{"id":54325,"date":"2021-09-01T09:30:00","date_gmt":"2021-09-01T12:30:00","guid":{"rendered":"https:\/\/blog.estrategiavestibulares.com.br\/?p=54325"},"modified":"2024-02-19T14:46:09","modified_gmt":"2024-02-19T17:46:09","slug":"analise-combinatoria-enem","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/analise-combinatoria-enem\/","title":{"rendered":"O que cai sobre An\u00e1lise Combinat\u00f3ria no Enem"},"content":{"rendered":"<p>A determina&ccedil;&atilde;o de grupos, a combina&ccedil;&atilde;o de fatores, a randomiza&ccedil;&atilde;o de valores e o desenvolvimento de sorteios s&atilde;o momentos cotidianos que cont&eacute;m teorias <a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/category\/matematica\/\" target=\"_blank\">matem&aacute;ticas <\/a>e aparecem nos vestibulares. Por isso, &eacute; muito importante entender como s&atilde;o abordados temas como probabilidades e an&aacute;lise combinat&oacute;ria no <a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/noticias\/enem-2021-prova-tem-3-milhoes-de-candidatos-confirmados\/\" target=\"_blank\">Enem<\/a>.&nbsp;<p>Para te ajudar com o assunto, o <a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/\" target=\"_blank\">Estrat&eacute;gia Vestibulares<\/a> preparou um resumo com as principais informa&ccedil;&otilde;es sobre as combina&ccedil;&otilde;es poss&iacute;veis em um conjunto de elementos. Entenda melhor os arranjos, os grupamentos dos fatores, as f&oacute;rmulas utilizadas, entre outros. Acompanhe!<\/p><div id=\"ez-toc-container\" class=\"ez-toc-v2_0_76 counter-hierarchy ez-toc-counter ez-toc-transparent ez-toc-container-direction\">\n<div class=\"ez-toc-title-container\"><p class=\"ez-toc-title\" style=\"cursor:inherit\">Navegue pelo conte\u00fado<\/p>\n<\/div><nav><ul class='ez-toc-list ez-toc-list-level-1 ' ><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-1\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/analise-combinatoria-enem\/#Analise-Combinatoria-o-que-e\" >An&aacute;lise Combinat&oacute;ria o que &eacute;<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-2\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/analise-combinatoria-enem\/#Como-e-cobrada-a-Analise-Combinatoria-no-Enem\" >Como &eacute; cobrada a An&aacute;lise Combinat&oacute;ria no Enem?<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-3\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/analise-combinatoria-enem\/#Questoes-sobre-Analise-Combinatoria-no-Enem\" >Quest&otilde;es sobre An&aacute;lise Combinat&oacute;ria no Enem<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-4\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/analise-combinatoria-enem\/#Veja-tambem\" >Veja tamb&eacute;m:<\/a><\/li><\/ul><\/nav><\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-analise-combinatoria-o-que-e\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Analise-Combinatoria-o-que-e\"><\/span>An&aacute;lise Combinat&oacute;ria o que &eacute;<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>An&aacute;lise combinat&oacute;ria &eacute; a parte da matem&aacute;tica que se dedica ao estudo da contagem. Por meio das ferramentas de combina&ccedil;&atilde;o, &eacute; poss&iacute;vel determinar as quantidades de elementos, grupamentos e possibilidades dentro de um conjunto espec&iacute;fico de fatores.<\/p><p>Esse ramo matem&aacute;tico &eacute; muito utilizado, por exemplo, para a constitui&ccedil;&atilde;o do n&uacute;mero de documentos, placas de autom&oacute;veis, identifica&ccedil;&atilde;o telef&ocirc;nica, cria&ccedil;&atilde;o de senhas, criptografia, entre outros contextos. Nesse sentido, o conhecimento b&aacute;sico sobre o assunto &eacute; necess&aacute;rio para diversas situa&ccedil;&otilde;es cotidianas e tamb&eacute;m nos vestibulares.&nbsp;<\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-como-e-cobrada-a-analise-combinatoria-no-enem\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Como-e-cobrada-a-Analise-Combinatoria-no-Enem\"><\/span>Como &eacute; cobrada a An&aacute;lise Combinat&oacute;ria no Enem?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>Os temas mais recorrentes sobre an&aacute;lise combinat&oacute;ria no Enem s&atilde;o: combina&ccedil;&atilde;o, arranjo e permuta. A seguir, entenda melhor cada um desses t&oacute;picos.<\/p><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-combinacao\">Combina&ccedil;&atilde;o<\/h3><p>A combina&ccedil;&atilde;o &eacute; utilizada para <strong>forma&ccedil;&atilde;o de grupamentos entre elementos <\/strong>que possuem uma<strong> ordem n&atilde;o especificada, <\/strong>a partir de um conjunto com maior n&uacute;mero de componentes. Pode ser muito &uacute;til na escolha de grupos de pessoas ou na mistura de ingredientes em uma mistura, por exemplo. A f&oacute;rmula de c&aacute;lculo &eacute; determinada por:&nbsp;<\/p><p class=\"has-text-align-center\"><strong>Combina&ccedil;&atilde;o <\/strong><strong><sub>(n,k)<\/sub><\/strong><strong>= n! \/ k!&nbsp;<\/strong><\/p><p>Em que <strong>n representa o n&uacute;mero total de elementos do conjunto<\/strong> e <strong>k representa o n&uacute;mero de elementos nos agrupamentos<\/strong>. Compreenda melhor com o modelo seguinte:<\/p><p>Para escolher quais sabores colocar em uma casquinha de sorvete, Jo&atilde;o tem tr&ecirc;s possibilidades (chocolate, creme e morango) e selecionar&aacute; apenas duas. Independentemente da ordem em que Jo&atilde;o dispuser o alimento no recipiente, a mistura de paladar ser&aacute; a mesma. Assim, escolher creme com chocolate &eacute; o mesmo que escolher chocolate com creme.&nbsp;<\/p><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-arranjo-nbsp\">Arranjo&nbsp;<\/h3><p>A combinat&oacute;ria por arranjo &eacute; a forma&ccedil;&atilde;o de sequ&ecirc;ncias na qual a ordem &eacute; importante e espec&iacute;fica,<strong> <\/strong>a partir de um conjunto com maior n&uacute;mero de elementos. A f&oacute;rmula desse m&eacute;todo considera que&nbsp; p=n&uacute;mero de elementos desejados na sequ&ecirc;ncia e n=n&uacute;mero de elementos totais do conjunto maior.&nbsp;<\/p><p class=\"has-text-align-center\">A<sup>p<\/sup><sub>n<\/sub>= n<sup>p <\/sup>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;quando n possui valores repetidos<br>A<sup>p<\/sup><sub>n<\/sub>= n! \/ (n-p)!&nbsp; quando n n&atilde;o possui valores repetidos<\/p><p>Ele se apresenta no cotidiano, por exemplo, no emplacamento dos ve&iacute;culos:<\/p><p>Se originado de um conjunto de n=10 algarismos (1,2,3,4,5,6,7,8,9,0) devem ser formadas placas com p=6 elementos, quantas placas podem ser formadas?<\/p><p>Como n&atilde;o h&aacute; repeti&ccedil;&atilde;o de valores em n, a f&oacute;rmula ser&aacute;:&nbsp;<\/p><p class=\"has-text-align-center\">A<sup>p<\/sup><sub>n<\/sub>= n! \/ (n-p)!<br>A<sup>6<\/sup><sub>10<\/sub>= 10! \/ (10-6)!<br>A<sup>6<\/sup><sub>10<\/sub>= 10! \/ 4!&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<\/p><p>Grande parte das vezes, o Enem fornece alternativas em formato de fra&ccedil;&otilde;es para suas quest&otilde;es, o que facilita as contas no momento da prova.<\/p><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-diferenca-entre-combinacao-e-arranjo\">Diferen&ccedil;a entre Combina&ccedil;&atilde;o e Arranjo<\/h3><p>Como citado anteriormente, a combina&ccedil;&atilde;o n&atilde;o considera a ordem dos elementos, enquanto o arranjo carrega isso em sua ess&ecirc;ncia.<\/p><p>A combina&ccedil;&atilde;o aparece na forma&ccedil;&atilde;o de uma equipe executiva, quando escolher Ana, Mariana e Paula representam o mesmo grupo que Paula, Ana e Mariana. O arranjo, por outro lado, aparece na determina&ccedil;&atilde;o de um n&uacute;mero de telefone, quando 99999919 &eacute; diferente de 99999991.&nbsp;<\/p><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-permutacao\">Permuta&ccedil;&atilde;o<\/h3><p>O m&eacute;todo de contagem permuta&ccedil;&atilde;o &eacute; utilizado para encontrar as poss&iacute;veis formas de se arranjar um conjunto, dentro dele mesmo. Assim, nesse caso, a ordem importa e &eacute; o principal fator de diferencia&ccedil;&atilde;o entre os grupos. A f&oacute;rmula de c&aacute;lculo &eacute;:<\/p><p class=\"has-text-align-center\"><strong>P<\/strong><strong><sub>n<\/sub><\/strong><strong>=n!<\/strong><\/p><p>Em que n=n&uacute;mero de elementos do conjunto.&nbsp;<\/p><p>Por exemplo, para determinar de quantas maneiras diferentes as letras da palavra ESTUDO podem ser agrupadas (anagrama), utiliza-se a permuta&ccedil;&atilde;o:<\/p><p class=\"has-text-align-center\"><strong>P<\/strong><strong><sub>6<\/sub><\/strong><strong>=6!<\/strong><\/p><p>Isso porque a palavra estudo tem 6 letras e cada invers&atilde;o indica um novo subconjunto. Ou seja, ESTUDO &eacute; diferente de ETUDOS e ambos ser&atilde;o contabilizados duas vezes.<\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-questoes-sobre-analise-combinatoria-no-enem\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Questoes-sobre-Analise-Combinatoria-no-Enem\"><\/span>Quest&otilde;es sobre An&aacute;lise Combinat&oacute;ria no Enem<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>Agora que voc&ecirc; j&aacute; compreende os principais t&oacute;picos e f&oacute;rmulas sobre an&aacute;lise combinat&oacute;ria, teste seus conhecimentos com uma quest&atilde;o do Enem, selecionada e resolvida pelo Estrat&eacute;gia.&nbsp;<\/p><p>ENEM PPL 2009<\/p><p>Perfumista &eacute; o profissional que desenvolve novas ess&ecirc;ncias para a ind&uacute;stria de cosm&eacute;ticos. Considere que um perfumista constatou que a combina&ccedil;&atilde;o de quaisquer tr&ecirc;s extratos entre os de Andiroba, Cupua&ccedil;u, Pitanga e Buriti produzem fragr&acirc;ncias especiais para a fabrica&ccedil;&atilde;o de perfumes.<\/p><p>Simbolizando-se a ess&ecirc;ncia de Andiroba por A, a de Buriti por B, a de Cupua&ccedil;u por C e a de Pitanga por P, quais s&atilde;o as poss&iacute;veis combina&ccedil;&otilde;es dessas ess&ecirc;ncias para a fabrica&ccedil;&atilde;o de perfumes, constatadas pelo perfumista?<\/p><p>a) ABC, BCP&nbsp;<br>b) ACB, BCP, PCA&nbsp;<br>c) ABC, BCP, CBP&nbsp;<br>d) ABC, ABP, ACP, BCP&nbsp;<br>e) ACB, BAP, CPA, PAB&nbsp;<\/p><p>Conforme o enunciado, a constru&ccedil;&atilde;o do perfume requer a escolha de 3 aromas dentre os 4 poss&iacute;veis. Note que a combina&ccedil;&atilde;o das fragr&acirc;ncias n&atilde;o requer uma ordem espec&iacute;fica. Assim, a fragr&acirc;ncia ABC (andiroba, buriti, cupua&ccedil;u) &eacute; a mesma que BCA (buriti, cupua&ccedil;u, andiroba). Por isso, a f&oacute;rmula escolhida deve <strong>desconsiderar a ordem de escolha.<\/strong><\/p><p>Com base nas possibilidades de c&aacute;lculos, pode-se escolher a <strong>combina&ccedil;&atilde;o. <\/strong>Por meio dela, os elementos s&atilde;o agrupados sem relev&acirc;ncia da ordem escolhida.&nbsp;<\/p><p>A combina&ccedil;&atilde;o das 4 fragr&acirc;ncias selecionadas de 3 em 3 &eacute; dada por:<\/p><p class=\"has-text-align-center\">Combina&ccedil;&atilde;o <sub>(n,k)<\/sub>= n! \/ k!&nbsp;<br>C <sub>(4,3)<\/sub>= 4! \/ 3!&nbsp;<br>C<sub>(4,3)<\/sub>= 4.3.2.1 \/ 3.2.1&nbsp;<br><strong>C<sub>(4,3)<\/sub>= 4<\/strong><\/p><p>Agora voc&ecirc; j&aacute; possui o n&uacute;mero de perfumes diferentes que o perfumista pode formar. Com isso, est&atilde;o eliminadas as alternativas A, B e C, pois n&atilde;o cont&ecirc;m 4 elementos.&nbsp;<\/p><p>Na op&ccedil;&atilde;o E, por sua vez, a segunda e terceira mistura s&atilde;o iguais (BAP=PAB). Por fim, Para entender a forma&ccedil;&atilde;o dos grupamentos, veja o esquema abaixo:<\/p><p>A &rarr; B e C&nbsp; =&nbsp; <strong>ABC<\/strong> = ACB<strong> <\/strong>= BCA = BAC = CAB = CBA<br>B&nbsp; &rarr; A e P =&nbsp; <strong>ABP <\/strong>= BPA = APB = BAP&nbsp; = PAB = PBA<br>C&nbsp; &rarr; A e P = <strong>ACP <\/strong>= CAP = CPA = APC = PAC = PCA<br>P&nbsp; &rarr; B e C = <strong>BCP <\/strong>= PCB = CPB = CBP = PBC&nbsp; = BPC<\/p><p>Perceba que a sequ&ecirc;ncia de letras poderia ser diferente, qualquer uma das citadas nas igualdades. Ainda assim, a alternativa D representa todas as combina&ccedil;&otilde;es em negrito &mdash; <strong>a resposta &eacute; a letra D.<\/strong><\/p><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-conquiste-sua-aprovacao-com-o-estrategia-vestibulares\">Conquiste sua aprova&ccedil;&atilde;o com o Estrat&eacute;gia Vestibulares!<\/h3><p>Tem dificuldade com matem&aacute;tica para o Enem? O Estrat&eacute;gia Vestibulares pode te ajudar! Com nosso time de professores capacitados para o ensino preparat&oacute;rio, voc&ecirc; ter&aacute; acesso a aulas in&eacute;ditas, interativas e com excelente conte&uacute;do did&aacute;tico! 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Matem&aacute;ticas<\/a>&nbsp;<\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/regra-de-tres\/\">Regra de tr&ecirc;s simples e composta: veja como calcular<\/a>&nbsp;<\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/como-calcular-porcentagem\/\">Como calcular porcentagem?<\/a><\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/binomio-de-newton\/\">Bin&ocirc;mio de Newton: o que &eacute;, como calcular e usos<\/a><\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/probabilidade-no-enem\/\">Probabilidade no Enem: conceitos e mais<\/a><\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/progressao-aritmetica\/\">Progress&atilde;o aritm&eacute;tica: o que &eacute;, f&oacute;rmulas, usos e exemplos<\/a>&nbsp;<\/li>\n\n\n\n<li><a 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