{"id":65339,"date":"2022-03-26T18:00:00","date_gmt":"2022-03-26T21:00:00","guid":{"rendered":"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/?p=65339"},"modified":"2024-03-08T14:33:51","modified_gmt":"2024-03-08T17:33:51","slug":"equacao-irracional","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/equacao-irracional\/","title":{"rendered":"Equa\u00e7\u00e3o irracional: o que \u00e9 e como resolver"},"content":{"rendered":"<p>Na alg&eacute;brica, as express&otilde;es matem&aacute;ticas podem ser divididas conforme o conjunto de n&uacute;meros que abrangem, qual o maior expoente presente ou outros crit&eacute;rios. Um exemplo de classifica&ccedil;&atilde;o &eacute; a equa&ccedil;&atilde;o irracional, que acontece quando a inc&oacute;gnita est&aacute; dentro de uma raiz quadrada.<p>No artigo a seguir, voc&ecirc; entender&aacute; melhor como resolver uma equa&ccedil;&atilde;o irracional, com todos os par&acirc;metros que devem ser levados em considera&ccedil;&atilde;o, como as quest&otilde;es de valores positivos e negativos, t&atilde;o importantes para a radicia&ccedil;&atilde;o. Continue lendo!<\/p><div id=\"ez-toc-container\" class=\"ez-toc-v2_0_76 counter-hierarchy ez-toc-counter ez-toc-transparent ez-toc-container-direction\">\n<div class=\"ez-toc-title-container\"><p class=\"ez-toc-title\" style=\"cursor:inherit\">Navegue pelo conte\u00fado<\/p>\n<\/div><nav><ul class='ez-toc-list ez-toc-list-level-1 ' ><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-1\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/equacao-irracional\/#O-que-e-uma-equacao-irracional\" >O que &eacute; uma equa&ccedil;&atilde;o irracional?<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-2\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/equacao-irracional\/#Como-resolver-uma-equacao-irracional\" >Como resolver uma equa&ccedil;&atilde;o irracional?<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-3\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/equacao-irracional\/#Aprenda-mais-matematica-com-a-Coruja\" >Aprenda mais matem&aacute;tica com a Coruja!<\/a><\/li><\/ul><\/nav><\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-o-que-e-uma-equacao-irracional\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"O-que-e-uma-equacao-irracional\"><\/span>O que &eacute; uma equa&ccedil;&atilde;o irracional?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>Como foi citado anteriormente, a equa&ccedil;&atilde;o irracional acontece quando o &ldquo;x&rdquo; apresenta-se, pelo menos uma vez, como radicando de uma raiz de &iacute;ndice n. Veja um esquema sobre esses elementos que comp&otilde;em uma radicia&ccedil;&atilde;o:<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh5.googleusercontent.com\/KdZnG3bhjvVx95MMpmenUVPLYRCTJYbRVB9lUH9KPlGGmkdBJpJy8HvfNwX84wzlhagUWUZNcOA_c7RcDxEXPgiYEiX3Iqs8nP5z_NgHW7ZPiX8gK38MTgWrVdtDxFzdwtGHBZ1p\" alt=\"equa&ccedil;&atilde;o irracional - raiz\"><figcaption class=\"wp-element-caption\">Imagem: Reprodu&ccedil;&atilde;o\/Wikimedia<br><\/figcaption><\/figure><\/div><ul class=\"wp-block-list\">\n<li>O elemento de n&uacute;mero 1 (n) &eacute; o &iacute;ndice da f&oacute;rmula radical. Quando se fala de raiz quadrada, o n=2. Nos casos em que a raiz &eacute; c&uacute;bica n=3 e assim sucessivamente;<\/li>\n\n\n\n<li>J&aacute; o que est&aacute; marcado em verde (2) representa o s&iacute;mbolo gr&aacute;fico da raiz matem&aacute;tica; e&nbsp;<\/li>\n\n\n\n<li>Por fim, o que est&aacute; em azul (3) &eacute; o radicando dessa opera&ccedil;&atilde;o. Esse componente pode possuir intera&ccedil;&otilde;es de soma, subtra&ccedil;&atilde;o, divis&atilde;o ou multiplica&ccedil;&atilde;o.<\/li>\n<\/ul><p>&Eacute; importante lembrar que o s&iacute;mbolo da radicia&ccedil;&atilde;o (&radic;) indica que devemos fatorar um radicando e chegar em um valor que, quando multiplicado n vezes, resulta em x.y. Outro ponto a destacar &eacute; que quando o valor de n n&atilde;o est&aacute; expl&iacute;cito na express&atilde;o, indica que n=2.&nbsp;<\/p><p>Um n&uacute;mero sob uma raiz matem&aacute;tica &eacute; o inverso da potencia&ccedil;&atilde;o, quando adicionamos um expoente ao n. Assim, a opera&ccedil;&atilde;o tamb&eacute;m pode ser descrita como:<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh5.googleusercontent.com\/VobS4enpjhE6dlP5biBp7KOpkKvO-WjcTttxp3ru-0LInH1uXdMRZxDJVkl8Y2wNzgyubUY-IlH44iSJ9M2xh4NGZDli4SIp_fh4nr67cJ973i9uwImKXHKeYy77-bSp_XzgOLOZ\" alt=\"\"><figcaption class=\"wp-element-caption\">Imagem: Adapta&ccedil;&atilde;o\/Wikimedia<\/figcaption><\/figure><\/div><p>Para decorar essa propriedade fundamental da radicia&ccedil;&atilde;o e potencia&ccedil;&atilde;o, pode ser usado um macete. Primeiramente, imagine que a raiz &eacute; uma festa e que o x<sup>4<\/sup> est&aacute; na festa, enquanto o 2 n&atilde;o foi convidado. Ent&atilde;o voc&ecirc; faz o expoente da seguinte maneira: &ldquo;quem est&aacute; fora da festa &lsquo;est&aacute; por baixo&rsquo;, quem t&aacute; na festa &lsquo;t&aacute; por cima&rsquo;&rdquo;.<\/p><p>Com essas informa&ccedil;&otilde;es conclu&iacute;mos que a express&atilde;o gen&eacute;rica para uma equa&ccedil;&atilde;o irracional &eacute; o aparecimento de um termo com raiz en&eacute;sima (n), onde esteja a inc&oacute;gnita. &Eacute; necess&aacute;rio ressaltar que outras opera&ccedil;&otilde;es matem&aacute;ticas podem acontecer dentro dessa mesma raiz, ou fora dela, como mostram os modelos abaixo descritos.<\/p><figure class=\"wp-block-image size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"246\" height=\"94\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2022\/03\/image-9.png\" alt=\"equa&ccedil;&atilde;o irracional - exemplos\" class=\"wp-image-65341\" style=\"width:260px;height:99px\"><\/figure><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-como-resolver-uma-equacao-irracional\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Como-resolver-uma-equacao-irracional\"><\/span>Como resolver uma equa&ccedil;&atilde;o irracional?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>Nos t&oacute;picos a seguir, voc&ecirc; encontrar&aacute; a resolu&ccedil;&atilde;o de exerc&iacute;cios de vestibulares sobre equa&ccedil;&atilde;o irracional. Observe os passos abordados na resposta para entender como se resolve uma equa&ccedil;&atilde;o com raiz quadrada, c&uacute;bica, entre outras.<\/p><p>(UTFPR &ndash; adaptado) A equa&ccedil;&atilde;o irracional abaixo resulta em x igual a:<\/p><figure class=\"wp-block-image size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"123\" height=\"32\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2022\/03\/image-12.png\" alt=\"equa&ccedil;&atilde;o irracional\" class=\"wp-image-65344\"><\/figure><p>a) &ndash; 2<br>b) &ndash; 1<br>c) 0<br>d) 1<br>e) 2<\/p><p>Para desenvolver uma equa&ccedil;&atilde;o irracional, &eacute; necess&aacute;rio fazer com que a raiz &ldquo;suma&rdquo; dos c&aacute;lculos. Para isso, utilizamos o princ&iacute;pio da equival&ecirc;ncia, quando isolamos a inc&oacute;gnita radicalar e, depois, adicionamos o expoente n em toda a express&atilde;o &mdash; o que desaparece com a raiz, conforme as propriedades da radicia&ccedil;&atilde;o.<\/p><p>Na equa&ccedil;&atilde;o do exerc&iacute;cio da UFTPR, o n=2, ent&atilde;o &eacute; poss&iacute;vel realizar as seguintes manipula&ccedil;&otilde;es:<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"159\" height=\"33\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2022\/03\/image-13.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-65345\"><\/figure><\/div><p>Com o mesmo racioc&iacute;nio podemos, agora, eliminar a raiz quadrada e continuar os c&aacute;lculos na equa&ccedil;&atilde;o irracional. N&atilde;o se esque&ccedil;a de realizar o<a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/regra-de-sinais\/\" target=\"_blank\"> jogo de sinais<\/a> para transferir os elementos de um lado para o outro na express&atilde;o!<\/p><p class=\"has-text-align-center\">9x &ndash; 14 =4<br>9x = 4 + 14<br>9x = 18<br>x = 18\/9<br>x = 2<\/p><p>A partir dos c&aacute;lculos que efetuamos, podemos considerar que a alternativa correta para esse exerc&iacute;cio &eacute; a letra E.<\/p><p>Veja, com aux&iacute;lio de uma quest&atilde;o que tamb&eacute;m apareceu no vestibular da UFTPR, como compreender relacionar a equa&ccedil;&atilde;o irracional com os problemas propostos em prova.<\/p><p>Adriana e Gustavo est&atilde;o participando de uma gincana na cidade de Curitiba e receberam a seguinte tarefa:<\/p><p>Trazer a fotografia da constru&ccedil;&atilde;o localizada na rua XV de Novembro, n&uacute;mero N, tal que:<\/p><p>a e b s&atilde;o as ra&iacute;zes da equa&ccedil;&atilde;o irracional&nbsp; <\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"182\" height=\"35\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2022\/03\/image-14.png\" alt=\"equa&ccedil;&atilde;o irracional\" class=\"wp-image-65346\" style=\"width:182px;height:35px\"><\/figure><\/div><p class=\"has-text-align-center\">  e N = (a<sup>2<\/sup> + b<sup>2<\/sup> + 13)<sup>2<\/sup> + (a + b)<sup>4<\/sup> &ndash; 10.<\/p><p>a) 1515.<br>b) 1296.<br>c) 971.<br>d) 775.<br>e) 535.<\/p><p>O primeiro passo &eacute; aplicar o Princ&iacute;pio da Equival&ecirc;ncia, dessa forma:<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"222\" height=\"34\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2022\/03\/image-15.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-65347\"><\/figure><\/div><p class=\"has-text-align-center\">2x<sup>2 <\/sup>+ 3x + 5 = x<sup>2<\/sup> + 2.x.3 + 3<sup>2<\/sup><br>2x<sup>2 <\/sup>+ 3x + 5 = x<sup>2<\/sup> + 6x + 9<br>2x<sup>2<\/sup> &ndash; x<sup>2<\/sup> + 3x &ndash; 6x + 5 &ndash; 9 = 0<br>x<sup>2<\/sup> &ndash; 3x &ndash; 4 = 0&nbsp;<\/p><p>A equa&ccedil;&atilde;o x<sup>2<\/sup> &ndash; 3x &ndash; 4 = 0 est&aacute; dentro do padr&atilde;o mx<sup>2<\/sup> + px + c = 0, de forma que:<\/p><p class=\"has-text-align-center\">m = 1&nbsp;<br>p = -3<br>c = -4<\/p><p>Pela resolu&ccedil;&atilde;o das equa&ccedil;&otilde;es de segundo grau pelo m&eacute;todo da soma e dos produtos, teremos que:<\/p><p class=\"has-text-align-center\">a + b = -p\/m e a.b = c\/m<br>a + b = &ndash; (-3)\/1&nbsp;<br>a + b = 3<\/p><p class=\"has-text-align-center\">a.b = -4\/1<br>a\/b = -4<\/p><p>Com a resolu&ccedil;&atilde;o de um sistema de duas inc&oacute;gnitas e duas equa&ccedil;&otilde;es, teremos que:<\/p><p class=\"has-text-align-center\">a = 3 &ndash; b&nbsp;<\/p><p>Substituindo o valor de a na equa&ccedil;&atilde;o a\/b = -4, teremos:<\/p><p class=\"has-text-align-center\">(3-b)\/b = -4&nbsp;<br>3 &ndash; b = -4.b<br>3 = -4.b + b&nbsp;<br>3 = -3.b<br>b = -1&nbsp;<\/p><p>Como sequ&ecirc;ncia, entende-se que:<\/p><p class=\"has-text-align-center\">a = 3 &ndash; b&nbsp;<br>a = 3 &ndash; (-1)<br>a = 3 + 1&nbsp;<br>a = 4<\/p><p>Com a parte da equa&ccedil;&atilde;o irracional j&aacute; resolvida, deve-se prosseguir o racioc&iacute;nio com a resolu&ccedil;&atilde;o da express&atilde;o de N, utilizando-se a=4 e b=-1.<\/p><p class=\"has-text-align-center\">N = (a<sup>2<\/sup> + b<sup>2<\/sup> + 13)<sup>2<\/sup> + (a + b)<sup>4<\/sup> &ndash; 10.<br>N = (4<sup>2<\/sup> + (-1)<sup>2<\/sup> + 13)<sup>2 <\/sup>+ (4 + (-1))<sup>4<\/sup> &ndash; 10<br>N = (16 + 1 + 13)<sup>2 <\/sup>+ (4 -1)<sup>4<\/sup> &ndash; 10<br>N = 30<sup>2 <\/sup>+ 3 <sup>4<\/sup> &ndash; 10<br>N = 900 + 81 &ndash; 10<br>N = 971, como prev&ecirc; a alternativa de letra C.<\/p><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-numeros-positivos-ou-negativos-no-radicando\">N&uacute;meros positivos ou negativos no radicando<\/h3><p>Para que um n&uacute;mero negativo esteja presente no radicando de uma raiz en&eacute;sima, &eacute; necess&aacute;rio que n seja um n&uacute;mero &iacute;mpar. Quando n &eacute; par, os valores presentes no radicando devem ser, obrigatoriamente positivos, para que estejam no conjunto dos n&uacute;meros reais. Veja:<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"134\" height=\"37\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2022\/03\/image-16.png\" alt=\"equa&ccedil;&atilde;o irracional\" class=\"wp-image-65348\"><\/figure><\/div><p>O exemplo acima demonstra que, um n&uacute;mero negativo, quando multiplicado por si mesmo em fatores &iacute;mpares, resulta em um valor negativo. Entretanto, se multiplicarmos esse mesmo n&uacute;mero em vezes pares, o resultado ser&aacute; maior que 0:<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"194\" height=\"30\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2022\/03\/image-17.png\" alt=\"equa&ccedil;&atilde;o irracional\" class=\"wp-image-65349\" style=\"width:194px;height:30px\"><\/figure><\/div><p>Por essa raz&atilde;o, tamb&eacute;m, as equa&ccedil;&otilde;es irracionais com n par possuem uma raiz positiva e outra negativa que solucionem sua inc&oacute;gnita.<\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-aprenda-mais-matematica-com-a-coruja\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Aprenda-mais-matematica-com-a-Coruja\"><\/span>Aprenda mais matem&aacute;tica com a Coruja!<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><figure class=\"wp-block-embed alignright is-type-video is-provider-youtube wp-block-embed-youtube wp-embed-aspect-16-9 wp-has-aspect-ratio\"><div class=\"wp-block-embed__wrapper\">\n<div class=\"cs-embed cs-embed-responsive\"><iframe title=\"Equa&ccedil;&atilde;o Modular | 23&ordf; Dica - 100 dicas para gabaritar MATEM&Aacute;TICA no Vestibular e no ENEM\" width=\"1200\" height=\"675\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/L_kHLil45kQ?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" allowfullscreen><\/iframe><\/div>\n<\/div><\/figure><p>Com as aulas gratuitas fornecidas pelo <a href=\"https:\/\/www.estrategiavestibulares.com.br\/\" target=\"_blank\">Estrat&eacute;gia Vestibulares <\/a>no YouTube voc&ecirc; pode aprimorar seu conhecimento matem&aacute;tico e agilizar o seu racioc&iacute;nio no desenvolvimento dos c&aacute;lculos.&nbsp;<\/p><p>Al&eacute;m de assistir nossos conte&uacute;dos gratuitos, confira o Banco de Quest&otilde;es desenvolvido pela Coruja. 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