{"id":62151,"date":"2022-01-28T17:00:00","date_gmt":"2022-01-28T20:00:00","guid":{"rendered":"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/?p=62151"},"modified":"2024-02-28T15:45:10","modified_gmt":"2024-02-28T18:45:10","slug":"binomio-de-newton","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/binomio-de-newton\/","title":{"rendered":"Bin\u00f4mio de Newton: o que \u00e9, como calcular e usos"},"content":{"rendered":"<p>O f&iacute;sico e matem&aacute;tico Isaac Newton, ao analisar <a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/polinomios\/\" target=\"_blank\">polin&ocirc;mios<\/a> elevados a uma pot&ecirc;ncia qualquer, percebeu alguns padr&otilde;es num&eacute;ricos, formulando o &ldquo;bin&ocirc;mio de Newton&rdquo; com base na descoberta, uma f&oacute;rmula que facilita a fatora&ccedil;&atilde;o de express&otilde;es matem&aacute;ticas.<p>Quer saber mais sobre esse assunto? Acompanhe o artigo a seguir e veja como esses c&aacute;lculos est&atilde;o envolvidos no tri&acirc;ngulo de pascal, fatora&ccedil;&atilde;o de express&otilde;es, al&eacute;m de entender a aplica&ccedil;&atilde;o do tema nas provas de vestibulares.<\/p><div id=\"ez-toc-container\" class=\"ez-toc-v2_0_76 counter-hierarchy ez-toc-counter ez-toc-transparent ez-toc-container-direction\">\n<div class=\"ez-toc-title-container\"><p class=\"ez-toc-title\" style=\"cursor:inherit\">Navegue pelo conte\u00fado<\/p>\n<\/div><nav><ul class='ez-toc-list ez-toc-list-level-1 ' ><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-1\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/binomio-de-newton\/#O-que-e-binomio\" >O que &eacute; bin&ocirc;mio?<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-2\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/binomio-de-newton\/#Estudo-dos-binomios-simples\" >Estudo dos bin&ocirc;mios simples<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-3\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/binomio-de-newton\/#Expansao-binomial\" >Expans&atilde;o binomial<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-4\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/binomio-de-newton\/#Exercicios-sobre-binomio-de-Newton\" >Exerc&iacute;cios sobre bin&ocirc;mio de Newton<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-5\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/binomio-de-newton\/#Aprofunde-seu-conhecimento-de-binomio-de-Newton-com-a-Coruja\" >Aprofunde seu conhecimento de bin&ocirc;mio de Newton com a Coruja!<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-6\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/binomio-de-newton\/#Veja-tambem\" >Veja tamb&eacute;m:<\/a><\/li><\/ul><\/nav><\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-o-que-e-binomio\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"O-que-e-binomio\"><\/span>O que &eacute; bin&ocirc;mio?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>Dentro da matem&aacute;tica, bin&ocirc;mios s&atilde;o express&otilde;es que possuem dois <strong>termos. <\/strong>Um termo &eacute; a por&ccedil;&atilde;o que possui um coeficiente num&eacute;rico e inc&oacute;gnitas, representadas por letras &mdash; para que seja considerado um termo, somente multiplica&ccedil;&otilde;es podem ocorrer entre os algarismos e letras, como em:<\/p><ul class=\"wp-block-list\">\n<li>a.b<\/li>\n\n\n\n<li>2.x.y<\/li>\n\n\n\n<li>4.x<\/li>\n<\/ul><p>Com essa classifica&ccedil;&atilde;o em mente, os matem&aacute;ticos definiram que os termos que possuem um s&oacute; termo s&atilde;o chamados de <strong>mon&ocirc;mios<\/strong>. E, por fim, equa&ccedil;&otilde;es com dois termos, relacionados por opera&ccedil;&otilde;es de soma e subtra&ccedil;&atilde;o s&atilde;o denominados de <strong>bin&ocirc;mios<\/strong>.<\/p><p>Como sequ&ecirc;ncia, express&otilde;es de tr&ecirc;s termos s&atilde;o os <strong>trin&ocirc;mios<\/strong> e, quando o n&uacute;mero de termos &eacute; maior ou igual a quatro, encontramos os chamados <strong>polin&ocirc;mios<\/strong>.<\/p><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-o-conceito-de-binomio-de-newton\">O conceito de bin&ocirc;mio de Newton<\/h3><p>Isaac Newton (o mesmo que formulou as <a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/fisica\/leis-de-newton\/\" target=\"_blank\">leis f&iacute;sicas de Newton<\/a>), ao estudar os bin&ocirc;mios percebeu padr&otilde;es quanto a forma de elevar essas express&otilde;es a en&eacute;sima pot&ecirc;ncia n, em que n pertence ao conjunto dos n&uacute;meros naturais.&nbsp;<\/p><p>Por meio das regularidades encontradas, o estudiosos criou f&oacute;rmulas que permitem &ldquo;destrinchar&rdquo; a potencia&ccedil;&atilde;o de um bin&ocirc;mio, alcan&ccedil;ando um <a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/polinomios\/\" target=\"_blank\">polin&ocirc;mio <\/a>equivalente.<\/p><p>Esse conhecimento &eacute; de grande import&acirc;ncia pois aparece nos chamados <a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/produtos-notaveis\/\" target=\"_blank\">produtos not&aacute;veis<\/a> da matem&aacute;tica, no tri&acirc;ngulo de Pascal, na an&aacute;lise combinat&oacute;ria e nos estudos estat&iacute;sticos &mdash; contribuindo para&nbsp; formula&ccedil;&atilde;o de artigos cient&iacute;ficos e dados comprov&aacute;veis.<\/p><p>+ Veja tamb&eacute;m: <a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/vestibulares\/assuntos-de-matematica-que-mais-caem-no-enem\/\" target=\"_blank\">9 Assuntos de Matem&aacute;tica que mais caem no Enem<\/a><\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-estudo-dos-binomios-simples\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Estudo-dos-binomios-simples\"><\/span>Estudo dos bin&ocirc;mios simples<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>Quando pensamos em n&uacute;meros &ldquo;pequenos&rdquo; como n=1, n=2 ou n=3, a fatora&ccedil;&atilde;o binomial pode se mostrar muito simples.&nbsp;<\/p><p>Sabemos, conforme os princ&iacute;pios da potencia&ccedil;&atilde;o, que elevar um n&uacute;mero a 1, por exemplo, &eacute; o equivalente a ele mesmo, de forma que:<\/p><p>(a+b)<sup>1<\/sup> = a + b<\/p><p>Seguindo esse princ&iacute;pio, a pot&ecirc;ncia de 2 (quadrada) representa a multiplica&ccedil;&atilde;o de um n&uacute;mero por ele mesmo. No caso dos bin&ocirc;mios:<\/p><p>(a+b)<sup>2<\/sup> = (a+b).(a+b)<\/p><p>Com a propriedade distributiva &mdash; quando cada termo de uma express&atilde;o &eacute; multiplicado por todos os termos da outra &mdash; podemos fatorar:<\/p><p>(a+b)<sup>2<\/sup> = a.a + a.b + b.a + b.b&nbsp;<br>(a+b)<sup>2<\/sup> = a<sup>2<\/sup> + 2.a.b + b<sup>2<\/sup><\/p><p>O c&aacute;lculo acima demonstrado &eacute; o primeiro dos produtos not&aacute;veis e, como instrumento para decorar, utiliza-se a frase &ldquo;o primeiro ao quadrado, mais duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o segundo ao quadrado&rdquo;. J&aacute; ouviu esse jarg&atilde;o?!<\/p><p>Prosseguindo, um bin&ocirc;mio elevado ao cubo (terceira pot&ecirc;ncia) &eacute; o mesmo que ele multiplicado por ele mesmo e por ele mesmo, de novo, como mostra a equa&ccedil;&atilde;o:<\/p><p>(a+b)<sup>3<\/sup> = (a+b).(a+b).(a+b)<\/p><p>Com a mesma ideia da fatora&ccedil;&atilde;o distributiva, podemos proceder da seguinte forma:<\/p><p>(a+b)<sup>3<\/sup> = (a+b)<sup>2<\/sup>.(a+b)<br>(a+b)<sup>3<\/sup> = (a<sup>2<\/sup> + 2.a.b + b<sup>2<\/sup>).(a+b)<br>(a+b)<sup>3<\/sup> = a<sup>2<\/sup>.a + a<sup>2<\/sup>.b + 2.a.b.a + 2.a.b.b + b<sup>2<\/sup>a + b<sup>2<\/sup>.b<br>(a+b)<sup>3<\/sup> = a<sup>3<\/sup> + a<sup>2<\/sup>.b + 2.a<sup>2<\/sup>.b + 2.a.b<sup>2<\/sup> + b<sup>2<\/sup>a + b<sup>3<\/sup><\/p><p><strong>(a+b)<\/strong><strong><sup>3<\/sup><\/strong><strong> = a<\/strong><strong><sup>3<\/sup><\/strong><strong> + 3.a<\/strong><strong><sup>2<\/sup><\/strong><strong>.b + 3.a.b<\/strong><strong><sup>2<\/sup><\/strong><strong> + b<\/strong><strong><sup>3<\/sup><\/strong><\/p><p>Perceba, com os processos feitos at&eacute; aqui, como as etapas come&ccedil;am a ficar complexas, longas e demandam muito tempo e aten&ccedil;&atilde;o do efetuador. Nesse sentido, o bin&ocirc;mio de Newton aparece como solu&ccedil;&atilde;o.<\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-expansao-binomial\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Expansao-binomial\"><\/span>Expans&atilde;o binomial<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>Ao observar as fatora&ccedil;&otilde;es dos bin&ocirc;mios elevados &agrave; en&eacute;sima pot&ecirc;ncia, Newton percebeu um padr&atilde;o nos coeficientes de cada um dos termos. Al&eacute;m disso, o matem&aacute;tico percebeu a rela&ccedil;&atilde;o entre essas regularidades e <a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/analise-combinatoria-enem\/\" target=\"_blank\">an&aacute;lise combinat&oacute;ria<\/a>. Veja:<\/p><p>(a+b)<sup>0<\/sup> = 1<br>(a+b)<sup>1<\/sup> = a + b<br>(a+b)<sup>2<\/sup> = a<sup>2<\/sup> + 2.a.b + b<sup>2<\/sup><br>(a+b)<sup>3<\/sup> = a<sup>3<\/sup> + 3.a<sup>2<\/sup>.b + 3.a.b<sup>2<\/sup> + b<sup>3<\/sup><br>(a+b)<sup>4<\/sup> = a<sup>4<\/sup> + 4.a<sup>3<\/sup>.b + 6.a<sup>2<\/sup>.b<sup>2<\/sup> + 4.a.b<sup>3<\/sup> + b<sup>4<\/sup><\/p><p>Observe como os expoentes da inc&oacute;gnita a diminuem com o desenvolver da equa&ccedil;&atilde;o, ao mesmo tempo em que o expoente de b aumenta proporcionalmente:<\/p><p>(a+b)<sup>4<\/sup> = a<sup>4<\/sup>.b<sup>0 <\/sup>+ 4.a<sup>3<\/sup>.b<sup>1<\/sup> + 6.a<sup>2<\/sup>.b<sup>2<\/sup> + 4.a<sup>1<\/sup>.b<sup>3<\/sup> + b<sup>4<\/sup>.a<sup>0<\/sup><\/p><p>Com base nesse racioc&iacute;nio, foi criada uma f&oacute;rmula que utiliza a f&oacute;rmula da combina&ccedil;&atilde;o simples, onde C<sub>n,p<\/sub> = n! \/ (n-p)!.p!&nbsp;<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh6.googleusercontent.com\/h1ioRwl0i5MPRHT_FySqk6nUIrgjqQTmLgcC53Nal-QsmkaJO26WuO3ZJjgydvJciCAE2y0eK-ijRRAqQlVV03s6cmIlazngBWDiJN6EAo3B45rQhSSocWzvHPAodLnOt3DbMdkv\" alt=\"bin&ocirc;mio de newton f&oacute;rmula\"><\/figure><\/div><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-triangulo-de-pascal-nbsp\">Tri&acirc;ngulo de Pascal&nbsp;<\/h3><p>Com base nessa f&oacute;rmula, foi constru&iacute;do padr&atilde;o geom&eacute;trico chamado de tri&acirc;ngulo de pascal. Ele constru&iacute;do com sendo o primeiro e &uacute;ltimo termo de cada linha e preenchido pela soma entre os dois termos acima do valor, acompanhe:<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh3.googleusercontent.com\/0RO97p7oASKC96Cr25CtgoxbMhoGYK9CNO2qUzWThUL6QU14PADHufGNlPJPWJlIG8X1H9aXM8xAHxEa84mFXiZzXvGaYsN8CgqASeK5t8pqUlXyqOelXkkNexqMh_pJiG3NDOuH\" alt=\"tri&acirc;ngulo de pascal e bin&ocirc;mio de newton\"><\/figure><\/div><p>A primeira linha &eacute; chamada de linha 0, n&uacute;mero que representa o expoente das inc&oacute;gnitas no bin&ocirc;mio. A segunda linha &eacute; a 1, e representa os expoentes das inc&oacute;gnitas em um bin&ocirc;mio elevado &agrave; primeira pot&ecirc;ncia.&nbsp;<\/p><p>Como voc&ecirc; pode observar, a quarta linha est&aacute; na terceira pot&ecirc;ncia e representa a fatora&ccedil;&atilde;o do bin&ocirc;mio (a + b)<sup>3<\/sup>.<\/p><figure class=\"wp-block-embed is-type-video is-provider-youtube wp-block-embed-youtube wp-embed-aspect-16-9 wp-has-aspect-ratio\"><div class=\"wp-block-embed__wrapper\">\n<div class=\"cs-embed cs-embed-responsive\"><iframe title=\"An&aacute;lise Combinat&oacute;ria e Probabilidades - Prof. Andrew Cazemiro | Hora da Verdade UERJ 2021\" width=\"1200\" height=\"675\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/yuA1L_xI-ug?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" allowfullscreen><\/iframe><\/div>\n<\/div><\/figure><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-exercicios-sobre-binomio-de-newton\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Exercicios-sobre-binomio-de-Newton\"><\/span>Exerc&iacute;cios sobre bin&ocirc;mio de Newton<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>Agora que voc&ecirc; est&aacute; a par da f&oacute;rmula do bin&ocirc;mio de Newton, veja uma aplica&ccedil;&atilde;o do assunto em vestibulares:<\/p><p>FGV 2013<\/p><p>Desenvolvendo-se o bin&ocirc;mio P(x) = (x+1)<sup>5<\/sup> podemos dizer que a soma de seus coeficientes &eacute;<\/p><p>a) 16<br>b) 24<br>c) 32<br>d) 40<br>e) 48<\/p><p>Conforme aprendemos at&eacute; aqui os coeficientes s&atilde;o dados pela f&oacute;rmula da combina&ccedil;&atilde;o, assim:<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh6.googleusercontent.com\/h1ioRwl0i5MPRHT_FySqk6nUIrgjqQTmLgcC53Nal-QsmkaJO26WuO3ZJjgydvJciCAE2y0eK-ijRRAqQlVV03s6cmIlazngBWDiJN6EAo3B45rQhSSocWzvHPAodLnOt3DbMdkv\" alt=\"aplica&ccedil;&atilde;o do bin&ocirc;mio de newton\"><\/figure><\/div><p>Podemos entender que n = 5, ent&atilde;o:<\/p><ul class=\"wp-block-list\">\n<li>O primeiro coeficiente &eacute; dado por C<sub>5,0<\/sub> = 1;<\/li>\n\n\n\n<li>O segundo por C<sub>5,1<\/sub> = 5;<\/li>\n\n\n\n<li>O terceiro coeficiente pode ser calculado com C<sub>5,2<\/sub> = 10;<\/li>\n\n\n\n<li>J&aacute; o quarto prov&eacute;m da f&oacute;rmula C<sub>5,3<\/sub> = 10;<\/li>\n\n\n\n<li>O quinto valor numeral vem de C<sub>5,4<\/sub> = 5; e<\/li>\n\n\n\n<li>Por fim, o sexto e &uacute;ltimo coeficiente &eacute; dado por C<sub>5,5<\/sub> = 1<\/li>\n<\/ul><p>A soma entre esses coeficientes ent&atilde;o, ser&aacute; 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32. Que tamb&eacute;m corresponde &agrave; soma dos elementos que comp&otilde;em a sexta linha do tri&acirc;ngulo de pascal. A alternativa correta, portanto, &eacute; a letra C.<\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-aprofunde-seu-conhecimento-de-binomio-de-newton-com-a-coruja\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Aprofunde-seu-conhecimento-de-binomio-de-Newton-com-a-Coruja\"><\/span>Aprofunde seu conhecimento de bin&ocirc;mio de Newton com a Coruja!<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>Nos cursos preparat&oacute;rios da coruja voltados para vestibulares que cobram muita matem&aacute;tica, como a fuvest, voc&ecirc; ter&aacute; uma panorama aprofundado sobre os polin&ocirc;mios, padr&otilde;es geom&eacute;tricos, bin&ocirc;mios, f&oacute;rmulas e teoremas &mdash; tudo isso com aulas did&aacute;ticas, livros digitais e um pre&ccedil;o justo! 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href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/regra-de-tres\/\">Regra de tr&ecirc;s simples e composta: veja como calcular<\/a>&nbsp;<\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/analise-combinatoria-enem\/\">An&aacute;lise Combinat&oacute;ria no Enem: como cai<\/a>&nbsp;<\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/como-calcular-porcentagem\/\">Como calcular porcentagem?<\/a><\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/probabilidade-no-enem\/\">Probabilidade no Enem: conceitos e mais<\/a><\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/progressao-aritmetica\/\">Progress&atilde;o aritm&eacute;tica: o que &eacute;, f&oacute;rmulas, usos e exemplos<\/a>&nbsp;<\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/prova-matematica-fuvest-2020\/\">Prova de matem&aacute;tica Fuvest 2020 com Resolu&ccedil;&atilde;o Comentada<\/a><\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/prova-matematica-2-fase-unicamp-2020\/\">Resolu&ccedil;&atilde;o da prova de Matem&aacute;tica da 2&ordf; Fase da Unicamp 2020<\/a>&nbsp;<\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/prova-matematica-unesp-2020\/\">Prova de Matem&aacute;tica UNESP 2020 com Resolu&ccedil;&atilde;o Comentada<\/a>&nbsp;<\/li>\n<\/ul><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"O f&iacute;sico e matem&aacute;tico Isaac Newton, ao analisar polin&ocirc;mios elevados a uma pot&ecirc;ncia qualquer, percebeu alguns padr&otilde;es 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