{"id":60967,"date":"2022-01-12T12:47:43","date_gmt":"2022-01-12T15:47:43","guid":{"rendered":"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/?p=60967"},"modified":"2024-02-21T16:00:02","modified_gmt":"2024-02-21T19:00:02","slug":"circulo-e-circunferencia","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/circulo-e-circunferencia\/","title":{"rendered":"C\u00edrculo e circunfer\u00eancia: conceitos e exerc\u00edcios"},"content":{"rendered":"<p>Voc&ecirc; j&aacute; deve ter se deparado com as palavras c&iacute;rculo e circunfer&ecirc;ncia como sin&ocirc;nimos no dia a dia. Acontece que, matematicamente, os conceitos que esses termos representam n&atilde;o s&atilde;o os mesmos.&nbsp;<p>No artigo a seguir, voc&ecirc; ver&aacute; um panorama e diferencia&ccedil;&atilde;o entre as duas defini&ccedil;&otilde;es. Al&eacute;m disso, confira como eles aparecem nos vestibulares, com exerc&iacute;cios e resolu&ccedil;&otilde;es. Leia agora!<\/p><div id=\"ez-toc-container\" class=\"ez-toc-v2_0_76 counter-hierarchy ez-toc-counter ez-toc-transparent ez-toc-container-direction\">\n<div class=\"ez-toc-title-container\"><p class=\"ez-toc-title\" style=\"cursor:inherit\">Navegue pelo conte\u00fado<\/p>\n<\/div><nav><ul class='ez-toc-list ez-toc-list-level-1 ' ><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-1\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/circulo-e-circunferencia\/#O-que-e-circunferencia\" >O que &eacute; circunfer&ecirc;ncia?<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-2\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/circulo-e-circunferencia\/#O-que-e-circulo\" >O que &eacute; c&iacute;rculo?<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-3\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/circulo-e-circunferencia\/#Quer-aprender-mais-de-circulo-e-circunferencia\" >Quer aprender mais de c&iacute;rculo e circunfer&ecirc;ncia?<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-4\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/circulo-e-circunferencia\/#Veja-tambem\" >Veja tamb&eacute;m:<\/a><\/li><\/ul><\/nav><\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-o-que-e-circunferencia\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"O-que-e-circunferencia\"><\/span>O que &eacute; circunfer&ecirc;ncia?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>A circunfer&ecirc;ncia &eacute; um <strong>conjunto de pontos que possuem a mesma dist&acirc;ncia de um ponto principal<\/strong>. Por exemplo, se imaginarmos um ponto E qualquer e definirmos r como um raio, pode-se dizer que todos os pontos V que est&atilde;o a r cent&iacute;metros de E fazem parte da circunfer&ecirc;ncia.&nbsp;<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"404\" height=\"387\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/image.png\" alt=\"circunfer&ecirc;ncia\" class=\"wp-image-60969\"><\/figure><\/div><p>Veja que interessante: embora a forma&ccedil;&atilde;o circunferencial esteja centrada no ponto central E, ele n&atilde;o faz parte da circunfer&ecirc;ncia &mdash; ela est&aacute; limitada aos diversos pontos que formam a &ldquo;roda&rdquo;, mas o seu centro n&atilde;o est&aacute; incluso na defini&ccedil;&atilde;o. Curioso, n&atilde;o?!<\/p><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-circunferencia-na-geometria-plana\">Circunfer&ecirc;ncia na geometria plana<\/h3><p>Na <a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/geometria-plana-no-enem\/\">geometria plana<\/a>, conhecer o comprimento de uma circunfer&ecirc;ncia pode ser determinante para situa&ccedil;&otilde;es do dia-a-dia, veja: quando mede-se a circunfer&ecirc;ncia de um pneu, entende-se quantos cent&iacute;metros a roda anda em cada volta completa.<\/p><p>Na planifica&ccedil;&atilde;o, a medida pode ser ilustrada como tra&ccedil;ar o <strong>contorno <\/strong>circunferencial com um peda&ccedil;o de barbante, depois abr&iacute;-lo e medir seu comprimento. Com os estudos matem&aacute;ticos, entendeu-se que esse processo seria equivalente a realizar o c&aacute;lculo:<\/p><p><strong>Circunfer&ecirc;ncia = C = 2.?.r&nbsp;<\/strong><\/p><p>Al&eacute;m disso, &eacute; importante saber que geometria plana considera que o segmento de reta que cruza o centro da circunfer&ecirc;ncia &eacute; chamado de di&acirc;metro e mede exatamente o valor de dois raios: <strong>di&acirc;metro = 2.r<\/strong><\/p><p>Na quest&atilde;o abaixo, que apareceu na prova do Enem em 2014, esses conceitos s&atilde;o explorados, acompanhe a resolu&ccedil;&atilde;o!<\/p><p>Uma empresa que organiza eventos de formatura confecciona canudos de diplomas a partir de folhas de papel quadradas. Para que todos os canudos fiquem id&ecirc;nticos, cada folha &eacute; enrolada em torno de um cilindro de madeira de di&acirc;metro d em cent&iacute;metros, sem folga, dando-se 5 voltas completas em torno de tal cilindro. Ao final, amarra-se um cord&atilde;o no meio do diploma, bem ajustado, para que n&atilde;o ocorra o desenrolamento, como ilustrado na figura:<\/p><figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh3.googleusercontent.com\/fvK19VHpOrNy4X-kuDQ3GbrvDRI1lmgAI69zpfxhwQqSkGuvRjnw6SNPZ9IU5sYtecOQQo2Pt2QNBKKyDVa3PVk7fLVPrkrdxwUL0iC71iOrbhd0ECoB1DUPg3rWUONPgUbjGLbg\" alt=\"\"><\/figure><p>Em seguida, retira-se o cilindro de madeira do meio do papel enrolado, finalizando a confec&ccedil;&atilde;o do diploma. Considere que a espessura da folha de papel original seja desprez&iacute;vel.<\/p><p>Qual &eacute; a medida, em cent&iacute;metros, do lado da folha de papel usado na confec&ccedil;&atilde;o do diploma?<\/p><p>a) &pi; d<br>b) 2&pi; d<br>c) 4&pi; d<br>d) 5&pi; d<br>e) 10&pi; d<\/p><p>Primeiro, precisamos ter em mente que a f&oacute;rmula da circunfer&ecirc;ncia &eacute; C = 2.?.r = 2.r.? e que o di&acirc;metro d=2.r. Portanto, podemos explorar os c&aacute;lculos com:<\/p><p><strong>C = d.?<\/strong><\/p><p>Depois, &eacute; necess&aacute;rio observar que o papel, para dar exatas 5 voltas em torno do cilindro, deve possuir 5 vezes a circunfer&ecirc;ncia desse s&oacute;lido geom&eacute;trico, assim:<\/p><p>Comprimento do papel = 5.C<\/p><p><strong>Comprimento do papel = 5.d.? , <\/strong>conforme <strong>alternativa D.<\/strong><\/p><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-circunferencia-na-geometria-analitica\">Circunfer&ecirc;ncia na geometria anal&iacute;tica<\/h3><p>Nas nota&ccedil;&otilde;es alg&eacute;bricas, pode-se dizer que: seja V um ponto gen&eacute;rico da circunfer&ecirc;ncia e E o seu centro:<\/p><p>dist&acirc;ncia entre E e V = d<sub>EV<\/sub> = r<\/p><p>Considera-se que a dist&acirc;ncia entre dois pontos, na <a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/geometria-analitica\/\" target=\"_blank\">geometria anal&iacute;tica<\/a>, &eacute; dada pela f&oacute;rmula:&nbsp;<\/p><p>d<sub>AB<\/sub>&sup2; = (x<sub>B<\/sub> &ndash; x<sub>A<\/sub>)&sup2; + (y<sub>B<\/sub> &ndash; y<sub>A<\/sub>)&sup2;<\/p><p>Podemos manipular os dois sistemas e conseguir uma f&oacute;rmula anal&iacute;tica para a circunfer&ecirc;ncia:<\/p><p>d<sup>2<\/sup><sub>EV <\/sub>= r<sup>2<\/sup><\/p><p>r<sup>2 <\/sup>= (x<sub>E <\/sub>&ndash; x<sub>V<\/sub>)&sup2; + (y<sub>E<\/sub> &ndash; y<sub>V<\/sub>)&sup2;<\/p><p>Em termos gen&eacute;ricos, uma circunfer&ecirc;ncia de centro C (a,b) obedecer&aacute; a regra:<\/p><p><strong>(a &ndash; x)<\/strong><strong><sup>2 <\/sup><\/strong><strong>+ (b &ndash; y)<\/strong><strong><sup>2<\/sup><\/strong><strong> = r<\/strong><strong><sup>2<\/sup><\/strong><\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-o-que-e-circulo\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"O-que-e-circulo\"><\/span>O que &eacute; c&iacute;rculo?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>Agora que voc&ecirc; j&aacute; conhece a defini&ccedil;&atilde;o de circunfer&ecirc;ncia, podemos partir para o conceito de c&iacute;rculo. Ele &eacute; composto pelos pontos que determinam a circunfer&ecirc;ncia e, adicionalmente, tamb&eacute;m cont&eacute;m os pontos internos que est&atilde;o delimitados por aquela linha.<\/p><p>Ou seja, <strong>o c&iacute;rculo &eacute; toda a &aacute;rea interna de uma circunfer&ecirc;ncia<\/strong>. No cotidiano, ele aparece de diferentes formas: &eacute; a base do cilindro e do cone, comp&otilde;e logotipos, faz parte da alfabetiza&ccedil;&atilde;o infantil, entre outros exemplos.<\/p><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-circulo-na-geometria-plana\">C&iacute;rculo na geometria plana<\/h3><p>Na <a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/geometria\/\" target=\"_blank\">geometria<\/a> plana, a principal caracter&iacute;stica do c&iacute;rculo &eacute; a <strong>&aacute;rea<\/strong>, que ser&aacute; dada com base no <a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/numero-pi\/\" target=\"_blank\">n&uacute;mero irracional pi<\/a> e no raio da circunfer&ecirc;ncia, como demonstra a f&oacute;rmula a seguir:<\/p><p><strong>A<\/strong><strong><sub>c&iacute;rculo<\/sub><\/strong><strong> = <\/strong>?<strong> . r<\/strong><strong><sup>2<\/sup><\/strong><\/p><p>No vestibular da UNEMAT, caiu uma quest&atilde;o sobre a &aacute;rea do c&iacute;rculo, siga o desenvolvimento do racioc&iacute;nio:<\/p><p>UNEMAT 2012<\/p><p>Se o raio de um c&iacute;rculo aumenta 20%, ent&atilde;o a sua &aacute;rea aumentar&aacute;<\/p><p>a) 0%.<br>b) 10%.<br>c) 20%.<br>d) 40%.<br>e) 44%.<\/p><p>Vamos considerar que a &aacute;rea inicial do c&iacute;rculo seja <strong>A = <\/strong>?<strong> . r<\/strong><strong><sup>2<\/sup><\/strong>.<strong>&nbsp;<\/strong><\/p><p>A partir disso, aumentamos em 20% do valor do raio, que passar&aacute; a ser 1,2.r, ou seja:<\/p><p><strong>A&rsquo;= <\/strong>?<strong> . (1,2.r)<\/strong><strong><sup>2<\/sup><\/strong><\/p><p>Com isso, realizam-se os novos c&aacute;lculos e percebe-se que:<\/p><p><strong>A&rsquo;= <\/strong>?<strong> . 1,44. r<\/strong><strong><sup>2<\/sup><\/strong><\/p><p>Nota-se, ent&atilde;o que, A&rsquo; = 1,44.A. De forma que houve um aumento de 44% na &aacute;rea total do c&iacute;rculo, como aponta a <strong>alternativa E<\/strong>.<\/p><p>+ Veja tamb&eacute;m: <a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/como-calcular-porcentagem\/\" target=\"_blank\">Como calcular porcentagem?<\/a><\/p><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-circulo-na-geometria-analitica\">C&iacute;rculo na geometria anal&iacute;tica<\/h3><p>Na geometria anal&iacute;tica, por sua vez, as <strong><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/inequacoes\/\" target=\"_blank\">inequa&ccedil;&otilde;es<\/a> <\/strong>s&atilde;o utilizadas para determinar os pontos que est&atilde;o inclusos no formato circular e aqueles que n&atilde;o se inserem na figura. Veja:<\/p><ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Quando um ponto possui <strong>dist&acirc;ncia do centro maior do que o valor do raio<\/strong>, ele est&aacute; fora da delimita&ccedil;&atilde;o circunferencial e n&atilde;o faz parte do c&iacute;rculo; ou<\/li>\n\n\n\n<li>Se um ponto est&aacute; distante do centro em uma medida <strong>menor do que o raio<\/strong>, ent&atilde;o ele est&aacute; incluso no c&iacute;rculo determinado pela circunfer&ecirc;ncia gen&eacute;rica C.&nbsp;<\/li>\n<\/ul><p>Em termos alg&eacute;bricos, para que um ponto esteja presente no c&iacute;rculo, deve obedecer a seguinte equa&ccedil;&atilde;o:<\/p><p>d<sub>EV<\/sub> &le; r<br>&radic;[(a &ndash; x)<sup>2<\/sup> + (b &ndash; y)<sup>2<\/sup>] &le; r<\/p><p><strong>(a &ndash; x)<\/strong><strong><sup>2<\/sup><\/strong><strong> + (b &ndash; y)<\/strong><strong><sup>2<\/sup><\/strong><strong> &le; r<\/strong><strong><sup>2<\/sup><\/strong><\/p><p>Para um dado c&iacute;rculo de centro E (a,b) e um ponto gen&eacute;rico V(x,y).<\/p><p>Observe, na imagem abaixo, que o ponto A tem uma dist&acirc;ncia do centro muito maior que o valor do raio, por isso ele n&atilde;o se enquadraria na inequa&ccedil;&atilde;o <strong>(a &ndash; x)<\/strong><strong><sup>2<\/sup><\/strong><strong> + (b &ndash; y)<\/strong><strong><sup>2<\/sup><\/strong><strong> &le; r<\/strong><strong><sup>2<\/sup><\/strong>.<\/p><p>Por outro lado, o ponto D, como est&aacute; representado, encontra-se em uma dist&acirc;ncia do centro menor do que o raio e, portanto, se encaixa nas defini&ccedil;&otilde;es alg&eacute;bricas e gr&aacute;ficas da inequa&ccedil;&atilde;o.<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"381\" height=\"309\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/image-1.png\" alt=\"c&iacute;rculo e circunfer&ecirc;ncia\" class=\"wp-image-60970\"><\/figure><\/div><p>+ Veja tamb&eacute;m: <a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/geometria-espacial\/\" target=\"_blank\">Geometria Espacial: conhe&ccedil;a os s&oacute;lidos e f&oacute;rmulas<\/a><\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-quer-aprender-mais-de-circulo-e-circunferencia\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Quer-aprender-mais-de-circulo-e-circunferencia\"><\/span>Quer aprender mais de c&iacute;rculo e circunfer&ecirc;ncia?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>Voc&ecirc; precisa encontrar mais informa&ccedil;&otilde;es sobre geometria plana e anal&iacute;tica? Acompanhe o <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/c\/Estrat%C3%A9giaVestibulares\/playlists\" target=\"_blank\">canal <\/a>do Estrat&eacute;gia Vestibulares: diversas aulas gratuitas e did&aacute;ticas s&atilde;o disponibilizadas frequentemente na plataforma, voc&ecirc; n&atilde;o vai se arrepender!<\/p><figure class=\"wp-block-embed is-type-video is-provider-youtube wp-block-embed-youtube wp-embed-aspect-16-9 wp-has-aspect-ratio\"><div class=\"wp-block-embed__wrapper\">\n<div class=\"cs-embed cs-embed-responsive\"><iframe title=\"C&iacute;rculo Matem&aacute;tico 01 - Prof&ordm; Mar&ccedil;al.\" width=\"1200\" height=\"675\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/RdhyeHBE4h8?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" allowfullscreen><\/iframe><\/div>\n<\/div><\/figure><p>Conhe&ccedil;a tamb&eacute;m o Curso Preparat&oacute;rio para o Enem: com ele voc&ecirc; tem acesso aulas em v&iacute;deo, um vasto material em PDF e a milhares de quest&otilde;es de vestibulares, com resolu&ccedil;&atilde;o comentada e classifica&ccedil;&atilde;o por provas. 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href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/geometria-plana-no-enem\/\">Geometria Plana no Enem: conceito e defini&ccedil;&otilde;es<\/a><\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/triangulos\/\">Tri&acirc;ngulos: defini&ccedil;&atilde;o, per&iacute;metro, &aacute;rea, classifica&ccedil;&otilde;es<\/a><\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/semelhanca-de-triangulos\/\">Semelhan&ccedil;a de tri&acirc;ngulos<\/a><\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/geometria-analitica\/\">Geometria anal&iacute;tica: f&oacute;rmulas, gr&aacute;ficos e equa&ccedil;&otilde;es<\/a>&nbsp;<\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/geometria-espacial\/\">Geometria Espacial: conhe&ccedil;a os s&oacute;lidos e f&oacute;rmulas<\/a>&nbsp;<\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/area-do-trapezio\/\">&Aacute;rea do trap&eacute;zio: conhe&ccedil;a a f&oacute;rmula e como calcular!<\/a>&nbsp;<\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/prova-fuvest-2020-matematica\/\">Prova FUVEST 2020 &ndash; Matem&aacute;tica &ndash; Resolu&ccedil;&atilde;o Comentada<\/a><\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/prova-matematica-2-fase-unicamp-2020\/\">Resolu&ccedil;&atilde;o da prova de Matem&aacute;tica da 2&ordf; Fase da Unicamp 2020<\/a>&nbsp;<\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/prova-unesp-2020-matematica\/\">Prova UNESP 2020 &ndash; Matem&aacute;tica &ndash; Resolu&ccedil;&atilde;o Comentada<\/a><\/li>\n<\/ul><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"Voc&ecirc; j&aacute; deve ter se deparado com as palavras c&iacute;rculo e circunfer&ecirc;ncia como 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