{"id":34829,"date":"2019-12-03T15:38:56","date_gmt":"2019-12-03T18:38:56","guid":{"rendered":"https:\/\/blog.estrategiavestibulares.com.br\/?p=34829"},"modified":"2021-03-10T09:04:21","modified_gmt":"2021-03-10T12:04:21","slug":"prova-ita-2020-matematica","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/prova-ita-2020-matematica\/","title":{"rendered":"Prova ITA 2020 \u2013 Matem\u00e1tica \u2013 Resolu\u00e7\u00e3o Comentada"},"content":{"rendered":"

Fala, pessoal… Tudo bem? Sou o prof. Victor So, do Estratégia Vestibulares e Carreiras Militares. Neste artigo, você vai conferir a resolução das questões da prova de Matemática do ITA 2020. Também deixei disponível a correção em PDF. Assim, você vai poder baixar gratuitamente. Vamos nessa??

\">Matemática – Prova ITA 2020 – Resolvida\" class=\"wp-block-file__button\" download>Baixar<\/div>

Prova ITA 2020<\/h2>

Sejam \"\\large números reais tais que \"\\large e \"\\large. Então, o produto \"\\large é igual a:<\/p>

a) 6.<\/p>

b) 8.<\/p>

c) 10.<\/p>

d) 12.<\/p>

e) 14.<\/p>

Resolução Comentada<\/h3>

Os números reais podem ser escritos como:<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

Assim, fazendo o produto entre eles, obtemos:<\/p>

\"\\large<\/p>

Podemos usar a seguinte propriedade dos logaritmos para simplificar a expressão:<\/p>

\"\\large<\/p>

Reorganizando os termos da expressão:<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

Gabarito: A<\/strong><\/p>

Questão 42<\/h3>

Sejam \"\\large, \"\\large e \"\\large números reais, \"\\large, tais que \"\\large. Se \"\\large, \"\\large e \"\\large formam, nessa ordem, uma progressão geométrica de razão \"\\large, então o produto \"\\large e a soma \"\\large de todos os possíveis valores para \"\\large são iguais a:<\/p>

a) \"\\large e \"\\large<\/p>

b) \"\\large e \"\\large<\/p>

c) \"\\large e \"\\large<\/p>

d) \"\\large e \"\\large<\/p>

e) \"\\large e \"\\large<\/p>

Resolução Comentada<\/h3>

Vamos reescrever a sequência \"\\large como \"\\large para simplificar as contas.<\/p>

Assim, a partir do enunciado, podemos escrever:<\/p>

\"\\large<\/p>

Como \"\\large , implica que \"\\large<\/p>

Dessa forma, temos: \"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

Façamos \"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large ou \"\\large<\/p>

Como k é um número real, temos que<\/p>

\"\\large<\/p>

Assim, \"\\large e \"\\large<\/p>

Gabarito: D<\/strong><\/p>

Questão 43<\/h3>

A parte real da soma infinita da progressão geométrica cujo termo geral \"\\large é dado por<\/p>

\"\\large<\/p>

é igual a<\/p>

a) \"\\large<\/p>

b) \"\\large<\/p>

c) \"\\large<\/p>

d) \"\\large<\/p>

e) \"\\large<\/p>

Resolução Comentada<\/h3>

Note que podemos escrever o termo geral da seguinte forma:<\/p>

\"\\large<\/p>

Usando o termo geral, temos a seguinte sequência:<\/p>

\"\\large<\/p>

Logo, a razão da PG é:<\/p>

\"\\large<\/p>

Como \"\\large, temos que a soma infinita converge. Assim, usando a fórmula da soma infinita da PG, obtemos:<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

Multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, temos:<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

A parte real da soma infinita é dada por:<\/p>

\"\\large<\/p>

Simplificando a expressão:<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

Gabarito: A<\/strong><\/p>

Questão 44<\/h3>

Duas curvas planas \"\\large e \"\\large são definidas pelas equações<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

Sejam \"\\large e \"\\large os pontos de interseção de \"\\large como o eixo \"\\large e \"\\large e \"\\large os pontos de interseção de \"\\large como o eixo \"\\large. A área do quadrilátero convexo de vértices P, Q, R e S é igual a:<\/p>

a) \"\\large<\/p>

b) \"\\large<\/p>

c) \"\\large<\/p>

d) \"\\large<\/p>

e) \"\\large<\/p>

Resolução Comentada<\/h3>

Inicialmente, devemos encontrar as coordenadas dos pontos P, Q, R, S. Como P e Q são os pontos de interseção de \"\\large como eixo x, temos:<\/p>

\"\\large e \"\\large<\/p>

Fazendo \"\\large na equação de \"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

Portanto, as raízes são \"\\large ou \"\\large.<\/p>

Assim, temos os pontos \"\\large e \"\\large.<\/p>

Resta encontrar R e S. Como esses pontos são a interseção de \"\\large como o eixo y, temos \"\\large e \"\\large. Fazendo \"\\large em \"\\large:<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

Assim, temos \"\\large e \"\\large.<\/p>

Esboçando os pontos no plano cartesiano, temos a seguinte figura:<\/p>

\"\"<\/figure><\/div>

A área pedida é dada por:<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

Gabarito: C<\/strong><\/p>

Questão 45<\/h3>

A cada aniversário, seu bolo tem uma quantidade de velas igual à sua idade. As velas são vendidas em pacotes com 12 unidades e todo ano é comprado apenas um novo pacote. As velas remanescentes são guardadas para os anos seguintes, desde o seu primeiro aniversário. Qual a sua idade, em anos, no primeiro ano em que as velas serão insuficientes?<\/p>

a) 12.<\/p>

b) 23.<\/p>

c) 24.<\/p>

d) 36.<\/p>

e) 38.<\/p>

Resolução Comentada<\/h3>

Veja que a quantidade de velas gastas a cada aniversário pode ser vista como uma progressão aritmética de razão 1.<\/p>

\"\"<\/figure><\/div>

Assim, o total de velas gastas até o n-ésimo aniversário é:<\/p>

\"\\large<\/p>

Como todo ano um novo pacote de 12 velas é compradas, temos até o n-ésimo aniversário:<\/p>

\"\\large velas remanescentes<\/p>

O primeiro ano em que as velas serão insuficientes ocorrerá quando as velas remanescentes satisfazerem a condição:<\/p>

\"\\large<\/p>

Sendo n a idade, temos que \"\\large, logo:<\/p>

\"\\large.<\/p>

Gabarito: C<\/strong><\/p>

Questão 46<\/h3>

Seja A um ponto externo a circunferência \"\\large de centro O e raio r. Considere uma reta passando por A e secante a \"\\large nos pontos C e D tal que o segmento AC é o externo a \"\\large e tem comprimento igual a r. Seja B o ponto de \"\\large tal que O pertence ao segmento AB. Se o ângulo \"\\large mede 10°, então a medida do ângulo \"\\large é igual a:<\/p>

a) 25°.<\/p>

b) 30°.<\/p>

c) 35°.<\/p>

d) 40°.<\/p>

e) 45°.<\/p>

Resolução Comentada<\/h3>

De acordo com o enunciado, temos a seguinte figura: <\/p>

\"\"<\/figure><\/div>

Queremos determinar \"\\large. Perceba que OCA é um triângulo isósceles, pois \"\\large. Logo:<\/p>

\"\"<\/figure><\/div>

Como \"\\large é ângulo externo ao \"\\large, então \"\\large. Sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo deve ser 180°, temos:<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\"<\/figure><\/div>

Assim, \"\\large é dada por:<\/p>

\"\\large<\/p>

Gabarito: B<\/strong><\/p>

Questão 47<\/h3>

Se \"\\large um número real satisfazendo \"\\large. Então, a soma de todos os valores de \"\\large que satisfazem a equação<\/p>

\"\\large<\/p>

é igual a<\/p>

a) \"\\large<\/p>

b) \"\\large<\/p>

c) \"\\large<\/p>

d) \"\\large<\/p>

e) \"\\large<\/p>

Resolução Comentada<\/h3>

Reescrevendo a equação, obtemos:<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

Note que<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

Substituindo na equação:<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

Assim, temos as seguintes soluções:<\/p>

\"\\large<\/p>

ou<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

Para o intervalo \"\\large e lembrando que \"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

Somando-se as soluções:<\/p>

\"\\large<\/p>

Gabarito: E<\/strong><\/p>

Questão 48<\/h3>

Considere o polinômio \"\\large, sendo m,n números reais fixados. Sabe-se que toda raiz \"\\large, com \"\\large, da equação \"\\large satisfaz a igualdade \"\\large. Então, a soma dos quadrados das raízes de \"\\large é igual a:<\/p>

a) 6.<\/p>

b) 7.<\/p>

c) 8.<\/p>

d) 9.<\/p>

e) 10.<\/p>

Resolução Comentada<\/h3>

Pelo teorema fundamental da álgebra, o polinômio possui 3 raízes. Além disso, como os coeficientes do polinômio são reais, se tivermos uma raiz complexa, pelo teorema da raiz complexa conjugada, podemos afirmar que o conjugado dessa raiz também é raiz. Assim, temos as seguintes possibilidades:<\/p>

I) duas raízes complexas e uma real<\/p>

II) três raízes reais<\/p>

Para o caso II de apenas raízes reais, temos da condição do enunciado, que toda raiz \"\\large satisfaz a igualdade \"\\large , ou seja, as raízes reais implicam \"\\large. Logo, todas as raízes são:<\/p>

\"\\large<\/p>

Aplicando a relação de Girard para a soma do produto dois a dois:<\/p>

\"\\large<\/p>

Mas, como \"\\large:<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

Portanto, chegamos a um absurdo!<\/p>

A única possibilidade é a I, duas raízes complexas conjugadas e uma real. Então, sejam as raízes, para \"\\large:<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

Da condição do enunciado:<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

Da \"\\large e \"\\large , temos \"\\large, logo:<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

Se \"\\large, teremos raízes reais, portanto, \"\\large.<\/p>

Como \"\\large, temos \"\\large<\/p>

O polinômio é:<\/p>

\"\\large<\/p>

Aplicando Girard:<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

Usando a \"\\large na \"\\large:<\/p>

\"\\large<\/p>

Substituindo \"\\large na \"\\large:<\/p>

\"\\large<\/p>

Assim, a soma dos quadrados das raízes é:<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

Gabarito: B<\/strong><\/p>

Questão 49<\/h3>

A expansão decimal do número \"\\large possui muitos algarismos iguais a zero. Contando da direita para a esquerda, a partir do dígito das unidades, o número de zeros, que esse número possui antes de um dígito não nulo aparecer, é igual a<\/p>

a) 20.<\/p>

b) 21.<\/p>

c) 22.<\/p>

d) 23.<\/p>

e) 24.<\/p>

Resolução Comentada<\/h3>

Seja a fatoração em primos, única pelo teorema fundamental da álgebra, de \"\\large:<\/p>

\"\\large<\/p>

Mas \"\\large<\/p>

Dado um número inteiro positivo N, a quantidade de zeros em seu final é igual ao número de vezes em que se pode dividir por 10 e continuar com um inteiro positivo. A cada divisão, diminui-se uma unidade dos expoentes de 2 e de 5. Logo, é possível dividir por \"\\large vezes.<\/p>

Acontece que em m!, para todo inteiro positivo m, temos sempre que o expoente de 5 é menor ou igual ao expoente de 2, isto é, \"\\large . Logo, \"\\large. O problema agora é descobrir o expoente de 5 em 100!<\/p>

Contemos as contribuições de cada \"\\large.<\/p>

Cada múltiplo de 5 contribui com pelo menos um fator 5.<\/p>

Cada múltiplo de \"\\large contribui com um fator 5 extra.<\/p>

Não existem múltiplos de \"\\large com \"\\large.<\/p>

Temos \"\\largezeros no fim de 100!.<\/p>

Gabarito: E<\/strong><\/p>

Questão 50<\/h3>

Seja \"\\large um polinômio com coeficientes reais. Sabendo que:<\/p>

I – \"\\large é divisível por \"\\large;<\/p>

II – a soma das raízes de \"\\large é igual a 1;<\/p>

III – o produto das raízes de \"\\large é igual a 3;<\/p>

IV – \"\\large<\/p>

então, \"\\large é igual a<\/p>

a) \"\\large<\/p>

b) \"\\large<\/p>

c) \"\\large<\/p>

d) \"\\large<\/p>

e) \"\\large<\/p>

Resolução Comentada<\/h3>

De cada afirmação, temos:<\/p>

I) Como \"\\large é divisível por \"\\large, temos:<\/p>

\"\\large<\/p>

As raízes do polinômio \"\\large são \"\\large, desse modo:<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

II) Por Girard:<\/p>

\"\\large<\/p>

III) Por Girard:<\/p>

\"\\large<\/p>

IV) Substituindo \"\\large no polinômio<\/p>

\"\\large<\/p>

Para \"\\large e \"\\large, temos o seguinte sistema:<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

Multiplicando a última equação por 2:<\/p>

\"\\large<\/p>

Somando a primeira equação com a segunda e a primeira com a terceira:<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large e \"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

Queremos \"\\large, logo:<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

Gabarito: D<\/strong><\/p>

Questão 51<\/h3>

Os pontos \"\\large e \"\\large são vértices do triângulo isósceles ABC de base BC, contido no primeiro quadrante. Se o raio da circunferência inscrita no triângulo mede 3, então as coordenadas do vértice A são:<\/p>

a) \"\\large<\/p>

b) \"\\large<\/p>

c) \"\\large<\/p>

d) \"\\large<\/p>

e) \"\\large<\/p>

Resolução Comentada<\/h3>

Como ABC é um triângulo isósceles, então sua altura em relação ao vértice A também é mediatriz em relação à base BC. Temos a seguinte figura:<\/p>

\"\"<\/figure><\/div>

M é ponto médio de BC, logo:<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

Como \"\\large é mediatriz, temos que ela é perpendicular à reta \"\\large, vamos encontrar seu coeficiente angular:<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

Como \"\\large e \"\\large, temos que a reta que passa por M e A é y=x, ou seja, as coordenadas de A são da forma<\/p>

\"\\large<\/p>

Vamos resolver o problema por geometria plana. Sabemos que \"\\large é o raio da circunferência inscrita ao triângulo. Consideremos a seguinte figura:<\/p>

\"\"<\/figure><\/div>

Do triângulo retângulo BCD:<\/p>

\"\\large<\/p>

Podemos calcular a área do \"\\large de duas formas:<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

Veja que pelo teorema de Pitágoras no \"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

Usando \"\\large:<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

Podemos usar a seguinte figura para calcular as coordenadas de A:<\/p>

\"\"<\/figure><\/div>

\"\\large<\/p>

\"\\large<\/p>

Gabarito: C<\/strong><\/p>

Questão 52<\/h3>

Dado \"a\\in, defina \"p=a+a^2\" e \"q=a+a^3\" e considere as seguintes afirmações:<\/p>

I. se p ou q é irracional, então a é irracional.
II. se p e q são racionais, então a é racional.
III. se q é irracional, então p é irracional.<\/p>

É(são) VERDADEIRA(S)<\/p>

a) apenas I.<\/p>

b) apenas II.<\/p>

c) apenas I e II.<\/p>

d) apenas I e III.<\/p>

e) todas.<\/p>

Resolução Comentada<\/h3>

I. Temos da afirmação \"\\left(p\\in\\mathbb{I}\\right)\\vee\\left(q\\in\\mathbb{I}\\right)\\rightarrow. Usando sua contrapositiva:<\/p>

\"\\sim\\left(a\\in\\mathbb{I}\\right)\\rightarrow\\sim\\left[\\left(p\\in\\mathbb{I}\\right)\\vee\\left(q\\in\\mathbb{I}\\right)\\right]\"<\/p>

\"\\sim\\left(a\\in\\mathbb{I}\\right)\\rightarrow\\sim\\left(p\\in\\mathbb{I}\\right)\\land\\sim\\left(q\\in\\mathbb{I}\\right)\"<\/p>

\"a\\in\\mathbb{Q}\\rightarrow\\left(p\\in\\mathbb{Q}\\right)\\land\\left(q\\in\\mathbb{Q}\\right)\"<\/p>

Assim, temos que verificar se \"a\\in\\mathbb{Q}\" implica que \"p\\in\\mathbb{Q}\" e \"q\\in\\mathbb{Q}\". Como \"a\\in\\mathbb{Q}\", temos \"a^2\\in\\mathbb{Q}\" e \"a^3\\in\\mathbb{Q}\", \"p=a+a^2\\in\\mathbb{Q}\" e \"q=a+a^3\\in\\mathbb{Q}\". Portanto, afirmação verdadeira.<\/p>

II. Multiplicando-se p por a, temos:<\/p>

\"ap=a^2+a^3\"<\/p>

Podemos escrever \"a^{2}\" e \"a^{3}\" como:<\/p>

\"p=a+a^2\\Rightarrow<\/p>

\"q=a+a^3\\Rightarrow<\/p>

Substituindo em ap:<\/p>

\"ap=p-a+q-a\\Rightarrow<\/p>

\"p+q\\Rightarrow\\left(p+2\\right)a=p+q\"<\/p>

Para \"p\\neq-2\":<\/p>

\"a=\\frac{p+q}{p+2}\"<\/p>

Se \"p,q\\in\\mathbb{Q}\", temos que \"\\frac{p+q}{p+2}\\in\\mathbb{Q}\" , logo, \"a\\in\\mathbb{Q}\".<\/p>

Para \"p=-2\":<\/p>

\"-2=a+a^2\\Rightarrow<\/p>

\"\\Delta=1^2-4\\cdot1\\cdot2=1-8=-7<0\"<\/p>

Portanto, \"a\\notin\\mathbb{R}\", logo, não é possível.<\/p>

Concluímos que a afirmação é verdadeira.<\/p>

III. Tomemos o seguinte contraexemplo:<\/p>

\"a=\\sqrt3-\\frac{1}{2}\"<\/p>

\"q=a\\left(1+a^2\\right)=\\left(\\sqrt3-\\frac{1}{2}\\right)\\left(1+\\left(\\sqrt3-\\frac{1}{2}\\right)^2\\right)\"<\/p>

\"q=\\left(\\frac{2\\sqrt3-1}{2}\\right)\\left(1+3+\\frac{1}{4}-\\sqrt3\\right)=\"<\/p>

\"\\frac{\\left(2\\sqrt3-1\\right)\\left(17-4\\sqrt3\\right)}{8}=\"<\/p>

\"\\frac{34\\sqrt3-17-24+4\\sqrt3}{8}\"<\/p>

\"q=\\frac{38\\sqrt3-41}{8}\\in\\mathbb{I}\"<\/p>

\"p=a\\left(1+a\\right)=\\left(\\sqrt3-\\frac{1}{2}\\right)\\left(1+\\sqrt3-\\frac{1}{2}\\right)=\"<\/p>

\"\\left(\\sqrt3-\\frac{1}{2}\\right)\\left(\\sqrt3+\\frac{1}{2}\\right)=3-\\frac{1}{4}=\\frac{11}{4}\\in\\mathbb{Q}\"<\/p>

Portanto, afirmação falsa.<\/p>

Gabarito: C<\/strong><\/p>

Questão 53<\/h3>

Considere as seguintes afirmações:<\/p>