{"id":83145,"date":"2022-11-30T08:50:16","date_gmt":"2022-11-30T11:50:16","guid":{"rendered":"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/?p=83145"},"modified":"2023-11-30T14:07:56","modified_gmt":"2023-11-30T17:07:56","slug":"fatoracao","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/fatoracao\/","title":{"rendered":"Fatora\u00e7\u00e3o: o que \u00e9, como fazer, aplica\u00e7\u00f5es e quest\u00f5es"},"content":{"rendered":"<p>Fatora&ccedil;&atilde;o &eacute; um processo matem&aacute;tico utilizado para transformar n&uacute;meros reais em uma grande multiplica&ccedil;&atilde;o de valores. Isso facilita, por exemplo, quando estamos em busca do m&iacute;nimo m&uacute;ltiplo comum entre diferentes n&uacute;meros ou quando precisamos realizar c&aacute;lculos com diferentes expoentes e logaritmos.&nbsp;<p>Para aprender a fatora&ccedil;&atilde;o com mais detalhes, quais s&atilde;o os tipos existentes, os diferentes m&eacute;todos para realiz&aacute;-la e acompanhar a aplica&ccedil;&atilde;o desse conhecimento em quest&otilde;es de vestibulares, continue lendo este artigo.<\/p><div id=\"ez-toc-container\" class=\"ez-toc-v2_0_76 counter-hierarchy ez-toc-counter ez-toc-transparent ez-toc-container-direction\">\n<div class=\"ez-toc-title-container\"><p class=\"ez-toc-title\" style=\"cursor:inherit\">Navegue pelo conte\u00fado<\/p>\n<\/div><nav><ul class='ez-toc-list ez-toc-list-level-1 ' ><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-1\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/fatoracao\/#O-que-e-fatoracao\" >O que &eacute; fatora&ccedil;&atilde;o?<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-2\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/fatoracao\/#Para-que-serve-a-fatoracao\" >Para que serve a fatora&ccedil;&atilde;o?<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-3\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/fatoracao\/#Como-fatorar-um-numero\" >Como fatorar um n&uacute;mero?<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-4\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/fatoracao\/#Tipos-de-fatoracao\" >Tipos de fatora&ccedil;&atilde;o<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-5\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/fatoracao\/#Questao-de-vestibular-sobre-fatoracao\" >Quest&atilde;o de vestibular sobre fatora&ccedil;&atilde;o<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-6\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/fatoracao\/#Planeje-seus-estudos-com-a-Coruja\" >Planeje seus estudos com a Coruja!<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-7\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/fatoracao\/#Veja-tambem\" >Veja tamb&eacute;m:<\/a><\/li><\/ul><\/nav><\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-o-que-e-fatoracao\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"O-que-e-fatoracao\"><\/span>O que &eacute; fatora&ccedil;&atilde;o?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>O processo de fatora&ccedil;&atilde;o pode ser descrito como a decomposi&ccedil;&atilde;o de um valor em diferentes fatores multiplicativos. Ou seja, se multiplicarmos todos os elementos de uma fatora&ccedil;&atilde;o, o resultado deve ser igual ao valor do n&uacute;mero fatorado.&nbsp;<\/p><p>Decompor os valores s&oacute; &eacute; poss&iacute;vel porque, segundo o teorema fundamental da aritm&eacute;tica, qualquer n&uacute;mero inteiro maior do que um pode ser reescrito na forma de n&uacute;mero primos que se multiplicam.&nbsp;<\/p><p>Por exemplo, observe o n&uacute;mero 452. Ele pode ser transformado na multiplica&ccedil;&atilde;o de v&aacute;rios fatores primos: 452 = 2.226 = 2.2.113. Observe que 2 e 113 s&atilde;o n&uacute;meros primos, ent&atilde;o, o n&uacute;mero 452 decomposto (ou fatorado) &eacute; igual a 452 = 2.2.113.<\/p><p>Como o conceito de n&uacute;meros primos e divisores &eacute; fundamental para entender a fatora&ccedil;&atilde;o, vamos relembr&aacute;-los a seguir:<\/p><p>Um n&uacute;mero &eacute; considerado primo quando s&oacute; &eacute; divis&iacute;vel por um e por ele mesmo. Isso significa que, ao dividi-lo por qualquer outro valor, a conta n&atilde;o resulta em um n&uacute;mero inteiro. Em geral, os vestibulares cobram o conhecimento dos principais valores primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 e 97.&nbsp;<\/p><p>Note que voc&ecirc; n&atilde;o precisa decorar essa lista, mas pode ser importante reconhecer quando um n&uacute;mero &eacute; primo ou n&atilde;o, principalmente quando estamos trabalhando com a fatora&ccedil;&atilde;o de valores. Nesse sentido, uma dica importante &eacute; observar o valor em quest&atilde;o e pensar:<\/p><ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Se &eacute; um valor par, o que j&aacute; faz ele divis&iacute;vel por 2;<\/li>\n\n\n\n<li>Se a soma de seus algarismos &eacute; um valor divis&iacute;vel por tr&ecirc;s, se sim, ele pode ser dividido por 3;<\/li>\n\n\n\n<li>Se o algarismo das unidades &eacute; igual a cinco ou zero, o que confere divisibilidade por 5<\/li>\n\n\n\n<li>Depois disso, voc&ecirc; pode usar outras propriedades para testar a possibilidade de dividir por 7 ou 11 e assim por diante, at&eacute; que perceba que nenhum valor est&aacute; se encaixando na opera&ccedil;&atilde;o; e<\/li>\n\n\n\n<li>Nesse momento, tente lembrar se o valor aparece como resultado na tabuada que aprendemos durante a inf&acirc;ncia. Caso isso n&atilde;o aconte&ccedil;a, fica mais f&aacute;cil perceber que o n&uacute;mero &eacute; primo.&nbsp;<\/li>\n<\/ul><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-para-que-serve-a-fatoracao\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Para-que-serve-a-fatoracao\"><\/span>Para que serve a fatora&ccedil;&atilde;o?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>Conhecer e dominar a fatora&ccedil;&atilde;o &eacute; muito importante durante o per&iacute;odo pr&eacute;-vestibular. Essa opera&ccedil;&atilde;o pode ser utilizada, por exemplo, para resolver problemas matem&aacute;ticos com <a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/radiciacao\/\" target=\"_blank\">radicia&ccedil;&atilde;o<\/a>, para encontrar a raiz quadrada de um valor qualquer.&nbsp; De modo semelhante, as quest&otilde;es com exponencia&ccedil;&atilde;o podem ser solucionadas com mais facilidade quando decompomos o n&uacute;mero em diversos fatores.<\/p><p>Como citado anteriormente, a fatora&ccedil;&atilde;o &eacute; importante para encontrar o m&aacute;ximo divisor comum e o m&iacute;nimo m&uacute;ltiplo comum, dois conceitos relevantes para resolver express&otilde;es alg&eacute;bricas que possuem diversas fra&ccedil;&otilde;es.<\/p><p>Por fim, fatorar &eacute; uma parte essencial para a resolu&ccedil;&atilde;o de exerc&iacute;cios sobre polin&ocirc;mios. Nesse caso, a presen&ccedil;a de inc&oacute;gnitas diferentes e\/ou termos semelhantes permite o agrupamento deles em diferentes par&ecirc;nteses, com intensa utiliza&ccedil;&atilde;o das propriedades da multiplica&ccedil;&atilde;o. Veja mais nos t&oacute;picos a seguir:<\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-como-fatorar-um-numero\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Como-fatorar-um-numero\"><\/span>Como fatorar um n&uacute;mero?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>Para transformar um n&uacute;mero em uma multiplica&ccedil;&atilde;o de diferentes fatores, devemos dividi-lo exaustivamente por n&uacute;meros primos at&eacute; que o resultado da divis&atilde;o seja um. Lembre-se, tamb&eacute;m, que as divis&otilde;es devem ser exatas e, por isso, n&atilde;o sobrar&atilde;o restos.<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter is-resized\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh6.googleusercontent.com\/LW_SWunICC0XQ44raTD-cgb1kdLFgxFl1A9W5KSOvEcEvnIdYHfe85k7TmtVDHvZZ05dsOM2ChEOGpYQXFu2IU_V1ZTrVUwiprwetv2HawmmsFkoYjzi693IBCLWC_8kIDQurc_q_Z75iNzpMsx6bBKWYAGZVsX-LnzDDMjk1NGaiby9Nf_jBzjbKWRKlg\" alt=\"exemplo de fatora&ccedil;&atilde;o\" width=\"194\" height=\"187\"><figcaption class=\"wp-element-caption\">Imagem: Reprodu&ccedil;&atilde;o\/Wikimedia<\/figcaption><\/figure><\/div><p>Observe as etapas desenvolvidas acima. Como o n&uacute;mero 160 &eacute; par, iniciou-se a fatora&ccedil;&atilde;o com o primeiro primo, o 2. A seguir, utiliza-se o mesmo procedimento com 80, 40, 20, 10. Quando o resultado chegou ao valor 5, dividimos o valor por 5, que tamb&eacute;m &eacute; um n&uacute;mero primo. J&aacute; que valor da conta 5\/5 &eacute; 1, a opera&ccedil;&atilde;o est&aacute; finalizada.&nbsp;<\/p><p>Os n&uacute;meros primos que aparecem ao lado direito da barra vertical s&atilde;o todos os fatores da decomposi&ccedil;&atilde;o de 160. Isso significa que 160 = 2.2.2.2.2.5. A partir das propriedades da exponencia&ccedil;&atilde;o podemos, ent&atilde;o, presumir que 160=2<sup>5<\/sup>.32.<\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-tipos-de-fatoracao\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Tipos-de-fatoracao\"><\/span>Tipos de fatora&ccedil;&atilde;o<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>A fatora&ccedil;&atilde;o pode ser feita, tamb&eacute;m, em express&otilde;es alg&eacute;bricas. Nesse caso, o principal objetivo &eacute; agrupar os termos que possuem um m&uacute;ltiplo em comum. Especialmente no caso de polin&ocirc;mios, esse tipo de racioc&iacute;nio &eacute; interessante para a resolu&ccedil;&atilde;o de quest&otilde;es. Agora, vamos conhecer os diferentes tipos de fatora&ccedil;&atilde;o e suas aplica&ccedil;&otilde;es.<\/p><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-fator-comum-em-evidencia\">Fator comum em evid&ecirc;ncia<\/h3><p>Quando dois termos da equa&ccedil;&atilde;o possuem o mesmo fator, entendemos que existe um fator comum entre os dois. Assim, os valores multiplicados podem ser agrupados em um par&ecirc;nteses, respeitando-se o sinal de negativo e positivo, da seguinte forma:<\/p><p class=\"has-text-align-center\"><strong>4<\/strong>x <strong>+<\/strong> <strong>4<\/strong>y = <strong>4<\/strong>(x <strong>+ <\/strong>y)<\/p><p class=\"has-text-align-center\"><strong>2<\/strong>.3z <strong>&ndash;<\/strong> <strong>2<\/strong>.5w = <strong>2<\/strong>(3z &ndash; 5w)<\/p><p class=\"has-text-align-center\">15a + 21b = <strong>3<\/strong>.5a <strong>+ 3<\/strong>.7b = <strong>3<\/strong>(5a <strong>+<\/strong> 7b)<\/p><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-agrupamento-de-termos-semelhantes-nbsp\">Agrupamento de termos semelhantes&nbsp;<\/h3><p>No caso de express&otilde;es matem&aacute;ticas que n&atilde;o possuem um fator comum a todos os termos, &eacute; poss&iacute;vel separar em diferentes par&ecirc;nteses. Por vezes, esse tipo de agrupamento resulta em uma multiplica&ccedil;&atilde;o mais simples entre dois par&ecirc;nteses, observe nos exemplos abaixo:<\/p><p class=\"has-text-align-center\">3<strong>x<\/strong> + 4<strong>x <\/strong>+ 3<strong>y<\/strong> + 4<strong>y<\/strong>&nbsp; = <strong>x <\/strong>(3 + 4) <strong>+ y<\/strong> (3 + 4) = (x + y). (3 + 4)<\/p><p class=\"has-text-align-center\">2.5<strong>a<\/strong> + 2.7<strong>a<\/strong> + 4.5<strong>b <\/strong>+ 28<strong>b<\/strong> = <strong>2a<\/strong> (5 + 7) + <strong>4b <\/strong>(5 +7) = (2a + 4b) . (5 + 7)<\/p><p>A partir da fatora&ccedil;&atilde;o, os matem&aacute;ticos desenvolveram os <a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/produtos-notaveis\" target=\"_blank\">produtos not&aacute;veis<\/a>, f&oacute;rmulas matem&aacute;ticas para encontrar a decomposi&ccedil;&atilde;o de uma express&atilde;o alg&eacute;brica. Entre eles est&atilde;o:<\/p><ul class=\"wp-block-list\">\n<li><strong>Quadrado da soma e da diferen&ccedil;a<\/strong><\/li>\n<\/ul><p>(a+b)<sup>2<\/sup> = (a+b).(a+b)<br>(a+b)<sup>2<\/sup> = a<sup>2<\/sup> + a.b + a.b + b<sup>2<\/sup><br>(a+b)<sup>2<\/sup> = a<sup>2<\/sup> + 2.a.b + b<sup>2<\/sup><\/p><p>(a-b)<sup>2<\/sup> = (a-b).(a+b)<br>(a-b)<sup>2<\/sup> = a<sup>2<\/sup> &ndash; a.b &ndash; a.b + b<sup>2<\/sup><br>(a-b)<sup>2<\/sup> = a<sup>2<\/sup> &ndash; 2.a.b + b<sup>2<\/sup><\/p><ul class=\"wp-block-list\">\n<li><strong>Cubo da soma e da diferen&ccedil;a<\/strong><\/li>\n<\/ul><p>(a+b)<sup>3<\/sup> = (a+b).(a+b).(a+b)<br>(a-b)<sup>3<\/sup> = (a-b).(a-b).(a-b).<\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-questao-de-vestibular-sobre-fatoracao\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Questao-de-vestibular-sobre-fatoracao\"><\/span>Quest&atilde;o de vestibular sobre fatora&ccedil;&atilde;o<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>(FUVEST) A diferen&ccedil;a entre o cubo da soma de dois n&uacute;meros inteiros e a soma de seus cubos pode ser:<\/p><p>a) 4<br>b) 5<br>c) 6<br>d) 7<br>e) 8<\/p><p>Cubo da soma: (a+b)<sup>3<\/sup> = (a+b).(a+b).(a+b)<br>(a+b)<sup>3<\/sup> = (a+b).(a+b)<sup>2<\/sup><br>(a+b)<sup>3<\/sup> = (a+b).(a<sup>2<\/sup> + 2.a.b + b<sup>2<\/sup>)<br>(a+b)<sup>3<\/sup> = (a.a<sup>2<\/sup> + 2.a.b.a + b<sup>2<\/sup>.a) + (b.a<sup>2<\/sup> + 2.a.b.b + b<sup>2<\/sup>.b)<br>(a+b)<sup>3<\/sup> = a<sup>3<\/sup> + 2.a<sup>2<\/sup>.b + b<sup>2<\/sup>.a + b.a<sup>2<\/sup> + 2.a.b<sup>2<\/sup> + b<sup>3<\/sup><br><strong>(a+b)<sup>3<\/sup> = a<sup>3<\/sup> + 3.a<sup>2<\/sup>.b&nbsp; + 3.a.b<sup>2<\/sup> + b<sup>3<\/sup><\/strong><\/p><p>Soma de seus cubos: <strong>a<\/strong><strong><sup>3<\/sup><\/strong><strong> + b<\/strong><strong><sup>3<\/sup><\/strong><\/p><p>Diferen&ccedil;a entre o cubo da soma e a soma de cubos:&nbsp;<\/p><p>a<sup>3<\/sup> + 3.a<sup>2<\/sup>.b&nbsp; + 3.a.b<sup>2<\/sup> + b<sup>3<\/sup> &ndash; (a<sup>3<\/sup> + b<sup>3<\/sup>) =&nbsp;<br>= a<sup>3<\/sup> + 3.a<sup>2<\/sup>.b&nbsp; + 3.a.b<sup>2<\/sup> + b<sup>3<\/sup> &ndash; a<sup>3<\/sup> &ndash; b<sup>3<\/sup> =<br>= 3.a<sup>2<\/sup>.b&nbsp; + 3.a.b<sup>2<\/sup> = 3.a.b (a + b)<\/p><p>Observe que o fator comum &eacute; 3.a.b. A partir disso, sabemos que o resultado da multiplica&ccedil;&atilde;o deve ser, obrigatoriamente, m&uacute;ltiplo de 3. A &uacute;nica alternativa que d&aacute; essa op&ccedil;&atilde;o &eacute; a <strong>letra C) 6.<\/strong><\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-planeje-seus-estudos-com-a-coruja\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Planeje-seus-estudos-com-a-Coruja\"><\/span>Planeje seus estudos com a Coruja!<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>Nos pacotes do <a href=\"https:\/\/www.estrategiavestibulares.com.br\/\" target=\"_blank\">Estrat&eacute;gia Vestibulares<\/a>, voc&ecirc; pode acessar trilhas estrat&eacute;gias: cronogramas completos para te guiar sobre o que, como e quando estudar. Tudo isso alinhado com aulas did&aacute;ticas, que te d&atilde;o a base de conhecimento necess&aacute;rio para realizar sua prova. 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