{"id":36796,"date":"2019-12-18T12:08:30","date_gmt":"2019-12-18T15:08:30","guid":{"rendered":"https:\/\/blog.estrategiavestibulares.com.br\/?p=36796"},"modified":"2022-07-15T14:19:31","modified_gmt":"2022-07-15T17:19:31","slug":"funcao-de-segundo-grau","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/funcao-de-segundo-grau\/","title":{"rendered":"Fun\u00e7\u00e3o de Segundo Grau: o que \u00e9 e como resolver quest\u00f5es"},"content":{"rendered":"

Neste artigo, o Estratégia Vestibulares<\/a> vai te ajudar a aprender o que é Função de Segundo Grau<\/em><\/strong> e como aplicá-la. A análise das funções de segundo grau seguirá o mesmo padrão que usamos para analisar as funções de primeiro grau<\/a>.

A diferença é que nas funções de segundo grau teremos três coeficientes, não dois.<\/p>

Pois bem. Uma função de segundo grau é da forma:<\/p>

\"\\dpi{120}<\/figure>

Alternativamente, podemos escrever<\/p>

\"\\dpi{120}<\/figure>

Sem perda de significado.<\/p>

Como você deve ter notado, são três coeficientes; ?, ?, ?.<\/p>

Uma particularidade da função de segundo grau é que o expoente dois torna valores negativos em positivos. É claro que isso não acontece com o termo de primeiro grau, mas, é um fator a se considerar quando estamos estudando gráficos de equações de segundo grau.<\/p>

Como parâmetro, usaremos agora a função<\/p>

\"\\dpi{120}<\/figure>

Como todos os valores de ? serão elevados ao quadrado, essa função acaba sendo não negativa. Vejamos seu gráfico:<\/p>

\"função<\/figure><\/div>

A função \"\\dpi{120} apresenta simetria axial<\/strong><\/em> (uma figura que tem, pelo menos, um eixo que a divide em duas partes semelhantes, iguais, correspondentes) e esse eixo é exatamente o eixo vertical, ou seja,
os valores de \"\\dpi{120}.<\/p>

Essa característica é consequência do expoente par da função e a classifica como função par, mas veremos essa classificação na aula 02.<\/p>

Por enquanto, basta notar a simetria e saber que nem toda função quadrática é par. Para a primeira análise, veremos como é afetada a função ao variarmos o coeficiente ?.<\/p>

\"função<\/figure><\/div>

E qual seria a consequência de valores negativos no coeficiente ?? Seria esse valor negativo afetado pela potência de ??<\/p>

Escrevendo a função com ? < 0, temos algo como em \"\\dpi{120}.<\/p>

Nem o coeficiente ? nem o seu sinal estão elevados ao quadrado. Assim, o sinal de ? pode e deve ter interferência no gráfico da função. Só para deixar claro, aqui temos ? = −1.<\/p>

\"funções<\/figure><\/div>

Nota-se que o coeficiente ? tem influência na abertura da função \"\\dpi{120} . A essa abertura, chamamos concavidade. Se o módulo de ? aumenta, a concavidade se fecha; se diminui, a concavidade se abre.<\/p>

Além disso, valores negativos de ? resultam em funções com concavidades voltadas para baixo e positivos, para cima.<\/p>

Essa curva que você notou nos gráficos recebe o nome de parábola e tem muitas características interessantes. Estudaremos essas propriedades com profundidade em Geometria Analítica e veremos, por exemplo, o motivo de usarmos antenas parabólicas para captar sinais de satélite.<\/p>

Por enquanto o que nos interessa é o comportamento da função de segundo grau, cujo gráfico é representado por uma parábola.<\/p>

Entendido o coeficiente ?, vamos para o coeficiente ?. Usemos a função<\/p>

\"\\dpi{120}<\/p>

\"\\dpi{120}<\/p>

como base de comparação e alteremos o valor de ? = 0 para 1, 2 e 3.<\/p>

\"funções<\/figure><\/div>

As parábolas se mantiveram “presas” na origem (0; 0), mas apareceu uma segunda raiz de módulo igual ao módulo de ?, mas com sinal contrário.<\/p>

Vejamos o porquê de isso ocorrer.<\/p>

Se temos uma função incompleta do tipo.<\/p>

\"\\dpi{120}<\/p>

e queremos calcular suas raízes, nós colocaremos o valor zero no lugar da função, pois as raízes estão no eixo horizontal, lembra?<\/p>

\"\\dpi{120}<\/p>

\"\\dpi{120}<\/p>

\"\\dpi{120}<\/p>

Se um produto é zero, um dos fatores deve ser igual a zero, então:<\/p>

\"\\dpi{120}<\/p>

\"\\dpi{120}<\/p>

Como no nosso exemplo, ? = 1<\/p>

\"\\dpi{120}<\/p>

Exatamente o comportamento visto:<\/p>

\"\\dpi{120} parábola presa na origem<\/p>

\"\\dpi{120} raiz com módulo igual ao módulo de b com sinal contrário.<\/p>

Assim, apesar de não ser uma translação somente horizontal, ocorre um “escorregamento da função quanto alteramos o coeficiente ?.<\/p>

Para confirmar, se o “escorregamento” sempre tem o sinal oposto de ?, se colocarmos valores negativos para o coeficiente ? a função “escorregaria” para a direita?<\/p>

Teoricamente, sim. Façamos mais alguns gráficos só para confirmar.<\/p>

\"função<\/figure><\/div>

Exatamente o que esperávamos.<\/p>

E, para encerrar esse estudo, analisemos o comportamento da função<\/p>

\"\\dpi{120}<\/p>

quando variamos os valores do coeficiente ?.<\/p>

Novamente, utilizaremos a função<\/p>

\"\\dpi{120}<\/p>

\"\\dpi{120}<\/p>

como parâmetro e variaremos o coeficiente ? de 0 para −1,1, 2, 3.<\/p>

\"funções<\/figure><\/div>

Não é de se estranhar que o termo independente da função de segundo grau também traz a informação do intercepto-y. Afinal, se colocarmos valor nulo na variável x, o que sobra é só o termo independente. Veja.<\/p>

\"\\dpi{120}<\/p>

\"\\dpi{120}<\/p>

\"\\dpi{120}<\/p>

Ou seja, o termo independente traz exatamente o valor do ponto em que a função quadrática corta o eixo vertical.<\/p>

Voltando às funções do gráfico, atenção à função<\/p>

\"\\dpi{120}<\/p>

Ela apresenta duas raízes. Visualmente, no gráfico, vemos que devem ser {−1; 1}. Vamos conferir?<\/p>

Para calcular as raízes, fazemos ? = 0, então:<\/p>

\"\\dpi{120}<\/p>

\"\\dpi{120}<\/p>

\"\\dpi{120}<\/p>

\"\\dpi{120}<\/p>

\"\\dpi{120}<\/p>

\"\\dpi{120}<\/p>

Exatamente como prevíamos.<\/p>

Agora, vejamos o que acontece com as funções que parecem “flutuar” no gráfico, não interceptando o eixo horizontal.<\/p>

Vejamos o exemplo de<\/p>

\"\\dpi{120}<\/p>

\"\\dpi{120}<\/p>

\"\\dpi{120}<\/p>

\"\\dpi{120}<\/p>

Perceba que não existe, no conjunto dos números reais, a raiz quadrada de número negativo.<\/p>

Veja bem, tínhamos uma função e queríamos descobrir a(s) raiz(raízes). Par isso, substituímos ? por 0 e, nesse momento, passamos a ter uma equação que representa uma pergunta: qual o número cujo quadrado somado a um dá zero?<\/p>

Quando chegamos a uma resposta inexistente, significa responder a essa pergunta dizendo: não existe número que satisfaça essa condição.<\/p>

Como esse número representaria o(s) ponto(s) em que a função interceptaria o eixo horizontal, concluímos que a função está toda acima do eixo ou toda abaixo do eixo; não há intersecções entre esta e o eixo horizontal.<\/p>

É extremamente importante que você esteja ciente do que calcula e, tanto quanto operar corretamente funções e equações, que consiga entender o que significam a cada momento.<\/p>

Assim você poderá aplicar as ferramentas matemáticas para resolver problemas de forma eficiente. Isso ajuda a passar no vestibular e a resolver problemas do cotidiano por meio da matemática também.<\/p>

Afinal, após o vestibular há toda uma faculdade a cursar, não é?<\/p>

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