{"id":69107,"date":"2022-06-04T07:00:00","date_gmt":"2022-06-04T10:00:00","guid":{"rendered":"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/?p=69107"},"modified":"2023-08-14T15:07:27","modified_gmt":"2023-08-14T18:07:27","slug":"progressao-aritmetica","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/progressao-aritmetica\/","title":{"rendered":"Progress\u00e3o aritm\u00e9tica: o que \u00e9, f\u00f3rmulas, usos e exemplos"},"content":{"rendered":"<p>Uma sequ&ecirc;ncia de n&uacute;meros pode ser constru&iacute;da de muitas formas diferentes. &Eacute; poss&iacute;vel, por exemplo, sempre somar um (+1) a cada elemento, assim: 1, 2, 3, 4, 5, 6, e assim por diante. Na matem&aacute;tica, os padr&otilde;es constru&iacute;dos com somas e subtra&ccedil;&otilde;es s&atilde;o chamados de progress&atilde;o aritm&eacute;tica.<p>No decorrer do texto voc&ecirc; encontrar&aacute; defini&ccedil;&otilde;es sobre as progress&otilde;es aritm&eacute;ticas, conhecer&aacute; a l&oacute;gica por tr&aacute;s dessas sequ&ecirc;ncias, al&eacute;m de ver o desenvolvimento das f&oacute;rmulas. Veja tamb&eacute;m exerc&iacute;cios resolvidos sobre esse assunto, que &eacute; recorrente em v&aacute;rios vestibulares e no Enem. Vamos l&aacute;!<\/p><div id=\"ez-toc-container\" class=\"ez-toc-v2_0_76 counter-hierarchy ez-toc-counter ez-toc-transparent ez-toc-container-direction\">\n<div class=\"ez-toc-title-container\"><p class=\"ez-toc-title\" style=\"cursor:inherit\">Navegue pelo conte\u00fado<\/p>\n<\/div><nav><ul class='ez-toc-list ez-toc-list-level-1 ' ><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-1\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/progressao-aritmetica\/#O-que-e-progressao-aritmetica\" >O que &eacute; progress&atilde;o aritm&eacute;tica?<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-2\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/progressao-aritmetica\/#Classificacoes-da-progressao-aritmetica\" >Classifica&ccedil;&otilde;es da progress&atilde;o aritm&eacute;tica<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-3\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/progressao-aritmetica\/#Formulas-da-progressao-aritmetica\" >F&oacute;rmulas da progress&atilde;o aritm&eacute;tica<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-4\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/progressao-aritmetica\/#Propriedades-da-PA\" >Propriedades da P.A.<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-5\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/progressao-aritmetica\/#Aprenda-mais-matematica-com-a-Coruja\" >Aprenda mais matem&aacute;tica com a Coruja<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-6\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/progressao-aritmetica\/#Veja-tambem\" >Veja tamb&eacute;m:<\/a><\/li><\/ul><\/nav><\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-o-que-e-progressao-aritmetica\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"O-que-e-progressao-aritmetica\"><\/span>O que &eacute; progress&atilde;o aritm&eacute;tica?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>A progress&atilde;o aritm&eacute;tica &eacute; uma sequ&ecirc;ncia de n&uacute;meros em que a diferen&ccedil;a entre dois termos consecutivos &eacute; sempre a mesma. Como vimos anteriormente, ela possui um padr&atilde;o de constru&ccedil;&atilde;o: admite-se um valor r que ser&aacute; subtra&iacute;do ou adicionado para encontrar o pr&oacute;ximo termo.<\/p><p>Para desenvolver uma dessas progress&otilde;es, admite-se um primeiro elemento, chamado de a<sub>1<\/sub>, um coeficiente r e iniciam-se os c&aacute;lculos, da seguinte forma:<\/p><p class=\"has-text-align-center\"><span id=\"urn:local-annotation-521486\" class=\"textannotation disambiguated\" itemid=\"https:\/\/data.wordlift.io\/wl110249\/entity\/progressao-aritmetica\">P.A. = (a<sub>1<\/sub>, a<sub>1<\/sub> + r, a<sub>1<\/sub> + r + r, a<sub>1<\/sub> + r + r +r, &hellip;)<\/span><\/p><p>Note que o n&uacute;mero subscrito em a, a<sub>n<\/sub>, representa a posi&ccedil;&atilde;o do elemento dentro da progress&atilde;o.<\/p><p>Se a<sub>1<\/sub> = 2 e r=3, teremos:<\/p><p class=\"has-text-align-center\">P.A. = (2, 2 + 3, 2 + 3 + 3, 2 +3 +3 +3, &hellip;)<\/p><p class=\"has-text-align-center\">P.A. = (2, 5, 8, 11, &hellip;)<\/p><p>+ Veja mais: <a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/aritmetica\/\">Aritm&eacute;tica: o que &eacute;, opera&ccedil;&otilde;es b&aacute;sicas, quest&otilde;es e muito mais!<\/a><\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-classificacoes-da-progressao-aritmetica\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Classificacoes-da-progressao-aritmetica\"><\/span>Classifica&ccedil;&otilde;es da progress&atilde;o aritm&eacute;tica<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>Uma progress&atilde;o aritm&eacute;tica pode ser classificada como crescente, constante ou decrescente.<\/p><ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Quando o valor de r&gt;0, a sequ&ecirc;ncia num&eacute;rica cresce a cada termo, por isso ela &eacute; considerada crescente;<\/li>\n\n\n\n<li>Se r=0, todos os termos da P.A. apresentar&atilde;o o mesmo valor, iguais a a<sub>1<\/sub> &mdash; essa &eacute; uma progress&atilde;o aritm&eacute;tica constante; e<\/li>\n\n\n\n<li>Se r&lt;0, o padr&atilde;o num&eacute;rico diminui a cada elemento, j&aacute; que &eacute; uma subtra&ccedil;&atilde;o que constr&oacute;i a P.A.<\/li>\n<\/ul><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-formulas-da-progressao-aritmetica\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Formulas-da-progressao-aritmetica\"><\/span>F&oacute;rmulas da progress&atilde;o aritm&eacute;tica<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-formula-do-termo-geral-da-p-a\">F&oacute;rmula do termo geral da P.A.<\/h3><p>Conforme vimos no exemplo anterior, o coeficiente sempre ser&aacute; somado ao termo consecutivo, de maneira que:<\/p><p class=\"has-text-align-center\">a<sub>1<\/sub> = a<sub>1<\/sub><\/p><p class=\"has-text-align-center\">a<sub>2 <\/sub>= a<sub>1 <\/sub>+ r<\/p><p class=\"has-text-align-center\">a<sub>3 <\/sub>= a<sub>1 <\/sub>+ 2r<\/p><p class=\"has-text-align-center\">a<sub>4 <\/sub>= a<sub>1 <\/sub>+ 3r<\/p><p class=\"has-text-align-center\">a<sub>5 <\/sub>= a<sub>1 <\/sub>+ 4r<\/p><p>Agora, te convido a observar o padr&atilde;o nas equa&ccedil;&otilde;es acima. Veja como a posi&ccedil;&atilde;o do termo dentro da sequ&ecirc;ncia se relaciona com o n&uacute;mero que multiplica o coeficiente r, por exemplo em a<strong><sub>1<\/sub><\/strong> = a<sub>1 <\/sub>+ <strong>0<\/strong>.r e a<strong><sub>4<\/sub><\/strong><sub> <\/sub>= a<sub>1 <\/sub>+ <strong>3<\/strong>r.<\/p><p>Ao notar esse padr&atilde;o os matem&aacute;ticos conseguiram compreender como encontrar um termo qualquer de uma progress&atilde;o aritm&eacute;tica:<\/p><p class=\"has-text-align-center\">a<sub>n<\/sub> = a<sub>1<\/sub> + (n-1).r<\/p><p>A f&oacute;rmula acima &eacute; conhecida como termo geral da P.A. e possui muitos usos importantes nas provas de vestibular. A partir desses racioc&iacute;nios, &eacute; poss&iacute;vel construir padr&otilde;es matem&aacute;ticos para alguns casos especiais, veja a seguir como resolver um exerc&iacute;cio da Unicamp somente com manipula&ccedil;&otilde;es dessa f&oacute;rmula e conhecimentos de geometria plana.<\/p><p>(UNICAMP 2014)<\/p><p>O per&iacute;metro de um tri&acirc;ngulo ret&acirc;ngulo &eacute; igual a 6,0 m e as medidas dos lados est&atilde;o em progress&atilde;o aritm&eacute;tica (PA). A &aacute;rea desse tri&acirc;ngulo &eacute; igual a:<\/p><p>A) 3,0 m<sup>2<\/sup>.<br>B) 2,0 m<sup>2<\/sup>.<br>C) 1,5 m<sup>2<\/sup>.<br>D) 3,5 m<sup>2<\/sup>.<\/p><p>O per&iacute;metro de um tri&acirc;ngulo &eacute; dado pela soma entre todos os seus lados que, conforma o enunciado, se trata de uma progress&atilde;o aritm&eacute;tica P.A. = (a, a+r, a + 2r). Para facilitar os c&aacute;lculos podemos criar algumas manipula&ccedil;&otilde;es.&nbsp;<\/p><p>Se considerarmos que a+r = x, encontra-se o seguinte padr&atilde;o:<\/p><p>a = (a + r) &ndash; r<br>a = x &ndash; r<br>a + 2r = (a + r) + r<\/p><p>a + 2r = x + r, ou seja,&nbsp; P.A = (x-r, x, x+r)<\/p><p>Com isso, deve-se somar todos os termos da P.A e igualar ao per&iacute;metro:<\/p><p>x &ndash; r + x + x + r = 6<br>3x = 6<\/p><p>x = 2, a progress&atilde;o agora &eacute; dada por (2-r, 2, 2+r)<\/p><p>Veja como a simplifica&ccedil;&atilde;o da P.A. foi importante para o desenvolvimento da quest&atilde;o, agora que j&aacute; temos o valor de x em m&atilde;os, devemos lembrar que o tri&acirc;ngulo &eacute; ret&acirc;ngulo e aplicamos o teorema de pit&aacute;goras. Para isso vamos considerar que o maior lado &eacute; a hipotenusa, assim:<\/p><p>hipotenusa<sup>2<\/sup> = cateto<sup>2<\/sup> + cateto<sup>2<\/sup><br>(2+r)<sup>2<\/sup> = 2<sup>2<\/sup> +(2 &ndash; r)<sup>2<\/sup><\/p><p>Para desenvolver esse c&aacute;lculo, lan&ccedil;amos m&atilde;o da propriedade distributiva da exponencia&ccedil;&atilde;o, assim:<\/p><p>(2+r).(2+r) = 4 + (2-r).(2-r)<br>2.2 + 2.r + r.2 + r.r = 4 + 2.2 &ndash; 2.r &ndash; r.2 + r.r<br>4 + 4.r + r<sup>2<\/sup> = 4 + 4 &ndash; 4.r + r<sup>2<\/sup><br>4 + 4.r + r<sup>2<\/sup> = 8 &ndash; 4.r + r<sup>2<\/sup><\/p><p>4.r <s>+ r<sup>2<\/sup><\/s> = 8 &ndash; 4 &ndash; 4.r <s>+ r<sup>2<\/sup><\/s><br>4.r + 4.r = 4<br>8.r = 4<br>r = 4\/8<br>r = &frac12;<\/p><p>Agora que j&aacute; encontramos o valor de r, sabemos que progress&atilde;o aritm&eacute;tica ser&aacute; (2-&frac12;, 2, 2+&frac12;) = (3\/2, 2, 5\/2), de forma que o tri&acirc;ngulo ser&aacute;:<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh6.googleusercontent.com\/X7dgHGdUJG68XrKh8UwWw5mUGnBnNdmA_JBn9fJcwV9vFwZIluCJfwfBR2fFl6fDKg1eNSxVsPOuf0WmGvg953gTu3AdiBRRUlvllISv3LZkRsJiv7DyNPWSOQFNE2sG4_nNtoHKKgOfXuzEAQ\" alt=\"progress&atilde;o aritm&eacute;tica - resolu&ccedil;&atilde;o de exerc&iacute;cios\"><\/figure><\/div><p>Se a &aacute;rea de um tri&acirc;ngulo ret&acirc;ngulo &eacute; dada pela multiplica&ccedil;&atilde;o dos catetos dividida por dois, ent&atilde;o:<\/p><p>A = (1,5.2)\/2<br>A = 3\/2<\/p><p>A = 1,5 m<sup>2<\/sup>, como aponta a alternativa C.<\/p><p>+ Veja tamb&eacute;m: <a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/progressoes\/\" target=\"_blank\">Progress&otilde;es aritm&eacute;ticas e geom&eacute;tricas: o que s&atilde;o, como calcular e quest&otilde;es<\/a><\/p><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-soma-dos-termos-de-uma-p-a\">Soma dos termos de uma P.A.<\/h3><p>Imagine uma progress&atilde;o aritm&eacute;tica de n elementos, como voc&ecirc; faria para encontrar a soma de todos esses valores de uma maneira f&aacute;cil? Em vez de somar n&uacute;mero por n&uacute;mero, existe uma f&oacute;rmula que sintetiza os c&aacute;lculos:<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh4.googleusercontent.com\/YDv8FxkjSauNK3YnHK-OBweiWEMWdxTGscbb1uU2N3nwPdExTxKm85XFr3Ub4JNIbBkJPyYavSRqe0qNM4M_7eXo4pDHMWYcbyQr3c_iw0IDkHwyHGBv4ntjp2sfpW9P0bbDG-5nD6jyhCR7lQ\" alt=\"progress&atilde;o aritm&eacute;tica - rf&oacute;rmula da soma dos termos\"><\/figure><\/div><p>n = posi&ccedil;&atilde;o do elemento final da sequ&ecirc;ncia<\/p><p>a<sub>n<\/sub> = elemento final da sequ&ecirc;ncia<\/p><p>S<sub>n<\/sub>= soma de todos os elementos da P.A.<\/p><p>Veja um exemplo de exerc&iacute;cio do Enem que utiliza os conhecimentos abordados at&eacute; aqui:<\/p><p>(Enem &ndash; 2013)&nbsp;<\/p><p>As proje&ccedil;&otilde;es para a produ&ccedil;&atilde;o de arroz no per&iacute;odo de 2012-2021, em uma determinada regi&atilde;o produtora, apontam para uma perspectiva de crescimento constante da produ&ccedil;&atilde;o anual. O quadro apresenta a quantidade de arroz, em toneladas, que ser&aacute; produzida nos primeiros anos desse per&iacute;odo, de acordo com essa proje&ccedil;&atilde;o.<\/p><figure class=\"wp-block-table\"><table><tbody><tr><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"><strong>Ano<\/strong><\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"><strong>Projeto da produ&ccedil;&atilde;o (t)<\/strong><\/td><\/tr><tr><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">2012<\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">50,25<\/td><\/tr><tr><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">2013<\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">51,50<\/td><\/tr><tr><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">2014<\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">52,75<\/td><\/tr><tr><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">2015<\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">54,00<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure><p>A quantidade total de arroz, em toneladas, que dever&aacute; ser produzida no per&iacute;odo de 2012 a 2021, ser&aacute; de:<\/p><p>A) 497,25<br>B) 500,85<br>C) 502,87<br>D) 558,75<br>E) 563,25<\/p><p>O primeiro passo da resolu&ccedil;&atilde;o &eacute; observar qual padr&atilde;o num&eacute;rico est&aacute; sendo utilizado nos valores do projeto de produ&ccedil;&atilde;o na tabela. Podemos observar que:<\/p><p>51,5 &ndash; 50,25 = 1,25<\/p><p>52,75 &ndash; 51,5 = 1,25<\/p><p>54 &ndash; 52,75 = 1,25<\/p><p>Assim, a cada ano, o projeto de produ&ccedil;&atilde;o &eacute; acrescido em 1,25t. Como falamos de uma sequ&ecirc;ncia num&eacute;rica que se inicia com 50,25, com padr&atilde;o de soma, admitimos que trata-se de uma P.A., em que a<sub>1<\/sub>=50,25, a<sub>2<\/sub>=51,5, a<sub>3<\/sub>=52,75 e assim por diante.<\/p><p>Para encontrar a soma das toneladas a serem produzidas entre 2012 e 2021, admitimos que 2021 &eacute; o a<sub>10<\/sub> da progress&atilde;o aritm&eacute;tica. A partir disso, utiliza-se a f&oacute;rmula de soma dos n termos de uma P.A.<\/p><p>S<sub>10<\/sub> = 10.(a<sub>1<\/sub> + a<sub>10<\/sub>)\/2<\/p><p>Com a f&oacute;rmula dos termos gerais da progress&atilde;o aritm&eacute;tica, teremos que:<\/p><p>r = 1,25<\/p><p>a<sub>1<\/sub>=50,25<\/p><p>a<sub>10<\/sub> = 50,25 + (10-1).1,25<br>a<sub>10<\/sub>= 50,25 + 9.1,25<br>a<sub>10<\/sub>= 50,25 + 11,25<\/p><p>a<sub>10<\/sub> = 61,5, ent&atilde;o:<\/p><p>S<sub>10<\/sub> = 10 (50,25 + 61,5) \/ 2<br>S<sub>10<\/sub> = 10 . 1117,5 \/2<\/p><p>S<sub>10<\/sub> = 558,75, conforme a alternativa D.<\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-propriedades-da-p-a\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Propriedades-da-PA\"><\/span>Propriedades da P.A.<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><ul class=\"wp-block-list\">\n<li>A soma dos termos que est&atilde;o &agrave; mesma dist&acirc;ncia dos extremos &eacute; igual a soma dos extremos, assim:<\/li>\n<\/ul><ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Em tr&ecirc;s termos consecutivos da P.A, a m&eacute;dia aritm&eacute;tica dos dois da ponta &eacute; igual ao do meio.<\/li>\n<\/ul><ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Quando o n&uacute;mero de termos n da P.A. &eacute; &iacute;mpar, o termo que fica no meio &eacute; igual a m&eacute;dia aritm&eacute;tica dos elementos extremos.<\/li>\n<\/ul><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-aprenda-mais-matematica-com-a-coruja\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Aprenda-mais-matematica-com-a-Coruja\"><\/span>Aprenda mais matem&aacute;tica com a Coruja<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>Nos cursos preparat&oacute;rios do Estrat&eacute;gia Vestibulares, voc&ecirc; ter&aacute; acesso a exerc&iacute;cios exclusivos e simulados de matem&aacute;tica que te ajudar&atilde;o a treinar o racioc&iacute;nio l&oacute;gico das quest&otilde;es. 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