{"id":65413,"date":"2022-03-30T08:00:00","date_gmt":"2022-03-30T11:00:00","guid":{"rendered":"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/?p=65413"},"modified":"2024-03-08T15:05:59","modified_gmt":"2024-03-08T18:05:59","slug":"logaritmos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/logaritmos\/","title":{"rendered":"Logaritmos: o que s\u00e3o, propriedades e como calcular"},"content":{"rendered":"<p>Na matem&aacute;tica, as opera&ccedil;&otilde;es aritm&eacute;ticas sempre apresentam uma opera&ccedil;&atilde;o oposta. Por exemplo, a soma &eacute; o inverso da subtra&ccedil;&atilde;o e a multiplica&ccedil;&atilde;o &eacute; oposta &agrave; divis&atilde;o. Por sua vez, os logaritmos s&atilde;o o contr&aacute;rio da exponencia&ccedil;&atilde;o.<p>No artigo abaixo, voc&ecirc; entender&aacute; melhor qual a defini&ccedil;&atilde;o de um logaritmo e como se d&aacute; o desenvolvimento dos c&aacute;lculos. Veja tamb&eacute;m um resumo das propriedades e como elas s&atilde;o cobradas nas provas. Acompanhe agora!<\/p><div id=\"ez-toc-container\" class=\"ez-toc-v2_0_76 counter-hierarchy ez-toc-counter ez-toc-transparent ez-toc-container-direction\">\n<div class=\"ez-toc-title-container\"><p class=\"ez-toc-title\" style=\"cursor:inherit\">Navegue pelo conte\u00fado<\/p>\n<\/div><nav><ul class='ez-toc-list ez-toc-list-level-1 ' ><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-1\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/logaritmos\/#O-que-sao-logaritmos\" >O que s&atilde;o logaritmos?<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-2\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/logaritmos\/#Propriedades-dos-logaritmos\" >Propriedades dos logaritmos<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-3\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/logaritmos\/#Questoes-sobre-logaritmos\" >Quest&otilde;es sobre logaritmos&nbsp;<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-4\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/logaritmos\/#Saiba-mais-de-matematica-com-o-Estrategia-Vestibulares\" >Saiba mais de matem&aacute;tica com o Estrat&eacute;gia Vestibulares<\/a><\/li><\/ul><\/nav><\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-o-que-sao-logaritmos\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"O-que-sao-logaritmos\"><\/span>O que s&atilde;o logaritmos?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>Os logaritmos s&atilde;o ferramentas matem&aacute;ticas que se relacionam intimamente com a exponencia&ccedil;&atilde;o e potencia&ccedil;&atilde;o dos n&uacute;meros. A representa&ccedil;&atilde;o da fun&ccedil;&atilde;o logar&iacute;tmica considera uma base e um logaritmando, como mostra a figura:<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh6.googleusercontent.com\/UE5XcwI5ZPzw9v3Y3CpjwmaGRspTEtURYyj9KDxuieY2kfnN6V0FAY-gyW9vl_M4idQ8Z7ubVOFeNXpXa3h3ekMEJNL7EN1qV0lsOanqzfHzhaXUJy-YO3UgIb38dZfRnVWWOiLv\" alt=\"logaritmos - representa&ccedil;&atilde;o\"><\/figure><\/div><p>Observe a igualdade apresentada no lado direito da figura: a base elevada ao valor logaritmo, fornece o logaritmando (a<sup>x<\/sup>=b).&nbsp;<\/p><p>Para que a afirma&ccedil;&atilde;o anterior seja verdadeira, &eacute; necess&aacute;rio que b&gt;0, uma vez que todo n&uacute;mero real, quando elevado a x, n&atilde;o pode resultar em 0 (a<sup>x<\/sup>&gt;0). Al&eacute;m disso, a base deve ser positiva e diferente de um (a&gt;0 e a&ne;1), visto que 1<sup>x<\/sup>=1.&nbsp;<\/p><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-logaritmo-decimal\">Logaritmo decimal<\/h3><p>Em termos pr&aacute;ticos, voc&ecirc; pode imaginar o logaritmo como uma pergunta: &ldquo;a que pot&ecirc;ncia a base &lsquo;a&rsquo; precisa ser elevada para que &lsquo;b&rsquo; seja igual a ela?&rdquo; (a<sup>x<\/sup>=b)<\/p><p>Veja um exemplo:<\/p><p class=\"has-text-align-center\">log<sub>10<\/sub> 100 = x<\/p><p>A que pot&ecirc;ncia o n&uacute;mero 10 (base) precisa ser elevado para que seja igual a 100 (logaritmando)?<\/p><p class=\"has-text-align-center\">10<sup>x<\/sup>. = 100<br>10.10 = 100<br>10<sup>2<\/sup>=100<br>x=2&nbsp;<\/p><p>Por defini&ccedil;&atilde;o, quando o log aparece sem a base no canto inferior direito, entende-se que a base = 10. Nesse caso, trata-se de um logaritmo decimal. Por exemplo:<\/p><p class=\"has-text-align-center\">log 10000 = log<sub>10<\/sub> 10000<\/p><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-logaritmo-neperiano-log-e\">Logaritmo neperiano (log <sub>e<\/sub>)<\/h3><p>Como o sistema num&eacute;rico ocidental &eacute; decimal, &eacute; muito comum que o log apare&ccedil;a na base 10. Mas outro valor de grande import&acirc;ncia para a resolu&ccedil;&atilde;o de <a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/equacoes\/\" target=\"_blank\">equa&ccedil;&otilde;es<\/a> logar&iacute;tmicas &eacute; o n&uacute;mero de euler (e), que &eacute; aproximadamente igual a 2,718281&hellip;<\/p><p>A representa&ccedil;&atilde;o do logaritmo neperiano pode aparecer, tamb&eacute;m, como ln.&nbsp;<br>Saiba portanto que:<\/p><p class=\"has-text-align-center\">log <sub>e<\/sub> z = ln z&nbsp;<\/p><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-como-calcular-logaritmos\">Como calcular logaritmos?<\/h3><p>A partir da express&atilde;o log<sub>4<\/sub> 256 = y, voc&ecirc; deve adicionar a pergunta base do c&aacute;lculo logar&iacute;tmico&nbsp; &ldquo;Qual o valor de y para que 4<sup>y <\/sup>= 256?&rdquo;. Com isso, voc&ecirc; pode fatorar o n&uacute;mero 256 com n&uacute;meros primos, at&eacute; que o resultado das divis&otilde;es seja igual a 1. Assim:<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh3.googleusercontent.com\/7jUcepz5JM-LhkarDYOlxWauPI-QercOgtOO-N5M4llVKBj5gS7sJqfFABHvBypIkHyNyFgSaY7Kj4-hSs4_e9HoWP3AeTQCrMb-sKPFm-ectTPQzyCaV8_lOUoX8rGhyXnPkY2r\" alt=\"fatora&ccedil;&atilde;o para encontrar o logaritmo\"><\/figure><\/div><p>Observe que, com a fatora&ccedil;&atilde;o adequada, obt&eacute;m-se que o logaritmo de 256 na base 4 &eacute; igual a 4 (log<sub>4<\/sub> 256 = y &rarr; y=4) , j&aacute; que 4<sup>4<\/sup> = 256.&nbsp;<\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-propriedades-dos-logaritmos\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Propriedades-dos-logaritmos\"><\/span>Propriedades dos logaritmos<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>No estudo dos logaritmos, foi percebido certos padr&otilde;es que se repetem continuamente. Quando observados junto &agrave;s regras da potencia&ccedil;&atilde;o, notou-se que a equa&ccedil;&atilde;o logar&iacute;tmica possui algumas propriedades, que ser&atilde;o abordadas nos t&oacute;picos a seguir.<\/p><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-logaritmando-igual-a-base\">Logaritmando igual a base<\/h3><p class=\"has-text-align-center\">log<sub>a<\/sub> a = x&nbsp;<\/p><p>Nesse caso, com a simples descri&ccedil;&atilde;o do c&aacute;lculo observa-se que x=1:<\/p><p class=\"has-text-align-center\">a<sup>x<\/sup> = a&nbsp;<\/p><p>Como, das regras de exponencia&ccedil;&atilde;o, todo n&uacute;mero elevado a 1 &eacute; igual a ele mesmo, podemos deduzir que <strong>quando o logaritmando &eacute; igual a base, o valor do logaritmo &eacute; 1.<\/strong><\/p><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-logaritmando-igual-a-1\">Logaritmando igual a 1<\/h3><p class=\"has-text-align-center\">log<sub>a<\/sub> 1 = x&nbsp;<\/p><p><strong>Se o logaritmando &eacute; igual a 1, o valor do logaritmo &eacute; 0, independentemente da base<\/strong>. Isso acontece porque todo n&uacute;mero elevado a 0 &eacute; igual a um.<\/p><p class=\"has-text-align-center\">a<sup>x<\/sup> = 1 &rarr; x = 0<\/p><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-igualdade-de-logaritmos-de-mesma-base\">Igualdade de logaritmos de mesma base<\/h3><p class=\"has-text-align-center\">log<sub>a<\/sub> b = log<sub>a<\/sub> c&nbsp;<\/p><p>Para que <strong>dois logaritmos de mesma base sejam iguais, &eacute; necess&aacute;rio que seus logaritmandos sejam exatamente os mesmos<\/strong>. No exemplo acima, a proposi&ccedil;&atilde;o s&oacute; &eacute; verdadeira se b = c.&nbsp;<\/p><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-logaritmo-como-expoente\">Logaritmo como expoente<\/h3><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh3.googleusercontent.com\/LgorgwUN11gK8QEXWvZCP1nhuIbX-U858vVg_Av41hAolC4z8T6c2yMGAPijpd8N_0M6671ZFXqY_-g9DrYy8PLPP0djA8o9wnx76pYEYTPRaXYws-7k7mnrDS_Rg7wAyGpJkRjT\" alt=\"regra do tombo - logaritmos\"><\/figure><\/div><p>Observe, na imagem, que quando um n&uacute;mero a &eacute; elevado a um logaritmo de base a, o resultado dessa potencia&ccedil;&atilde;o ser&aacute; igual ao logaritmando do expoente, como demonstra a justificativa (marcada em vermelho).<\/p><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-logaritmando-e-uma-multiplicacao\">Logaritmando &eacute; uma multiplica&ccedil;&atilde;o<\/h3><p class=\"has-text-align-center\">log <sub>a<\/sub> D.E = log<sub>a <\/sub>D + log<sub>a<\/sub> E<\/p><p>Uma das mais importantes propriedades logar&iacute;tmicas, a express&atilde;o acima mostra que, quando o logaritmando &eacute; uma multiplica&ccedil;&atilde;o, &eacute; poss&iacute;vel separar cada um dos fatores. Para isso, utilizam-se logaritmos de mesma base inicial somados.&nbsp;<\/p><p>Veja uma aplica&ccedil;&atilde;o pr&aacute;tica. Sabendo que log 2 = 0,3, qual o valor de y na equa&ccedil;&atilde;o abaixo?<\/p><p class=\"has-text-align-center\">log 160 = y<br>log 16 . 10 = y<br>log 2.2.2.2.10 = y&nbsp;<br>log 2 + log 2 + log 2 + log 2 + log 10 = y&nbsp;<br>0,3 + 0,3 + 0,3 + 0,3 + 1 = y&nbsp;<br>y = 2,2<\/p><p>Lembre-se, log 10 = 1 porque a base &eacute; igual ao logaritmando, como vimos acima.<\/p><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-logaritmando-e-uma-divisao\">Logaritmando &eacute; uma divis&atilde;o<\/h3><p class=\"has-text-align-center\">log <sub>a<\/sub> (D\/E) = log<sub>a <\/sub>D &ndash; log<sub>a<\/sub> E<\/p><p>No extremo oposto da propriedade anterior, e t&atilde;o importante quanto ela, est&aacute; a regra que dita como resolver uma equa&ccedil;&atilde;o em que o logaritmando pode ser fracionado, como mostra o exemplo acima.&nbsp;<\/p><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-logaritmando-com-expoente\">Logaritmando com expoente<\/h3><p class=\"has-text-align-center\">log a<sup>k&nbsp; <\/sup>&nbsp;= k . log a<\/p><p>Quando o logaritmando possui um expoente, teremos a conhecida &ldquo;regra do tombo&rdquo;. Isso significa que voc&ecirc; pode multiplicar o logaritmo pela pot&ecirc;ncia k, como descreveu a equa&ccedil;&atilde;o anterior.&nbsp;<\/p><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-mudanca-de-base\">Mudan&ccedil;a de base<\/h3><p>&Eacute; poss&iacute;vel trocar a base de um logaritmo quando observada a f&oacute;rmula abaixo:<\/p><p class=\"has-text-align-center\">log <sub>b<\/sub><sup> <\/sup>c = log<sub> a<\/sub> c \/ log <sub>a<\/sub> b<\/p><p>Voc&ecirc; deve adicionar logaritmos da base desejada no denominador e no divisor da fra&ccedil;&atilde;o. Depois, a base &ldquo;original&rdquo; (b) vira logaritmando da parte de baixo, e o logaritmando &ldquo;original&rdquo; (c) fica na parte de cima.&nbsp;<\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-questoes-sobre-logaritmos-nbsp\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Questoes-sobre-logaritmos\"><\/span>Quest&otilde;es sobre logaritmos&nbsp;<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>Perceba que os logaritmos s&atilde;o essenciais para a resolu&ccedil;&atilde;o de quest&otilde;es exponenciais tanto quanto para as fun&ccedil;&otilde;es logar&iacute;tmicas. No Enem, geralmente, aparecem quest&otilde;es que necessitam dessa ferramenta para serem resolvidas. Acompanhe o racioc&iacute;nio abaixo:<\/p><p>(UDESC 2008)<\/p><p>Se log<sub>a<\/sub> b = 3 e log<sub>ab<\/sub> c = 4, ent&atilde;o log<sub>a<\/sub> c &eacute;:<\/p><p>A) 12<br>B) 16<br>C) 24<br>D) 8<br>E) 6<\/p><p>Podemos manipular cada uma das express&otilde;es fornecidas:<\/p><p class=\"has-text-align-center\">log<sub>a<\/sub> b = 3<br>a<sup>3<\/sup> = b<\/p><p class=\"has-text-align-center\">log<sub>ab<\/sub> c = 4<br>(ab)<sup>4<\/sup> = c<br>(a.a<sup>3<\/sup>)<sup>4<\/sup> = c&nbsp;<br>(a<sup>4<\/sup>)<sup>4<\/sup> = c&nbsp; <br><strong>a<sup>16<\/sup> = c<\/strong><\/p><p class=\"has-text-align-center\">log<sub>a<\/sub><sup> <\/sup>c = x<br><strong>a<sup>x <\/sup>= c<\/strong><\/p><p class=\"has-text-align-center\"><strong>x = 16 (letra B)<\/strong><\/p><p>+ Veja tamb&eacute;m: <a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/intervalos-reais\/\">Intervalos reais: o que s&atilde;o e como representar<\/a><\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-saiba-mais-de-matematica-com-o-estrategia-vestibulares\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Saiba-mais-de-matematica-com-o-Estrategia-Vestibulares\"><\/span>Saiba mais de matem&aacute;tica com o Estrat&eacute;gia Vestibulares<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>Com o banco de quest&otilde;es da <a href=\"https:\/\/www.estrategiavestibulares.com.br\/\" target=\"_blank\">Coruja <\/a>voc&ecirc; pode treinar seu conhecimento matem&aacute;tico, o que ajuda na consolida&ccedil;&atilde;o do conte&uacute;do e comprova&ccedil;&atilde;o de suas habilidades, bem como reconhecimento dos pontos que precisa melhorar. 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