{"id":33901,"date":"2019-11-21T16:33:01","date_gmt":"2019-11-21T19:33:01","guid":{"rendered":"https:\/\/blog.estrategiavestibulares.com.br\/?p=33901"},"modified":"2022-11-01T14:12:55","modified_gmt":"2022-11-01T17:12:55","slug":"semelhanca-de-triangulos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/semelhanca-de-triangulos\/","title":{"rendered":"Semelhan\u00e7a de tri\u00e2ngulos"},"content":{"rendered":"<p><strong><em>Semelhan&ccedil;a de tri&acirc;ngulos<\/em><\/strong> &eacute; uma t&eacute;cnica simples. Al&eacute;m de resolver problemas que s&atilde;o aplica&ccedil;&otilde;es diretas deste assunto, ela pode ajudar bastante no desenvolvimento de quest&otilde;es mais complicadas de geometria plana.<p>Assim, &eacute; importante saber quando dois tri&acirc;ngulos podem ser considerados semelhantes e que informa&ccedil;&otilde;es &uacute;teis podemos tirar disso, portanto o Estrat&eacute;gia Vestibulares preparou esse artigo para te ajudar!<\/p><figure class=\"wp-block-embed aligncenter is-type-video is-provider-youtube wp-block-embed-youtube wp-embed-aspect-16-9 wp-has-aspect-ratio\"><div class=\"wp-block-embed__wrapper\">\n<div class=\"cs-embed cs-embed-responsive\"><iframe title=\"Geometria Plana - Vestibulares 2021: Prof. Mar&ccedil;al Ferreira\" width=\"1200\" height=\"675\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/-LqG4tabsV8?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen><\/iframe><\/div>\n<\/div><\/figure><div id=\"ez-toc-container\" class=\"ez-toc-v2_0_76 counter-hierarchy ez-toc-counter ez-toc-transparent ez-toc-container-direction\">\n<div class=\"ez-toc-title-container\"><p class=\"ez-toc-title\" style=\"cursor:inherit\">Navegue pelo conte\u00fado<\/p>\n<\/div><nav><ul class='ez-toc-list ez-toc-list-level-1 ' ><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-1\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/semelhanca-de-triangulos\/#No-que-consiste-a-semelhanca-de-triangulos\" >No que consiste a semelhan&ccedil;a de tri&acirc;ngulos?<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-2\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/semelhanca-de-triangulos\/#Teorema-Fundamental-da-Semelhanca\" >Teorema Fundamental da Semelhan&ccedil;a<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-3\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/semelhanca-de-triangulos\/#Casos-de-semelhanca-de-triangulos\" >Casos de semelhan&ccedil;a de tri&acirc;ngulos<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-4\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/semelhanca-de-triangulos\/#Propriedades\" >Propriedades<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-5\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/semelhanca-de-triangulos\/#Como-cai-Semelhanca-de-Triangulos-no-vestibular\" >Como cai Semelhan&ccedil;a de Tri&acirc;ngulos no vestibular?<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-6\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/semelhanca-de-triangulos\/#Veja-tambem\" >Veja tamb&eacute;m:<\/a><\/li><\/ul><\/nav><\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-no-que-consiste-a-semelhanca-de-triangulos\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"No-que-consiste-a-semelhanca-de-triangulos\"><\/span>No que consiste a semelhan&ccedil;a de tri&acirc;ngulos?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>Dois <a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/area-de-triangulo\/\" target=\"_blank\">tri&acirc;ngulos<\/a> s&atilde;o ditos semelhantes se possu&iacute;rem os tr&ecirc;s &acirc;ngulos congruentes e cada par de lados hom&oacute;logos possu&iacute;rem a mesma propor&ccedil;&atilde;o.<\/p><p>Sendo que, lados hom&oacute;logos s&atilde;o os dois lados que s&atilde;o opostos a &acirc;ngulos iguais, cada um em um tri&acirc;ngulo. Al&eacute;m disso, a nota&ccedil;&atilde;o para dois tri&acirc;ngulos semelhantes &eacute; o s&iacute;mbolo &ldquo;~&rdquo;.<\/p><p>No exemplo abaixo, <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Clarge&amp;space;%5CDelta&amp;space;ABC&amp;space;%5Csim&amp;space;%5CDelta&amp;space;DEF\" alt=\"\\large \\Delta ABC \\sim \\Delta DEF\" align=\"absmiddle\"> se, e somente se,<\/p><figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Clarge&amp;space;%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D&amp;space;%5Cwidehat%7BA%7D=%5Cwidehat%7BD%7D&amp;space;&amp;&amp;space;&amp;&amp;space;%5C%5C&amp;space;%5Cwidehat%7BB%7D=%5Cwidehat%7BE%7D&amp;space;&amp;&amp;space;&amp;&amp;space;%5C%5C&amp;space;%5Cwidehat%7BC%7D=%5Cwidehat%7BF%7D&amp;space;&amp;&amp;space;&amp;&amp;space;%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.\" alt=\"\\large \\left\\{\\begin{matrix} \\widehat{A}=\\widehat{D} &amp; &amp; \\\\ \\widehat{B}=\\widehat{E} &amp; &amp; \\\\ \\widehat{C}=\\widehat{F} &amp; &amp; \\end{matrix}\\right.\"><\/figure><figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Clarge&amp;space;%5Cfrac%7B%5Coverline%7BAB%7D%7D%7B%5Coverline%7BDE%7D%7D=%5Cfrac%7B%5Coverline%7BAC%7D%7D%7B%5Coverline%7BDF%7D%7D=%5Cfrac%7B%5Coverline%7BBC%7D%7D%7B%5Coverline%7BEF%7D%7D=k\" alt=\"\\large \\frac{\\overline{AB}}{\\overline{DE}}=\\frac{\\overline{AC}}{\\overline{DF}}=\\frac{\\overline{BC}}{\\overline{EF}}=k\"><\/figure><div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/cdn.blog.estrategiavestibulares.com.br\/vestibulares\/wp-content\/uploads\/2019\/11\/image162.png\" alt=\"semelhan&ccedil;a de tri&acirc;ngulos\" class=\"wp-image-33903\"><\/figure><\/div><p>A raz&atilde;o k &eacute; chamada de raz&atilde;o de semelhan&ccedil;a. Observe que se k for igual a 1, ent&atilde;o os dois tri&acirc;ngulos s&atilde;o congruentes.<\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-teorema-fundamental-da-semelhanca\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Teorema-Fundamental-da-Semelhanca\"><\/span>Teorema Fundamental da Semelhan&ccedil;a<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>Se tivermos uma reta paralela a um dos lados de um tri&acirc;ngulo e que intercepta os outros dois lados, ent&atilde;o a reta determina um tri&acirc;ngulo semelhante ao original. No caso abaixo a reta paralela a <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Clarge&amp;space;%5Coverline%7BAB%7D\" alt=\"\\large \\overline{AB}\" align=\"absmiddle\"> intercepta os outros dois lados em D e E e ent&atilde;o <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Clarge&amp;space;%5CDelta&amp;space;DEC&amp;space;%5Csim&amp;space;%5CDelta&amp;space;ABC\" alt=\"\\large \\Delta DEC \\sim \\Delta ABC\" align=\"absmiddle\"><\/p><figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/cdn.blog.estrategiavestibulares.com.br\/vestibulares\/wp-content\/uploads\/2019\/11\/image163.png\" alt=\"semelhan&ccedil;a de tri&acirc;ngulos\" class=\"wp-image-33905\"><\/figure><p>Esse teorema &eacute; provado por paralelismo e pelo teorema de Tales. Pois, por paralelismo temos que <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cwidehat%7BD%7D=%5Cwidehat%7BA%7D\" alt=\"\\widehat{D}=\\widehat{A}\" align=\"absmiddle\"> e <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cwidehat%7BE%7D=%5Cwidehat%7BB%7D\" alt=\"\\widehat{E}=\\widehat{B}\" align=\"absmiddle\">, pelo teorema de Tales, temos que <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cfrac%7B%5Coverline%7BCD%7D%7D%7B%5Coverline%7BCA%7D%7D=%5Cfrac%7B%5Coverline%7BCE%7D%7D%7B%5Coverline%7BCB%7D%7D\" alt=\"\\frac{\\overline{CD}}{\\overline{CA}}=\\frac{\\overline{CE}}{\\overline{CB}}\" align=\"absmiddle\">. Al&eacute;m disso, tra&ccedil;amos por E uma paralela a AC. Assim, o paralelogramo ADEF nos d&aacute; que <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Coverline%7BDE%7D=%5Coverline%7BAF%7D\" alt=\"\\overline{DE}=\\overline{AF}\" align=\"absmiddle\">, e novamente pelo teorema de Tales, temos que <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cfrac%7B%5Coverline%7BCE%7D%7D%7BCB%7D=%5Cfrac%7B%5Coverline%7BAF%7D%7D%7B%5Coverline%7BAB%7D%7D\" alt=\"\\frac{\\overline{CE}}{CB}=\\frac{\\overline{AF}}{\\overline{AB}}\" align=\"absmiddle\">. Assim, temos que al&eacute;m dos tri&acirc;ngulos terem os tr&ecirc;s &acirc;ngulos iguais, <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cfrac%7B%5Coverline%7BCD%7D%7D%7B%5Coverline%7BCA%7D%7D=%5Cfrac%7B%5Coverline%7BCE%7D%7D%7B%5Coverline%7BCB%7D%7D=%5Cfrac%7B%5Coverline%7BDE%7D%7D%7B%5Coverline%7BAB%7D%7D\" alt=\"\\frac{\\overline{CD}}{\\overline{CA}}=\\frac{\\overline{CE}}{\\overline{CB}}=\\frac{\\overline{DE}}{\\overline{AB}}\" align=\"absmiddle\">, ou seja, os tri&acirc;ngulos s&atilde;o semelhantes.<\/p><h3 class=\"wp-block-heading\">Dica forte<\/h3><p>Por esse teorema, vemos que ter retas paralelas nos problemas, pode ser uma boa indica&ccedil;&atilde;o para usar semelhan&ccedil;as de tri&acirc;ngulos na resolu&ccedil;&atilde;o.<\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-casos-de-semelhanca-de-triangulos\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Casos-de-semelhanca-de-triangulos\"><\/span>Casos de semelhan&ccedil;a de tri&acirc;ngulos<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>Como geralmente nas quest&otilde;es temos poucas informa&ccedil;&otilde;es acerca\ndos lados e dos &acirc;ngulos do tri&acirc;ngulo, os casos abaixo v&atilde;o nos ajudar a\nidentificar tri&acirc;ngulos semelhantes.<\/p><ul class=\"wp-block-list\"><li><strong>Caso AA (&Acirc;ngulo, &Acirc;ngulo):<\/strong><\/li><\/ul><p><em>Se dois tri&acirc;ngulos possuem dois &acirc;ngulos iguais, ent&atilde;o eles s&atilde;o semelhantes. Lembrando que para saber quais lados s&atilde;o proporcionais, sempre olhamos a qual &acirc;ngulo cada lado est&aacute; oposto.<\/em><\/p><ul class=\"wp-block-list\"><li><strong>Caso\nLAL (Lado, &Acirc;ngulo, Lado):<\/strong><\/li><\/ul><p><em>Se j&aacute; soubermos que entre dois tri&acirc;ngulos h&aacute; dois pares de lados hom&oacute;logos com a mesma propor&ccedil;&atilde;o, e os &acirc;ngulos entre os dois lados de cada um dos tri&acirc;ngulos forem iguais, ent&atilde;o os tri&acirc;ngulos s&atilde;o semelhantes. Como esse caso &eacute; mais confuso, a figura abaixo ajuda a entend&ecirc;-lo.<\/em><\/p><p>Se <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D&amp;space;%5Cfrac%7B%5Coverline%7BAB%7D%7D%7B%5Coverline%7BAE%7D%7D=%5Cfrac%7B%5Coverline%7BAC%7D%7D%7B%5Coverline%7BDF%7D%7D&amp;space;&amp;&amp;space;&amp;&amp;space;%5C%5C&amp;space;%5C%5C&amp;space;%5Cwidehat%7BA%7D=%5Cwidehat%7BD%7D&amp;space;&amp;&amp;space;&amp;&amp;space;%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.\" alt=\"\\left\\{\\begin{matrix} \\frac{\\overline{AB}}{\\overline{AE}}=\\frac{\\overline{AC}}{\\overline{DF}} &amp; &amp; \\\\ \\\\ \\widehat{A}=\\widehat{D} &amp; &amp; \\end{matrix}\\right.\" align=\"absmiddle\">, ent&atilde;o <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5CDelta&amp;space;ABC%5Csim&amp;space;%5CDelta&amp;space;DEF\" alt=\"\\Delta ABC\\sim \\Delta DEF\" align=\"absmiddle\">.<\/p><figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/cdn.blog.estrategiavestibulares.com.br\/vestibulares\/wp-content\/uploads\/2019\/11\/image164.png\" alt=\"semelhan&ccedil;a de tri&acirc;ngulos\" class=\"wp-image-33912\"><\/figure><ul class=\"wp-block-list\"><li><strong>Caso LLL (Lado, Lado, Lado):<\/strong><\/li><\/ul><p>Se um tri&acirc;ngulo possui os tr&ecirc;s lados proporcionais aos tr&ecirc;s\nlados de um outro tri&acirc;ngulo com a mesma raz&atilde;o, ent&atilde;o esses tri&acirc;ngulos s&atilde;o semelhantes.<\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-propriedades\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Propriedades\"><\/span>Propriedades<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>A semelhan&ccedil;a de tri&acirc;ngulos &eacute; reflexiva, sim&eacute;trica e transitiva. Por reflexiva, entendemos que um tri&acirc;ngulo &eacute; semelhante a si mesmo.<\/p><p>Por sim&eacute;trica, se um tri&acirc;ngulo &eacute; semelhante a um outro, este segundo &eacute; semelhante ao primeiro. J&aacute; por transitiva, se <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5CDelta&amp;space;ABC%5Csim&amp;space;%5CDelta&amp;space;DEF\" alt=\"\\Delta ABC\\sim \\Delta DEF\" align=\"absmiddle\"> e <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5CDelta&amp;space;DEF&amp;space;%5Csim&amp;space;%5CDelta&amp;space;GHI\" alt=\"\\Delta DEF \\sim \\Delta GHI\" align=\"absmiddle\">, ent&atilde;o <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5CDelta&amp;space;ABC%5Csim&amp;space;%5CDelta&amp;space;GHI\" alt=\"\\Delta ABC\\sim \\Delta GHI\" align=\"absmiddle\">.<\/p><p>Portanto, podemos conseguir com um dos casos mencionados acima descobrir que dois tri&acirc;ngulos s&atilde;o semelhantes, e com outro caso provar que um dos tri&acirc;ngulos &eacute; semelhante a um terceiro.<\/p><p>Assim, conseguimos demonstrar que dois tri&acirc;ngulos s&atilde;o semelhantes mesmo que os dois n&atilde;o tenham informa&ccedil;&otilde;es em comum o suficiente para se encaixar em algum dos casos.<\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-como-cai-semelhanca-de-triangulos-no-vestibular\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Como-cai-Semelhanca-de-Triangulos-no-vestibular\"><\/span>Como cai Semelhan&ccedil;a de Tri&acirc;ngulos no vestibular?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>Uma boa t&aacute;tica para resolver quest&otilde;es &eacute; &ldquo;fazer aparecer&rdquo; semelhan&ccedil;a de tri&acirc;ngulos atrav&eacute;s de alguma constru&ccedil;&atilde;o, como tra&ccedil;ar uma paralela. Por isso, &eacute; sempre bom, inicialmente, desenhar a figura quando for quest&otilde;es de geometria plana. A quest&atilde;o abaixo, do vestibular do <a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/vestibulares\/vestibular-ita\/\" target=\"_blank\">ITA<\/a>, exemplifica isso.<\/p><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-questao-ita-2014\"><strong>Quest&atilde;o ITA 2014<\/strong><\/h3><p>Se um tri&acirc;ngulo is&oacute;sceles <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?ABC\" alt=\"ABC\" align=\"absmiddle\">, cuja &aacute;rea mede <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?48cm%5E%7B2%7D\" alt=\"48cm^{2}\" align=\"absmiddle\">, a raz&atilde;o entre as medidas da altura <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Coverline%7BAP%7D\" alt=\"\\overline{AP}\" align=\"absmiddle\"> e da base <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Coverline%7BBC%7D\" alt=\"\\overline{BC}\" align=\"absmiddle\"> &eacute; igual a <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D\" alt=\"\\frac{2}{3}\" align=\"absmiddle\">. Das informa&ccedil;&otilde;es abaixo:<\/p><p>I &ndash; As medianas relativas aos lados <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Coverline%7BAB%7D\" alt=\"\\overline{AB}\" align=\"absmiddle\"> e <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Coverline%7BAC%7D\" alt=\"\\overline{AC}\" align=\"absmiddle\"> medem <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Csqrt%7B97%7Dcm\" alt=\"\\sqrt{97}cm\" align=\"absmiddle\">;<br>II &ndash; O baricentro dista <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?4cm\" alt=\"4cm\" align=\"absmiddle\"> do v&eacute;rtice <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?A\" alt=\"A\" align=\"absmiddle\">;<br>III &ndash; Se <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Calpha\" alt=\"\\alpha\" align=\"absmiddle\"> &eacute; o &acirc;ngulo formado pela base <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Coverline%7BBC%7D\" alt=\"\\overline{BC}\" align=\"absmiddle\"> com a mediana <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Coverline%7BBM%7D\" alt=\"\\overline{BM}\" align=\"absmiddle\">, relativa ao lado <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Coverline%7BAC%7D\" alt=\"\\overline{AC}\" align=\"absmiddle\">, ent&atilde;o <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?cos%5Calpha&amp;space;=%5Cfrac%7B3%7D%7B%5Csqrt%7B97%7D%7D\" alt=\"cos\\alpha =\\frac{3}{\\sqrt{97}}\" align=\"absmiddle\">,<\/p><p>&eacute;(s&atilde;o) verdadeira(s)<\/p><p>A ( ) apenas I.<\/p><p>B ( ) apenas II.<\/p><p>C ( ) apenas III.<\/p><p>D ( ) apenas I e III.<\/p><p>E ( ) apenas II e III.<\/p><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-resolucao-comentada\"><strong>Resolu&ccedil;&atilde;o Comentada<\/strong><\/h3><p>Com as informa&ccedil;&otilde;es do enunciado podemos construir a figura abaixo. Note que se <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Coverline%7BAP%7D=8x\" alt=\"\\overline{AP}=8x\" align=\"absmiddle\">, ent&atilde;o, pela raz&atilde;o dada, <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Coverline%7BBC%7D=12x\" alt=\"\\overline{BC}=12x\" align=\"absmiddle\">. Como o tri&acirc;ngulo &eacute; is&oacute;sceles, ent&atilde;o a mediana <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Coverline%7BAP%7D\" alt=\"\\overline{AP}\" align=\"absmiddle\"> &eacute;, tamb&eacute;m, altura.<\/p><p>Assim, atrav&eacute;s da <a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/area-de-triangulo\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">&aacute;rea do tri&acirc;ngulo<\/a>, podemos calcular o valor de x:<\/p><figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cleft%5BABC%5Cright%5D=%5Cfrac%7B%5Cleft(8x%5Cright)%5Cleft(12x%5Cright)%7D%7B2%7D=48cm%5E2%5CRightarrow&amp;space;x=1cm\" alt=\"\\left[ABC\\right]=\\frac{\\left(8x\\right)\\left(12x\\right)}{2}=48cm^2\\Rightarrow x=1cm\"><\/figure><p>Uma boa constru&ccedil;&atilde;o a se fazer para esse problema, &eacute; a perpendicular a <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Coverline%7BBC%7D\" alt=\"\\overline{BC}\" align=\"absmiddle\"> partindo de <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?M\" alt=\"M\" align=\"absmiddle\">, sendo <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?M\" alt=\"M\" align=\"absmiddle\"> o ponto m&eacute;dio de <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Coverline%7BAC%7D\" alt=\"\\overline{AC}\" align=\"absmiddle\">. Isso porque podemos calcular o valor da <a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/moda-media-mediana\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">mediana<\/a> <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Coverline%7BBM%7D\" alt=\"\\overline{BM}\" align=\"absmiddle\"> por Pit&aacute;goras se tivermos o valor de <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Coverline%7BMD%7D\" alt=\"\\overline{MD}\" align=\"absmiddle\">. E &eacute; a&iacute; que entra a semelhan&ccedil;a de tri&acirc;ngulos.<\/p><div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/cdn.blog.estrategiavestibulares.com.br\/vestibulares\/wp-content\/uploads\/2019\/11\/image165.png\" alt=\"semelhan&ccedil;a de tri&acirc;ngulos\" class=\"wp-image-33918\"><\/figure><\/div><p>Os tri&acirc;ngulos CDM e CPA s&atilde;o semelhantes (caso AA) e como <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Coverline%7BAC%7D=2%5C&amp;space;%5Coverline%7BCM%7D\" alt=\"\\overline{AC}=2\\ \\overline{CM}\" align=\"absmiddle\"> ent&atilde;o <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Coverline%7BMD%7D=%5Cfrac%7B%5Coverline%7BAP%7D%7D%7B2%7D=%5Cfrac%7B8x%7D%7B2%7D=4x=4cm\" alt=\"\\overline{MD}=\\frac{\\overline{AP}}{2}=\\frac{8x}{2}=4x=4cm\" align=\"absmiddle\">.<\/p><p>Al&eacute;m disso,<\/p><figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Coverline%7BCD%7D=%5Cfrac%7B%5Coverline%7BPC%7D%7D%7B2%7D=%5Cfrac%7B6x%7D%7B2%7D=3x=3cm%5CRightarrow\" alt=\"\\overline{CD}=\\frac{\\overline{PC}}{2}=\\frac{6x}{2}=3x=3cm\\Rightarrow\"><\/figure><figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Coverline%7BBD%7D=%5Coverline%7BBC%7D-%5Coverline%7BCD%7D=12x-2x=9x=9cm\" alt=\"\\overline{BD}=\\overline{BC}-\\overline{CD}=12x-2x=9x=9cm\"><\/figure><p>De forma an&aacute;loga, a mediana <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Coverline%7BCN%7D=%5Csqrt%7B97%7Dcm\" alt=\"\\overline{CN}=\\sqrt{97}cm\" align=\"absmiddle\">. Assim, o item I &eacute; verdadeiro.<\/p><p>Aplicando agora a semelhan&ccedil;a de tri&acirc;ngulos nos tri&acirc;ngulos BPG e BDM (caso AA), temos que<\/p><figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Cfrac%7B%5Coverline%7BGP%7D%7D%7B%5Coverline%7BMD%7D%7D=%5Cfrac%7B6x%7D%7B9x%7D%5CRightarrow%5Coverline%7BGP%7D=%5Cfrac%7B8%7D%7B3%7Dcm%5CRightarrow%5Coverline%7BAG%7D=8cm-%5Cfrac%7B8%7D%7B3%7Dcm=%5Cfrac%7B16%7D%7B3%7Dcm\" alt=\"\\frac{\\overline{GP}}{\\overline{MD}}=\\frac{6x}{9x}\\Rightarrow\\overline{GP}=\\frac{8}{3}cm\\Rightarrow\\overline{AG}=8cm-\\frac{8}{3}cm=\\frac{16}{3}cm\"><\/figure><p>Assim, o item II &eacute; falso.<\/p><p>Por fim, <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?cos%5Calpha=%5Cfrac%7B%5Coverline%7BBD%7D%7D%7B%5Coverline%7BBM%7D%7D=%5Cfrac%7B9%7D%7B%5Csqrt%7B97%7D%7D\" alt=\"cos\\alpha=\\frac{\\overline{BD}}{\\overline{BM}}=\\frac{9}{\\sqrt{97}}\" align=\"absmiddle\">, ou seja, o item III tamb&eacute;m &eacute; falso. Assim, a resposta da quest&atilde;o &eacute; o item A.<\/p><p>Essa quest&atilde;o poderia ser resolvida sem a constru&ccedil;&atilde;o de <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?%5Coverline%7BMD%7D\" alt=\"\\overline{MD}\" align=\"absmiddle\">, e sem utilizar semelhan&ccedil;a de tri&acirc;ngulos, entretanto, dessa maneira, a quest&atilde;o acaba saindo mais r&aacute;pido pois as contas ficaram bem mais simples. Assim, vemos que a semelhan&ccedil;a de tri&acirc;ngulos &eacute; um artif&iacute;cio muito bom na resolu&ccedil;&atilde;o de quest&otilde;es, mas &eacute; necess&aacute;rio que voc&ecirc; treine mais um pouco para pegar o jeito e conseguir enxergar os tri&acirc;ngulos que s&atilde;o semelhantes em uma quest&atilde;o.<\/p><p>\n\n\n\n<a id=\"cta\" class=\"cta-imagem\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/curso\/pacote-enem\/\" target=\"blank\">\n                <img decoding=\"async\" width=\"100%\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Enem.jpg\" alt=\"CTA curso Enem\" title=\"CTA curso Enem\">\n        <\/a>\n\n\n\n<\/p><h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Veja-tambem\"><\/span>Veja tamb&eacute;m:<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><ul class=\"wp-block-list\"><li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/geometria\/\">Geometria: o que &eacute; e como &eacute; classificada<\/a>&nbsp;<\/li><li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/figuras-geometricas\/\">Figuras Geom&eacute;tricas: planas, espaciais e como aparece nos vestibulares<\/a>&nbsp;<\/li><li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/geometria-plana-no-enem\/\">Geometria Plana no Enem: conceito e defini&ccedil;&otilde;es<\/a><\/li><li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/triangulos\/\">Tri&acirc;ngulos: defini&ccedil;&atilde;o, per&iacute;metro, &aacute;rea, classifica&ccedil;&otilde;es<\/a><\/li><li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/circulo-e-circunferencia\/\">C&iacute;rculo e circunfer&ecirc;ncia: conceitos e exerc&iacute;cios<\/a><\/li><li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/geometria-analitica\/\">Geometria anal&iacute;tica: f&oacute;rmulas, gr&aacute;ficos e equa&ccedil;&otilde;es<\/a>&nbsp;<\/li><li><a 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