\/strong><\/h3>

O exercício não dá uma direção específica no enunciado, então, é interessante olhar para as alternativas para entender qual é o tipo de resposta esperada.<\/p>

Ao perceber que todas apresentam \"\\large para \"\\large; vamos começar por calcular esses valores.<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

Perceba que \"\\large pode ser reescrito em função de \"\\large.<\/p>

Muito bem, falta o termo b<\/em>. Podemos reescrever a equação acima como:<\/p>

\"\\large<\/p>

Como a questão pede a expressão equivalente a \"\\large, temos:<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

Gabarito: A<\/strong><\/p>

Questão 39<\/strong><\/h3>

Sabendo que \"\\large é um número real, considere a matriz<\/p>

\"\\large<\/p>

e sua transposta \"\\large. Se \"\\large singular (não invertível), então:<\/p>

a) \"\\large<\/p>

b) \"\\large<\/p>

c) \"\\large<\/p>

d) \"\\large<\/p>

Resolução Comentada<\/strong><\/h3>

O enunciado nos informa que \"\\large é singular. Então, vamos calcular \"\\large.<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

Como \"\\large é singular, temos que seu determinante é nulo.<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

Gabarito: B<\/strong><\/p>

Questão 40<\/strong><\/h3>

A figura abaixo exibe o triângulo \"\\large, em que \"\\large e \"\\large é uma altura de comprimento \"\\large. A área do triângulo \"\\large é igual a<\/p>

\"\"<\/figure><\/div>

a) \"\\large<\/p>

b) \"\\large<\/p>

c) \"\\large<\/p>

d) \"\\large<\/p>

Resolução Comentada<\/strong><\/h3>

Percebendo que o triângulo \"\\large é um retângulo em \"\\large, temos:<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

Bem, a área do triângulo \"\\large pode ser escrita em função do lado \"\\large e da altura \"\\large:<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

Gabarito: A<\/strong><\/p>

Questão 41<\/strong><\/h3>

A figura abaixo exibe o triângulo retângulo \"\\large, em que \"\\large. Então, \"\\large é igual a<\/p>

\"\"<\/figure><\/div>

a) 1\/2<\/p>

b) 1\/3<\/p>

c) 1\/4<\/p>

d) 1\/5<\/p>

Resolução Comentada<\/strong><\/h3>

Como \"\\large e o triângulo \"\\large é retângulo em \"\\large, temos que \"\\large. Dessa forma, \"\\large.<\/p>

O triângulo \"\\large é retângulo em \"\\large e, pelo enunciado, \"\\large.<\/p>

Dessa forma, podemos dizer que:<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

Gabarito: B<\/strong><\/p>

Questão 42<\/strong><\/h3>

Seja a função polinomial do terceiro grau \"\\large, definida para todo número real \"\\large. A figura abaixo exibe o gráfico de \"\\large, no plano cartesiano, em que os pontos, A, B, e C têm a mesma ordenada. A distância entre os pontos A e C é igual a:<\/p>

\"\"<\/figure><\/div>

a) 2<\/p>

b) \"\\large<\/p>

c) 3<\/p>

d) \"\\large<\/p>

Resolução Comentada<\/h3>

Como todos os pontos \"\\large representam mesma ordenada, vamos calcular o valor dessa ordenada por meio da ordenada de B, uma vez que ele está no eixo vertical e, portanto, sabemos que sua abcissa é nula \"\\large.<\/p>

Ordenada de B<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

Além disso, sabemos que as ordenadas de A e de C são dadas por \"\\large, ou seja:<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

Como o produto é nulo, temos duas possibilidades:<\/p>

\"\\large<\/p>

ou<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

Gabarito: C<\/strong><\/p>

Questão 43<\/strong><\/h3>

Sabendo que c é um número real, considere, no plano cartesiano, a circunferência de equação \"\\large. Se o centro dessa circunferência pertence à reta de equação \"\\large, então seu raio é igual a:<\/p>

a) \"\\large<\/p>

b) \"\\large<\/p>

c) 2<\/p>

d) 3<\/p>

Resolução Comentada<\/strong><\/h3>

Para deixarmos a cônica mais explícita,\nvamos completar quadrados e reescrevê-la de modo mais evidente.<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

Como o centro deve estar de acordo com a equação da reta fornecida, podemos colocar as coordenadas \"\\large na equação da reta \"\\large.<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

Gabarito: D<\/strong><\/p>

Questão 44<\/strong><\/h3>

Se um tetraedro regular e um cubo têm áreas de superfície iguais, a razão entre o comprimento das arestas do tetraedro e o comprimento das arestas do cubo é igual a<\/p>

a) \"\\large<\/p>

b) \"\\large<\/p>

c) \"\\large<\/p>

d) \"\\large<\/p>

Resolução Comentada<\/strong><\/h3>

Lembrando que a área do tetraedro é dada por quatro vezes a área do triângulo equilátero de aresta \"\\large, temos:<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

Seguindo a orientação de igualar as áreas, temos:<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

Gabarito: C<\/strong><\/p>

É isso, pessoal! Espero que tenham curtido a resolução da prova de Matemática da prova do Vestibular UNICAMP 2020. Sigam-me nas redes sociais. Têm muitas dicas lá. Mande uma mensagem, caso tenha tido alguma dúvida. Abraços!<\/p>

Instagram:<\/strong> @professor.marcal<\/a><\/p>

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