{"id":74843,"date":"2022-09-04T07:00:00","date_gmt":"2022-09-04T10:00:00","guid":{"rendered":"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/?p=74843"},"modified":"2022-09-01T11:19:25","modified_gmt":"2022-09-01T14:19:25","slug":"produtos-notaveis","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/produtos-notaveis\/","title":{"rendered":"Produtos not\u00e1veis: defini\u00e7\u00e3o, f\u00f3rmulas e aplica\u00e7\u00f5es"},"content":{"rendered":"<p>Nos estudos para vestibular, voc&ecirc; j&aacute; se deparou com express&otilde;es num&eacute;ricas enormes, com pot&ecirc;ncias, par&ecirc;nteses e colchetes? Esse tipo de conta leva tempo para ser resolvido, por isso, voc&ecirc; deve conhecer os produtos not&aacute;veis: f&oacute;rmulas matem&aacute;ticas para resolver equa&ccedil;&otilde;es de maneira mais r&aacute;pida, a partir de ideias j&aacute; estudadas!<p>Continue lendo este artigo e conhe&ccedil;a os principais produtos not&aacute;veis, al&eacute;m de observar como eles s&atilde;o formados a partir da propriedade distributiva. Veja resolu&ccedil;&otilde;es de quest&otilde;es utilizando essas ferramentas e prepare-se melhor para a prova de matem&aacute;tica do seu vestibular!<\/p><div id=\"ez-toc-container\" class=\"ez-toc-v2_0_76 counter-hierarchy ez-toc-counter ez-toc-transparent ez-toc-container-direction\">\n<div class=\"ez-toc-title-container\"><p class=\"ez-toc-title\" style=\"cursor:inherit\">Navegue pelo conte\u00fado<\/p>\n<\/div><nav><ul class='ez-toc-list ez-toc-list-level-1 ' ><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-1\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/produtos-notaveis\/#O-que-sao-produtos-notaveis\" >O que s&atilde;o produtos not&aacute;veis?<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-2\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/produtos-notaveis\/#Principais-produtos-notaveis\" >Principais produtos not&aacute;veis<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-3\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/produtos-notaveis\/#Questao-de-vestibular-sobre-produtos-notaveis\" >Quest&atilde;o de vestibular sobre produtos not&aacute;veis<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-4\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/produtos-notaveis\/#Estude-para-o-Enem-com-o-Estrategia-Vestibulares\" >Estude para o Enem com o Estrat&eacute;gia Vestibulares!<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-5\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/produtos-notaveis\/#Veja-tambem\" >Veja tamb&eacute;m:<\/a><\/li><\/ul><\/nav><\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-o-que-sao-produtos-notaveis\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"O-que-sao-produtos-notaveis\"><\/span>O que s&atilde;o produtos not&aacute;veis?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>Produtos not&aacute;veis s&atilde;o express&otilde;es alg&eacute;bricas que podem ser aplicadas na resolu&ccedil;&atilde;o de muitas equa&ccedil;&otilde;es e problemas de exatas. O termo deve ser entendido da seguinte maneira:<\/p><ul class=\"wp-block-list\"><li>&ldquo;produtos&rdquo; faz refer&ecirc;ncia &agrave; multiplica&ccedil;&atilde;o presente nas express&otilde;es matem&aacute;ticas;<\/li><li>&ldquo;not&aacute;veis&rdquo; qualifica essas multiplica&ccedil;&otilde;es, j&aacute; que elas t&ecirc;m grande import&acirc;ncia no momento de resolver equa&ccedil;&otilde;es de diferentes n&iacute;veis de dificuldade.&nbsp;<\/li><\/ul><p>Os produtos not&aacute;veis mais conhecidos s&atilde;o o quadrado da soma (ou quadrado perfeito), quadrado da diferen&ccedil;a, cubo da soma, cubo da diferen&ccedil;a e produto da soma pela diferen&ccedil;a. Vamos observar cada um deles nos t&oacute;picos a seguir.&nbsp;<\/p><p>Por enquanto, voc&ecirc; deve saber que cada produto not&aacute;vel &eacute; representado por um grupo de letras, n&uacute;mero e pot&ecirc;ncias. Geralmente, eles utilizam a propriedade distributiva da multiplica&ccedil;&atilde;o para encontrar f&oacute;rmulas gen&eacute;ricas de express&otilde;es que parecem dif&iacute;ceis de resolver, como no exemplo abaixo:<\/p><p>(a+b)<sup>2<\/sup> = a<sup>2<\/sup> + 2.a.b + b<sup>2<\/sup><\/p><p>Dada a forma como os termos do lado esquerdo foram rearranjados no lado direito, nota-se que os produtos not&aacute;veis constituem f&oacute;rmulas polinomiais.<\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-principais-produtos-notaveis\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Principais-produtos-notaveis\"><\/span>Principais produtos not&aacute;veis<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-quadrado-da-soma-ou-quadrado-perfeito\">Quadrado da soma ou quadrado perfeito&nbsp;<\/h3><p>O termo &ldquo;quadrado da soma&rdquo; diz respeito ao fato de elevar uma soma ao quadrado, assim: (2+3)<sup>2<\/sup>. De fato, essa conta pode ser feita pela simples soma entre dois e tr&ecirc;s, seguida da potencia&ccedil;&atilde;o do resultado.&nbsp;<\/p><p>A proposta dos produtos not&aacute;veis, entretanto, tamb&eacute;m tenta responder essa express&atilde;o caso ela possua uma inc&oacute;gnita, dentro de uma equa&ccedil;&atilde;o completa.&nbsp;<\/p><p>(2 + x)<sup>2<\/sup> = x<sup>2<\/sup> + x.5<\/p><p>Considerando a equa&ccedil;&atilde;o acima, podemos aplicar a propriedade distributiva para encontrar o valor de x. Nesse ponto, conhecer o produto not&aacute;vel quadrado da soma, pode ajudar!&nbsp;<\/p><p>Assuma que a e b s&atilde;o dois termos quaisquer de uma equa&ccedil;&atilde;o, vamos exponenciar a pot&ecirc;ncia quadrada. Depois disso, os termos semelhantes s&atilde;o agrupados em um s&oacute; termo.&nbsp;<\/p><p>(a+b)<sup>2<\/sup> = (a+b).(a+b)<\/p><p>&nbsp;(a+b)<sup>2<\/sup> = a<sup>2<\/sup> + a.b + a.b + b<sup>2<\/sup><\/p><p>(a+b)<sup>2<\/sup> = a<sup>2<\/sup> + 2.a.b + b<sup>2<\/sup><\/p><p>A imagem abaixo demonstra essas etapas, al&eacute;m de representar geometricamente o produto not&aacute;vel:&nbsp;<\/p><div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh4.googleusercontent.com\/s84VW0LS4_sEzVlKYJhbq8gNKRV86IkfTrcp0o0Uzgm47bV80fPnTTMACCvUBNH4xj6LfGPUY_vgoEHatXRjUZGOxH0kpkY_Yh8TUkGTbS7G7dv1ncbFeQeyVApdAqkEvaF81H4Ql9vE0PhydukrAPU\" alt=\"Produtos not&aacute;veis - exemplos\"><figcaption>Imagem: Reprodu&ccedil;&atilde;o\/Wikimedia<\/figcaption><\/figure><\/div><p>A frase que resume esse produto not&aacute;vel &eacute;: o quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o primeiro termo vezes o segundo, mais o quadrado do segundo termo.<\/p><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-quadrado-da-diferenca\">Quadrado da diferen&ccedil;a<\/h3><p>De maneira semelhante ao que foi demonstrado no item anterior, o quadrado da diferen&ccedil;a &eacute; a pot&ecirc;ncia de uma subtra&ccedil;&atilde;o, como (x-y)<sup>2<\/sup>. A forma&ccedil;&atilde;o do produto not&aacute;vel tamb&eacute;m ocorre a partir da propriedade distributiva da multiplica&ccedil;&atilde;o, como voc&ecirc; observa abaixo.&nbsp;<\/p><div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh6.googleusercontent.com\/SoSkaHeroT3rrVInbzsQ2DkgI8BLBIqOSEdsULRWJ3wB_dUOOJa816huizjt40b3xEcQ8bbnShlyqDk0dOjb9d--f1qPq9e8WQ7Xy_bkeh4hpY0qniT8yYl7ZR3fPP-8gqRMeB79ifG6rU28Qqv139M\" alt=\"Produtos not&aacute;veis - exemplos\"><\/figure><\/div><p>Esses c&aacute;lculos podem ser resumidos no enunciado: o quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o primeiro vezes o segundo, somado ao quadrado do segundo termo.<\/p><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-soma-pela-diferenca\">Soma pela diferen&ccedil;a<\/h3><p>O produto da soma pela diferen&ccedil;a fornece a f&oacute;rmula para quando se multiplica a soma de dois n&uacute;meros pela sua subtra&ccedil;&atilde;o, assim:<\/p><p>(a+b).(a-b) = ?<\/p><p>A f&oacute;rmula ser&aacute; obtida, novamente, pela multiplica&ccedil;&atilde;o e distribui&ccedil;&atilde;o dos termos, de forma que:<\/p><div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh4.googleusercontent.com\/HlS6Q-LwRJHZZ6_WlnEYpsVEE5NdPyAwa9R0BLlt18vHIt2GqE_JRk69tw2T-AV-MqZjLESySBiidPciVfxMrpHM0KjaU7iB3WYuJhKxjgLFQw9uoTqIgpUE_EtgMNoRwYDe_5CSQK-qa3bUbZ9Wj4o\" alt=\"\"><\/figure><\/div><p>O produto da soma pela diferen&ccedil;a &eacute; igual a diferen&ccedil;a dos quadrados dos dois termos. &Eacute; importante saber que voc&ecirc; tamb&eacute;m pode substituir a<sup>2<\/sup> &ndash; b<sup>2<\/sup> por (a+b).(a-b), conforme a necessidade da quest&atilde;o.<\/p><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-cubo-da-soma\">Cubo da soma&nbsp;<\/h3><div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh3.googleusercontent.com\/nq-DWgeHFnqT8VTI8Xd7nxSmI7phkSm7my0htADgLdcxMCs0IK6v4VkTeosw9ZsTzuIwMzDETEFLe7yXRNv5xQnBaXLcuXdjBQq2mqi5G_r9pmMsb50tzYRCYeXr_uIdOucVuB6THaxAW1WCQDSJdz0\" alt=\"representa&ccedil;&atilde;o gr&aacute;fica de produto not&aacute;vel\"><\/figure><\/div><p>O cubo da soma, como aponta o nome, &eacute; o c&aacute;lculo em que uma soma de termos &eacute; elevada ao cubo, assim: (a+b)<sup>3<\/sup>. A partir da propriedade distributiva, &eacute; encontrada a f&oacute;rmula que simplifica esse c&aacute;lculo:<\/p><p>(a+b)<sup>3<\/sup> = (a+b).(a+b).(a+b)<\/p><p>(a+b)<sup>3<\/sup> = (a+b).(a+b)<sup>2<\/sup><\/p><p>(a+b)<sup>3<\/sup> = (a+b).(a<sup>2<\/sup> + 2.a.b + b<sup>2<\/sup>)<\/p><p>(a+b)<sup>3<\/sup> = (a.a<sup>2<\/sup> + 2.a.b.a + b<sup>2<\/sup>.a) + (b.a<sup>2<\/sup> + 2.a.b.b + b<sup>2<\/sup>.b)<\/p><p>(a+b)<sup>3<\/sup> = a<sup>3<\/sup> + 2.a<sup>2<\/sup>.b + b<sup>2<\/sup>.a + b.a<sup>2<\/sup> + 2.a.b<sup>2<\/sup> + b<sup>3<\/sup><\/p><p>(a+b)<sup>3<\/sup> = a<sup>3<\/sup> + 3.a<sup>2<\/sup>.b&nbsp; + 3.a.b<sup>2<\/sup> + b<sup>3<\/sup><\/p><p>Veja como seria trabalhoso encontrar toda essa express&atilde;o desde o in&iacute;cio, al&eacute;m de tomar um grande tempo de sua prova. Por isso, estude ao m&aacute;ximo os produtos not&aacute;veis para manter em mente as f&oacute;rmulas e, com isso, ter mais seguran&ccedil;a e tempo de resolu&ccedil;&atilde;o de prova.&nbsp;<\/p><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-cubo-da-diferenca\">Cubo da diferen&ccedil;a<\/h3><p>O cubo da diferen&ccedil;a se aproxima do que foi abordado no t&oacute;pico anterior, deve ser aplicada a distributiva, de forma que:<\/p><p>(a-b)<sup>3<\/sup> = (a-b).(a-b).(a-b)<\/p><p>(a-b)<sup>3<\/sup> = (a-b).(a-b)<sup>2<\/sup><\/p><p>(a-b)<sup>3<\/sup> = (a-b).(a<sup>2<\/sup> &ndash; 2.a.b + b<sup>2<\/sup>)<\/p><p>(a-b)<sup>3<\/sup> = a<sup>3<\/sup> &ndash; 2a<sup>2<\/sup>b + ab<sup>2<\/sup> &ndash; a<sup>2<\/sup>b + 2ab<sup>2<\/sup> &ndash; b<sup>3<\/sup>&nbsp;<\/p><p>(a-b)<sup>3<\/sup> =a<sup>3<\/sup> &ndash; 3a<sup>2<\/sup>b + 3ab<sup>2<\/sup> &ndash; b<sup>3<\/sup><\/p><p>Com a f&oacute;rmula encontrada, &eacute; poss&iacute;vel substituir com facilidade uma diferen&ccedil;a elevada &agrave; terceira pot&ecirc;ncia em diversas express&otilde;es matem&aacute;ticas. Veja, abaixo, uma resolu&ccedil;&atilde;o de exerc&iacute;cio do vestibular sobre produtos not&aacute;veis.<\/p><p>+ Veja mais: <a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/aritmetica\/\" target=\"_blank\">Aritm&eacute;tica: o que &eacute;, opera&ccedil;&otilde;es b&aacute;sicas, quest&otilde;es e muito mais!<\/a><\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-questao-de-vestibular-sobre-produtos-notaveis\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Questao-de-vestibular-sobre-produtos-notaveis\"><\/span>Quest&atilde;o de vestibular sobre produtos not&aacute;veis<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>(IBMEC) A diferen&ccedil;a entre o quadrado da soma e o quadrado da diferen&ccedil;a de dois n&uacute;meros reais &eacute; igual:<\/p><p>a) a diferen&ccedil;a dos quadrados dos dois n&uacute;meros.<\/p><p>b) a soma dos quadrados dos dois n&uacute;meros.<\/p><p>c) a diferen&ccedil;a dos dois n&uacute;meros.<\/p><p>d) ao dobro do produto dos n&uacute;meros.<\/p><p>e) ao qu&aacute;druplo do produto dos n&uacute;meros.<\/p><p>O enunciado pede o resultado da express&atilde;o num&eacute;rica em que o quadrado da diferen&ccedil;a &eacute; subtra&iacute;do do quadrado da soma, assim: (a + b)<sup>2<\/sup> &ndash; (a &ndash; b)<sup>2<\/sup>.<\/p><p>Existe a possibilidade de resolver o problema com a propriedade distributiva, o que pode dar muito trabalho e tomar muito tempo. A melhor forma de resolver &eacute; substituir os termos pelas f&oacute;rmulas dos produtos not&aacute;veis, como demonstrado abaixo.<br><\/p><p>Considerando que, (a + b)<sup>2<\/sup> = a<sup>2<\/sup> + 2.a.b + b<sup>2<\/sup> e (a &ndash; b)<sup>2 <\/sup>= a<sup>2<\/sup> &ndash; 2.a.b + b<sup>2<\/sup>, teremos que:<\/p><p>(a + b)<sup>2<\/sup> &ndash; (a &ndash; b)<sup>2 <\/sup>&nbsp;= (a<sup>2<\/sup> + 2.a.b + b<sup>2<\/sup>) &ndash; (a<sup>2<\/sup> &ndash; 2.a.b + b<sup>2<\/sup>)<\/p><p>Agora, basta distribuir os sinais e encontrar a express&atilde;o pedida pela quest&atilde;o.<\/p><p>(a + b)<sup>2<\/sup> &ndash; (a &ndash; b)<sup>2 <\/sup>&nbsp;= a<sup>2<\/sup> + 2.a.b + b<sup>2<\/sup> &ndash; a<sup>2<\/sup> + 2.a.b &ndash; b<sup>2<\/sup><\/p><p>(a + b)<sup>2<\/sup> &ndash; (a &ndash; b)<sup>2 <\/sup>&nbsp;= a<sup>2<\/sup> &ndash; a<sup>2 <\/sup>+ 2.a.b + 2.a.b &ndash; b<sup>2<\/sup> + b<sup>2<\/sup><\/p><p>(a + b)<sup>2<\/sup> &ndash; (a &ndash; b)<sup>2 <\/sup>&nbsp;= 2.a.b + 2.a.b&nbsp;<\/p><p>(a + b)<sup>2<\/sup> &ndash; (a &ndash; b)<sup>2 <\/sup>&nbsp;= 4.a.b<\/p><p>Assim, a alternativa correta &eacute; a letra E.<\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-estude-para-o-enem-com-o-estrategia-vestibulares\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Estude-para-o-Enem-com-o-Estrategia-Vestibulares\"><\/span>Estude para o Enem com o Estrat&eacute;gia Vestibulares!<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>Diversas quest&otilde;es comentadas a passo a passo, f&oacute;rum de d&uacute;vidas, professores especialistas e aulas did&aacute;ticas. 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