{"id":67178,"date":"2022-04-29T17:00:00","date_gmt":"2022-04-29T20:00:00","guid":{"rendered":"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/?p=67178"},"modified":"2024-03-08T17:18:17","modified_gmt":"2024-03-08T20:18:17","slug":"matrizes","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/matrizes\/","title":{"rendered":"Matrizes: o que \u00e9, representa\u00e7\u00e3o, opera\u00e7\u00f5es e quest\u00f5es"},"content":{"rendered":"<p>Tabelas aparecem com frequ&ecirc;ncia no cotidiano: classifica&ccedil;&atilde;o de times do futebol, notas de corte, posi&ccedil;&atilde;o no vestibular, dados demogr&aacute;ficos, entre outros dados que podem ser informados por essa ferramenta. Para facilitar a representa&ccedil;&atilde;o matem&aacute;tica desses n&uacute;meros distribu&iacute;dos em linhas e colunas, foram criadas as matrizes.<p>Uma matriz &eacute; uma simplifica&ccedil;&atilde;o de tabelas que possibilita somar, subtrair, multiplicar e dividir as informa&ccedil;&otilde;es, de maneira que fica mais f&aacute;cil realizar an&aacute;lises e compara&ccedil;&otilde;es dos valores.&nbsp;<\/p><p>No texto a seguir, voc&ecirc; conhecer&aacute; a defini&ccedil;&atilde;o de matrizes, entender&aacute; como os elementos s&atilde;o dispostos e nomeados, como fazer opera&ccedil;&otilde;es com elas, al&eacute;m de entender o que &eacute; um determinante, com a aplica&ccedil;&atilde;o pr&aacute;tica desses conte&uacute;dos em provas de vestibulares. Vamos l&aacute;?<\/p><div id=\"ez-toc-container\" class=\"ez-toc-v2_0_76 counter-hierarchy ez-toc-counter ez-toc-transparent ez-toc-container-direction\">\n<div class=\"ez-toc-title-container\"><p class=\"ez-toc-title\" style=\"cursor:inherit\">Navegue pelo conte\u00fado<\/p>\n<\/div><nav><ul class='ez-toc-list ez-toc-list-level-1 ' ><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-1\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/matrizes\/#O-que-sao-matrizes\" >O que s&atilde;o matrizes?<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-2\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/matrizes\/#Tipos-de-matrizes\" >Tipos de matrizes<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-3\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/matrizes\/#Operacoes-com-matrizes\" >Opera&ccedil;&otilde;es com matrizes<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-4\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/matrizes\/#Determinantes-de-matrizes\" >Determinantes de matrizes<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-5\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/matrizes\/#Questoes-sobre-matrizes\" >Quest&otilde;es sobre matrizes<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-6\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/matrizes\/#Veja-mais-de-matematica-com-o-Estrategia-Vestibulares\" >Veja mais de matem&aacute;tica com o Estrat&eacute;gia Vestibulares!<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-7\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/matrizes\/#Veja-tambem\" >Veja tamb&eacute;m:<\/a><\/li><\/ul><\/nav><\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-o-que-sao-matrizes\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"O-que-sao-matrizes\"><\/span>O que s&atilde;o matrizes?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>Uma matriz &eacute; um tipo de tabela num&eacute;rica, na qual os valores s&atilde;o distribu&iacute;dos em linhas e colunas. Para identificar cada elemento (a), adiciona-se a ele o nome da linha (i) e da coluna (j) a que pertencem, assim: aij.<\/p><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-representacao-de-matrizes\">Representa&ccedil;&atilde;o de matrizes<\/h3><p>Para definir o n&uacute;mero de linhas e colunas em uma matriz, ela &eacute; denominada com linhas x colunas (l&ecirc;-se linhas por colunas). Observe a matriz A abaixo, que possui 3 linhas (m) e 4 colunas (n) &mdash; &eacute; o que chamamos de matriz 3&times;4.<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter is-resized\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh6.googleusercontent.com\/9-fE1Lt8b7-r5TASkyfXzLzNrMRsa1SRBqkyPnrikgogd1zsHHgYVDKnJqw5JZgAL_exjfVc_oAmyFVbZk2mdMysk5iGDqJ7Yi4qPDaBkk5dFf7pdCan7eDbGAsj6BdzDIPCrazM\" alt=\"Matrizes - representa&ccedil;&atilde;o\" style=\"width:151px;height:93px\"><figcaption class=\"wp-element-caption\">Imagem: Reprodu&ccedil;&atilde;o\/Wikimedia<br><\/figcaption><\/figure><\/div><p>Como voc&ecirc; determinaria a identidade do elemento 5?&nbsp;<\/p><ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Primeiro, encontre o valor e relacione em que linha e coluna ele est&aacute;;<\/li>\n\n\n\n<li>Sabendo que o n&uacute;mero 5 est&aacute; na segunda coluna e terceira linha, podemos definir seus valores de i e j;<\/li>\n\n\n\n<li>Como i &eacute; a linha, i=3;<\/li>\n\n\n\n<li>J&aacute; que j representa a coluna de localiza&ccedil;&atilde;o, j=2;<\/li>\n\n\n\n<li>A nota&ccedil;&atilde;o de um elemento matricial &eacute; tal que a<sub>ij<\/sub>: 5=a<sub>32<\/sub>.<\/li>\n<\/ul><p>Note tamb&eacute;m que, na imagem, os elementos est&atilde;o dispostos entre dois colchetes [ a<sub>nn<\/sub> ]. Al&eacute;m dessa nota&ccedil;&atilde;o, os valores podem estar dentro de par&ecirc;nteses ou duas barras simples. Veja um exemplo com a matriz gen&eacute;rica m x n representada abaixo:<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh6.googleusercontent.com\/o5-4A81ugdb0e9_8yzfT1z2y1hEWCmXFUi_h7xuQ-A4n-YC7nEYZjI0WoyNEt4DPrCAFcmursVQy1ToG1_2OS9wdp1NuVcnpvAuxAFomrzD9uC9oIwwqHY8Y54FftQFgIWEVOGC1\" alt=\"Matrizes - representa&ccedil;&atilde;o geral\"><figcaption class=\"wp-element-caption\">Imagem: Reprodu&ccedil;&atilde;o\/Wikimedia<br><\/figcaption><\/figure><\/div><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-aplicacao-pratica-de-matrizes\">Aplica&ccedil;&atilde;o pr&aacute;tica de matrizes<\/h3><p>A nota&ccedil;&atilde;o de matrizes e seu uso n&atilde;o est&aacute; restrito ao campo matem&aacute;tico. Na verdade, elas s&atilde;o uma ferramenta muito &uacute;til para o estudo de dados econ&ocirc;micos, pol&iacute;ticos, demogr&aacute;ficos, sanit&aacute;rios, entre outros.&nbsp;<\/p><p>Mas, afinal, como elas s&atilde;o aplicadas nesses contextos? Como as matrizes s&atilde;o as tabelas da matem&aacute;tica, elas s&atilde;o necess&aacute;rias para dispor e comparar dados. Por exemplo, caso o objetivo seja relacionar o n&uacute;mero de meninas que comparecem ao ginecologista durante dois meses, por faixa et&aacute;ria, poder&iacute;amos encontrar a tabela fict&iacute;cia abaixo:<\/p><figure class=\"wp-block-image size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"633\" height=\"173\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2022\/04\/image-3.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-67179\" srcset=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2022\/04\/image-3.png 633w, https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2022\/04\/image-3-300x82.webp 300w, https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2022\/04\/image-3-380x104.webp 380w\" sizes=\"(max-width: 633px) 100vw, 633px\" \/><\/figure><p>Veja que esses dados fornecem importantes informa&ccedil;&otilde;es sobre o comportamento e a faixa et&aacute;ria das meninas, o que pode ajudar na cria&ccedil;&atilde;o de pol&iacute;ticas p&uacute;blicas sobre cuidados femininos e campanhas de conscientiza&ccedil;&atilde;o ginecol&oacute;gicas.&nbsp;<\/p><p>Para auxiliar esse processo, os valores podem ser dispostos em uma matriz e ser estudado matematicamente, adicionado em programas de computa&ccedil;&atilde;o ou comparado analiticamente com dados semelhantes de outros hospitais.&nbsp;<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh4.googleusercontent.com\/8i9sIhxOdksU9PIpIYHIB6MYRfja6AcwTHoArmVlV1B-v8kKm9FpzCN5S5ItlirruTiANY67K-vHg_32K9kXFcEj5cVm-DTNLKsjgrYe45e_FsXcn0Fu33oStcSM5TdIkWnpb6SL\" alt=\"Matrizes - exemplo\"><\/figure><\/div><p>Na matriz 2&times;2 acima, portanto, as linhas demonstram a faixa et&aacute;ria, enquanto as colunas s&atilde;o os meses estudados:&nbsp;<\/p><ul class=\"wp-block-list\">\n<li>i=1 diz respeito &agrave;s meninas entre 12 e 15 anos;<\/li>\n\n\n\n<li>i=2 admite o grupo de meninas entre 15 e 18 anos;<\/li>\n\n\n\n<li>j=1 &eacute; o m&ecirc;s de maio; e<\/li>\n\n\n\n<li>j=2 corresponde aos dados do m&ecirc;s de junho.<\/li>\n<\/ul><div class=\"wp-block-buttons is-content-justification-center is-layout-flex wp-block-buttons-is-layout-flex\">\n<div class=\"wp-block-button has-custom-font-size is-style-fill\" style=\"font-size:30px\"><a class=\"wp-block-button__link has-luminous-vivid-amber-to-luminous-vivid-orange-gradient-background has-background\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/catalogo-produtos\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><meta charset=\"utf-8\"><strong>Conhe&ccedil;a os cursos do Estrat&eacute;gia!<\/strong><\/a><\/div>\n<\/div><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-tipos-de-matrizes\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Tipos-de-matrizes\"><\/span>Tipos de matrizes<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-matriz-quadrada\">Matriz quadrada<\/h3><p>Uma matriz quadrada acontece quando m x n &eacute; tal que m=n. Isso significa que o n&uacute;mero de linhas da tabela &eacute; igual ao seu n&uacute;mero de colunas.&nbsp;<\/p><p>Para facilitar o reconhecimento desse tipo matricial, admite-se a nota&ccedil;&atilde;o A<sub>n<\/sub> &mdash; matriz A de ordem n.&nbsp;<\/p><p>Por exemplo, a matriz A<sub>4<\/sub> &eacute; quadrada de ordem 4, isto &eacute;, 4 linhas e 4 colunas, como a representa&ccedil;&atilde;o abaixo:<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh6.googleusercontent.com\/EQavvvcxYmOg8UVvCPZi49u-pKMEzpJu__szXFF38VqimXfP4vx1PV2a07EwuYEgfbyBERb-lO-tRgsrf1v4_NBrDmXtj9PdlNgGM5vM9HIeU88i1E84qKXA44ypzlLPRKWV4hK6\" alt=\"matrizes quadradas\"><\/figure><\/div><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-matriz-identidade\">Matriz identidade<\/h3><p>O conceito da matriz identidade diz respeito a uma tabela que, quando multiplicada por outra matriz A, encontra-se um resultado igual a A.<\/p><p>&nbsp;matriz identidade . matriz A = matriz A<\/p><p>Para que isso aconte&ccedil;a, &eacute; necess&aacute;rio que a matriz identidade seja quadrada. Al&eacute;m disso, a diagonal que parte do primeiro elemento a<sub>11<\/sub> deve conter somente elementos de valor igual a um. Tudo que n&atilde;o estiver nessa diagonal deve ser igual a zero.<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh5.googleusercontent.com\/SPgT_m_KbSwreAndbEaD-JnMJDJfJUHK5kjqfH1XNttoXaY46cBfixpytJoErED2LBbcY1ZNu9oME3_Jc5Lc4xwANxsmJ5JRhFJaYOZKAhs6yL-Kr58QzsPKASYk455R1rnxUMVu\" alt=\"matriz identidade\"><\/figure><\/div><p>Note que essa diagonal &eacute; formada por elementos em que i=j, isso permite encontrar a lei de forma&ccedil;&atilde;o de uma matriz identidade:&nbsp;<\/p><p>Se i=j, elemento igual a 1<\/p><p>Se i&ne;j, o elemento ser&aacute; igual a 0<\/p><p>Saiba, tamb&eacute;m, que a diagonal citada para a determina&ccedil;&atilde;o de uma matriz identidade &eacute; conhecida como diagonal principal matricial.<\/p><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-matriz-nula\">Matriz nula<\/h3><p>Acontece quando todos os elementos s&atilde;o iguais a zero. Na matriz nula 4&times;3, teremos algo como:<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh3.googleusercontent.com\/1tj8GYDSzJIZ3AYC0IY2_3TACT4Q57TR3VSIQMyQptI4i8CINHpv41YbUoeb8xCqchhs6WKDe4I8_5M9vPTuUfOAsiP2pR6lCxRHoXK9hCKHLhJHfJW9qBFAQRyApAE8ljel16iy\" alt=\"matriz nula\"><\/figure><\/div><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-matriz-linha\">Matriz linha<\/h3><p>Uma matriz linha, como prediz o nome, possui apenas uma linha e mais de uma coluna, ou seja, 1 x n.&nbsp;<\/p><p>A = [ 1&nbsp; 3&nbsp; 5&nbsp; 8&nbsp; 3&nbsp; 6 ]\n\n\n\n<\/p><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-matriz-coluna-nbsp\">Matriz coluna&nbsp;<\/h3><p>De modo semelhante, a matriz coluna ser&aacute; dada por m x 1, com apenas uma coluna e mais de uma linha.&nbsp;<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh6.googleusercontent.com\/-HZyJuKaQoHCl0BNDapzMKwp3hp877fE2K7-wkq-edDWsUMZUzXNA6Xnk-tdb8iqWMpQdL956-Pnvowk-TMS5jsY_qz6sPnVdTWYX6FSB68WqeaKWLgMJEBw3OytGjRsYz48snct\" alt=\"matriz coluna\"><\/figure><\/div><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-matriz-inversa\">Matriz inversa<\/h3><p>Para determinar a matriz inversa, &eacute; necess&aacute;rio que dada uma matriz A (m x n), sua inversa A<sup>-1<\/sup> seja tal que o resultado da multiplica&ccedil;&atilde;o entre A e A<sup>-1<\/sup> &eacute; igual a uma matriz identidade.<\/p><p>A.A<sup>-1<\/sup>=I<sub>n<\/sub><\/p><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-matriz-oposta\">Matriz oposta<\/h3><p>Acontece quando todos os elementos tem seus sinais invertidos. De forma que, para encontrar a matriz oposta de A, basta multiplicar cada a<sub>ij<\/sub> por -1. Veja o exemplo na matriz linha adiante:<\/p><p>&nbsp;&nbsp;&nbsp;A = [1 &nbsp; -2 &nbsp; 5 &nbsp; 7&nbsp; 8&nbsp; 15&nbsp; -30&nbsp; -4]\n\n\n\n<\/p><p>&ndash; A = [-1&nbsp; 2&nbsp; -5&nbsp; -7&nbsp; -8&nbsp; -15&nbsp; 30&nbsp; 4]&nbsp;<\/p><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-matriz-transposta\">Matriz transposta<\/h3><p>Acontece quando os elementos s&atilde;o transportados por meio da troca entre o local de linha (i) e o posicionamento colunar (j). Ou seja, se, em A, ele estava na posi&ccedil;&atilde;o a<sub>23<\/sub> em A<sup>t <\/sup>ele estar&aacute; em a<sub>32<\/sub>.<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter is-resized\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh5.googleusercontent.com\/giYxcjjzK5o9IfHnZj8EcfDL-kNuW_cswWkH_AA3x9YA86qG16U1me1U9b4NiLLCOn0KiVFWORAjq9ksvqwbq_UPH5pHY7GBcV0_uqKlhYkCPaMvJicwnUyhjuxjLmRPGE9Uy_lZ\" alt=\"Matriz transposta\" style=\"width:-170px;height:-218px\"><figcaption class=\"wp-element-caption\">Imagem: Reprodu&ccedil;&atilde;o\/Wikimedia<\/figcaption><\/figure><\/div><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-operacoes-com-matrizes\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Operacoes-com-matrizes\"><\/span>Opera&ccedil;&otilde;es com matrizes<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-soma-de-matrizes\">Soma de matrizes<\/h3><p>A soma entre duas matrizes &eacute; dada pela soma simples entre os elementos de posi&ccedil;&atilde;o an&aacute;loga em cada uma delas. Por isso, &eacute; importante que as matrizes somadas estejam na mesma propor&ccedil;&atilde;o m x n. <\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh3.googleusercontent.com\/lmK76rsQs6Xr9PDtalomJDd4_tP_tGdqHpML_dUjJlHlku4NpeYzA6WgRuGQXO4hyeY0SUMvtbXuhYUMwZ-PAc9Xy3oyPQ6s5u7hnLIWcPjAfJE9WOvF_GbT6HWUeY8QSVbxII7u\" alt=\"Soma de matrizes\"><\/figure><\/div><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-subtracao-de-matrizes\">Subtra&ccedil;&atilde;o de matrizes<\/h3><p id=\"h-de-maneira-semelhante-ao-que-acontece-na-soma-a-subtracao-de-matrizes-requer-a-diminuicao-entre-cada-elemento-semelhante-o-que-fornece-a-matriz-de-resultado-como-mostra-a-figura-abaixo\">De maneira semelhante ao que acontece na soma, a subtra&ccedil;&atilde;o de matrizes requer a diminui&ccedil;&atilde;o entre cada elemento semelhante, o que fornece a matriz de resultado, como mostra a figura abaixo:<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh5.googleusercontent.com\/5XLCXYD4SJMBK56d5I0coVW-Px3TF0CFzFn1NvEOaXXHndSE02lQngMverTZbgu2O9z1NGg0XpjdICvP9zRu18mfyZZ98uC1xqosUxccQIoxzsfMnhrWrU-A0GpjHhz6i72FGBEK\" alt=\"Subtra&ccedil;&atilde;o de matrizes\"><\/figure><\/div><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-multiplicacao-de-matrizes-por-um-numero-real\">Multiplica&ccedil;&atilde;o de matrizes por um n&uacute;mero real<\/h3><p>Multiplicar uma matriz por um n&uacute;mero real N &eacute; o mesmo que multiplicar cada um dos elementos que a comp&otilde;em por N, como voc&ecirc; acompanhar nos c&aacute;lculos a seguir.<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh6.googleusercontent.com\/GxjgZcPQTqn_Bs6LIqtVMNZnBGvwOWbhdvjVthMfsUX-4dRu_IDr2edCGNUaAn5Hp4kQ0c21SiesLfKx3_w2A7WaTL9BHH8XOYUnHy5C9pcNnaZaJE2iOC5jpkkQ6TU7llb7m4p1\" alt=\"Multiplica&ccedil;&atilde;o de matrizes por um n&uacute;mero real\"><\/figure><\/div><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-multiplicacao-de-duas-matrizes\">Multiplica&ccedil;&atilde;o de duas matrizes<\/h3><p>A multiplica&ccedil;&atilde;o de duas matrizes, entretanto, n&atilde;o &eacute; t&atilde;o simples. Primeiramente, &eacute; preciso que o n&uacute;mero de colunas da matriz A seja igual ao n&uacute;mero de linhas da matriz B. Ou seja:<\/p><p class=\"has-text-align-center\"><strong>A <\/strong><strong><sub>l x m<\/sub><\/strong><strong> e B<\/strong><strong><sub>m x n <\/sub><\/strong><strong>= C<\/strong><strong><sub>l x n<\/sub><\/strong><\/p><figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh6.googleusercontent.com\/YIWFV629CK8iRLxlvfU2h56eURx-Zw3NsUhYowsJzAaVWirhdHsIsxFvur-biGyt0Wsjoc-bZy4qjSR8Sk1kxt9EqyWpzzi8Koc_U0sEWgjZaxELLY3btvG0DROhdIf4Vt5W8N_a\" alt=\"Multiplica&ccedil;&atilde;o de duas matrizes\"><\/figure><p>Agora, para realizar a multiplica&ccedil;&atilde;o voc&ecirc; deve multiplicar a linha de uma matriz pela coluna da outra. <\/p><figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh6.googleusercontent.com\/-uE_DCavyeR8WiqMb9pIk91QM629Skb8UZzzsrFUyjcOoUFA65z-XxkNlT8hEaxOs-dC728f44QHU1frMylUykVQiazUvSMF6dWxeUl4HelLkLTV1egtRgrDmGCY7EyT-ALX2cyu\" alt=\"multiplica&ccedil;&atilde;o entre duas matrizes\"><\/figure><p>Mas como desenvolver os c&aacute;lculos?<\/p><p>Multiplique o primeiro elemento da linha pelo primeiro elemento da coluna, depois o segundo elemento da linha vezes o segundo da coluna, e assim sucessivamente. A linha multiplicada ser&aacute; o &ldquo;i&rdquo; do novo elemento, e a coluna em quest&atilde;o ser&aacute; o &ldquo;j&rdquo;. Observe o diagrama:<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh4.googleusercontent.com\/0657gbHJMlIyns7MH4KJ5qHDMrhPGPjuljQioTUk3BzXMrrS41GJBHnM0zBkT2rPIIn_WCqK_FOVT8aNtLG2Yqhanx16ZnexBtot-tIbkEhKFTr9No7NABtstslTY3sV2ggZDDiL\" alt=\"multiplica&ccedil;&atilde;o entre duas matrizes - elementos\"><\/figure><\/div><p>Veja como a multiplica&ccedil;&atilde;o entre a linha A1 e a coluna B2 resultaram no elemento c<sub>12<\/sub>. O mesmo acontece da intera&ccedil;&atilde;o da linha A3 com a coluna B3, teremos o elemento c<sub>33<\/sub>. Abaixo, voc&ecirc; encontra um exemplo pr&aacute;tico dessa opera&ccedil;&atilde;o matricial:<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh6.googleusercontent.com\/KUHK9OI3-lZIoJSSdyHdpM0ZijF469-PE0lYG3DYRJjwOeX-1KmowgU9MIMMgXzam9w-QK6DOY_gePTyOvDBS-Y6ImO2ReaI9k5_fST-gUhXPcGZExrLW-ucRkUhIhTFKgUULc7X\" alt=\"multiplica&ccedil;&atilde;o entre duas matrizes - exemplo\"><\/figure><\/div><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-determinantes-de-matrizes\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Determinantes-de-matrizes\"><\/span>Determinantes de matrizes<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>Determinantes s&atilde;o n&uacute;meros reais que representam matrizes quadradas. Veja algumas regras sobre eles:<\/p><ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Em uma matriz quadrada de ordem 1 (A<sub>1<\/sub>) teremos um determinante igual ao elemento principal da matriz<br>A = [5]&nbsp; &rarr; det A = 5;<\/li>\n\n\n\n<li>Nas matrizes de ordem 2, o determinante &eacute; dado pela subtra&ccedil;&atilde;o diagonal principal &ndash; diagonal secund&aacute;ria;<br><\/li>\n<\/ul><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter is-resized\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh6.googleusercontent.com\/qjvZ4q1UcBaqWaZ5rGGoHDiYa6DIg18liKkxoQ1KZ1G6pdhk_8EwDcPvFCOE2q99f-ltKK_JidV174poNERMUKHVD-wqET-QwWorZ6PhYud3B5Df1X7HXeNSnewbif85C_TFv_4Z\" alt=\"determinantes de matrizes de ordem 2\" style=\"width:329px;height:211px\"><\/figure><\/div><ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Nas matrizes de ordem 3, o determinante &eacute; encontrado por meio da Regra de Sarrus. Essa regra come&ccedil;a com a c&oacute;pia das duas primeiras colunas.<br><br>Depois multiplicam-se e somam-se os valores em todas as diagonais no mesmo sentido da diagonal principal. E, por fim, faz-se a mesma coisa no sentido da diagonal secund&aacute;ria, como mostram a imagem:<\/li>\n<\/ul><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh6.googleusercontent.com\/l-SkeZ6mfjpuqV3TyolkMnTOfyCk5NmyTcFf8XM77h9qfHvKlaulO4WYfeHv4Mlsdz_IMSEPYFkAxKypxS1Vek3Jhw0nLotMBbx5VcTeAxii1LxDqY6oOEunFwGIp3drO_rP0Gzi\" alt=\"determinantes de matrizes de ordem 3\"><\/figure><\/div><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-questoes-sobre-matrizes\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Questoes-sobre-matrizes\"><\/span>Quest&otilde;es sobre matrizes<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>Uma construtora, pretendendo investir na constru&ccedil;&atilde;o de im&oacute;veis em uma metr&oacute;pole com cinco grandes regi&otilde;es, fez uma pesquisa sobre a quantidade de fam&iacute;lias que mudaram de uma regi&atilde;o para outra, de modo a determinar qual regi&atilde;o foi o destino do maior fluxo de fam&iacute;lias, sem levar em considera&ccedil;&atilde;o o n&uacute;mero de fam&iacute;lias que deixaram a regi&atilde;o.&nbsp;<\/p><p>Os valores da pesquisa est&atilde;o dispostos em uma matriz A = [a<sub>ij<\/sub>], i, j &isin; {1,2,3,4,5}, em que o elemento a<sub>ij<\/sub> corresponde ao total de fam&iacute;lias (em dezena) que se mudaram da regi&atilde;o i para a regi&atilde;o j durante um certo per&iacute;odo, e o elemento a &eacute; considerado nulo, uma vez que somente s&atilde;o consideradas mudan&ccedil;as entre regi&otilde;es distintas. A seguir, &eacute; apresentada a matriz com os dados da pesquisa.<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh3.googleusercontent.com\/V3hA75ghhQpDlXcuTa_SjTpS-aqChLy4mpsJCgt5tCyC9GsMxG3u8rvxw1d2Cu9nQDh0yVaCgf0GQKqRhoQFjIGqy_-ccTY1oh5cBbB69_2lfN_NWESumo3OMD2Wq85lkx94Irqx\" alt=\"\"><\/figure><\/div><p>Qual regi&atilde;o foi selecionada para o investimento da construtora?<\/p><p>a) 1<br>b) 2<br>c) 3<br>d) 4<br>e) 5<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh5.googleusercontent.com\/SUsZgU5JtP2oZCzkX_71UFlYmaxPVYuAkj3mRQNSGuGSFFQNoCPO1ZfTzbMnmnULpfxTOEHiHOamT_zkNGpOf6x3egj0LxCJ5XsCzXAKX0W-sF-0uHwcVyrbMKbQ9x12KRIJQ2U4\" alt=\"Exerc&iacute;cios Enem - matrizes\"><\/figure><\/div><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-veja-mais-de-matematica-com-o-estrategia-vestibulares\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Veja-mais-de-matematica-com-o-Estrategia-Vestibulares\"><\/span>Veja mais de matem&aacute;tica com o Estrat&eacute;gia Vestibulares!<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>Nos cursos voltados para o Enem do Estrat&eacute;gia, voc&ecirc; encontrar&aacute; aulas voltadas para os conte&uacute;dos que aparecem nas provas, por &aacute;reas do conhecimento. Al&eacute;m disso, oferecemos programas de mentorias e orienta&ccedil;&otilde;es espec&iacute;ficas para as suas necessidades. Junte-se &agrave; Coruja e fique cada vez mais pr&oacute;ximo da sua aprova&ccedil;&atilde;o!<\/p><p>\n\n\n\n<a id=\"cta\" class=\"cta-imagem\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/curso\/pacote-enem\/\" target=\"blank\">\n                <img decoding=\"async\" width=\"100%\" src=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Enem.jpg\" alt=\"CTA curso Enem\" title=\"CTA curso Enem\">\n        <\/a>\n\n\n\n<\/p><h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Veja-tambem\"><\/span>Veja tamb&eacute;m:<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><ul class=\"wp-block-list\">\n<li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/moda-media-mediana\/\">Moda, m&eacute;dia, mediana: o que &eacute; e como cai no vestibular?<\/a>&nbsp;<\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/matematica-para-fuvest\/\">Matem&aacute;tica para Vunesp &ndash; Fun&ccedil;&otilde;es Matem&aacute;ticas<\/a>&nbsp;<\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/regra-de-tres\/\">Regra de tr&ecirc;s simples e composta: veja como calcular<\/a>&nbsp;<\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/analise-combinatoria-enem\/\">An&aacute;lise Combinat&oacute;ria no Enem: como cai<\/a>&nbsp;<\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/como-calcular-porcentagem\/\">Como calcular porcentagem?<\/a><\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/binomio-de-newton\/\">Bin&ocirc;mio de Newton: o que &eacute;, como calcular e usos<\/a><\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/probabilidade-no-enem\/\">Probabilidade no Enem: conceitos e mais<\/a><\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/prova-matematica-fuvest-2020\/\">Prova de matem&aacute;tica Fuvest 2020 com Resolu&ccedil;&atilde;o Comentada<\/a><\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/prova-matematica-2-fase-unicamp-2020\/\">Resolu&ccedil;&atilde;o da prova de Matem&aacute;tica da 2&ordf; Fase da Unicamp 2020<\/a>&nbsp;<\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/prova-matematica-unesp-2020\/\">Prova de Matem&aacute;tica UNESP 2020 com Resolu&ccedil;&atilde;o Comentada<\/a>&nbsp;<\/li>\n<\/ul><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"Tabelas aparecem com frequ&ecirc;ncia no cotidiano: classifica&ccedil;&atilde;o de times do futebol, notas de corte, posi&ccedil;&atilde;o no vestibular, 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