Porém, se f(x) = 2\/x, a incógnita x não poderá ser igual a 0 em nenhuma hipótese, já que é impossível dividir por 0. Nesse caso, o domínio da função é representado por todos números reais, exceto 0. Conforme ditado em {x ∈ lR | x ≠ 0}. <\/p>
Já o contradomínio <\/strong>da função f(x) é o conjunto numérico que agrupa todos os resultados possíveis para a expressão, ou seja, todos os valores de y. Tomada uma função f(x)= √x, o valor de x não poderá ser negativo, afinal, não existe número que elevado ao quadrado resulte em um termo negativo. <\/p>Para representar os conjuntos de domínio e contradomínio, pode ser utilizado um diagrama. Geralmente, admite-se que f: A → B, em que A é o domínio e B é o contradomínio, conforme demonstrado na figura a seguir. <\/p>
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Imagem: Reprodução\/Wikimedia<\/figcaption><\/figure><\/div>Outro conceito importante a ser debatido para a compreensão de função injetora e sobrejetora é a imagem (Im). A imagem da função é o conjunto de todos os resultados que podem ser obtidos em f(x), quando x ∈ A. <\/p>
Por exemplo, se definirmos que f(x) = x – 5, os valores possíveis para o domínio é x ∈ lR, assim como os elementos prováveis para y, y ∈ lR. <\/p>
Apesar disso, pode-se assumir que x ∈ C, com C = {x ∈ lN | 5 < x < 10}. Nesse sentido, embora o contradomínio seja o conjunto dos números reais, os resultados que podem ser encontrados com x ∈ A são a imagem da função. <\/p>
Em f(x) = x – 5, com x ∈ C, C = {x ∈ lN | 5 < x < 10}, pode-se afirmar que a imagem possível é dada por todos os valores de y nesta limitação de C:<\/p>
f(x) = x – 5<\/p>
f(6) = 6 – 5 = 1
Im: {1, 2, 3, 4}<\/p>
Agora que já conhecemos os conceitos importantes para a classificação de funções, vamos desenvolver as definições de função injetora e sobrejetora, assim como a bijetora.<\/p>
Função injetora<\/h3> Uma função injetora é aquela em que os elementos do contradomínio correspondem à imagem da função. Isso significa que x ∈ A, resultando em y ∈ B, considerando que o par ordenado (x,y) respondem à f(x) = y.<\/p>
Além disso, é necessário que, para cada valor x, o resultado y seja um elemento diferente do contradomínio. De forma geral, o conjunto imagem é um subconjunto do contradomínio B, com Im ⊂ B. <\/p>
Na figura abaixo, isso é representado de maneira que nenhum elemento de y recebe mais de uma seta. Cada x se relaciona com apenas um y.<\/p>
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Imagem: Reprodução\/Wikimedia <\/figcaption><\/figure><\/div>Função sobrejetora<\/h3> Uma função é considerada sobrejetora quando pelo menos um dos elementos do contradomínio pode ser alcançado por diferentes x, pertencentes ao domínio. Por exemplo, se na função f(x), f(1) = 5 e, ao mesmo tempo, f(-7) = 5, significa que duas incógnitas resultam no mesmo valor de y, classificando a regra como sobrejetora.<\/p>
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Imagem: Reprodução\/Wikimedia <\/figcaption><\/figure><\/div>Um modelo clássico de função sobrejetora são as expressões modulares, como em f(x) = |x|. Quando x = -1, y = 1. Ao mesmo tempo, se x = 1, y = 1. Isso significa que dois valores diferentes do domínio indicam o mesmo elemento do contradomínio, como é característico das funções sobrejetoras.<\/p>
É importante mencionar que, nesse tipo de função, todo elemento do contradomínio corresponde à imagem de pelo menos um dos valores representados no conjunto domínio, ou seja, CD (f)<\/p>
= Im (f).<\/p>
No esquema, essas informações são sintetizadas da seguinte forma: o desenho que representa o conjunto contradomínio precisa que todos os elementos recebam flechas. Independentemente se um mesmo elemento receber mais que uma seta.<\/p>
Função bijetora<\/h3> Por fim, uma função é considerada bijetora quando atinge critérios de ambas as classificações anteriores, ou seja, todos os elementos do domínio resultam em valores diferentes de y, que estão dispostos e selecionados em todos os números do contradomínio. <\/p>
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Imagem: Reprodução\/Wikimedia <\/figcaption><\/figure><\/div>A função representada acima é considerada sobrejetora, já que todos os elementos do contradomínio Y estão sendo apontados por alguma seta. Ao mesmo tempo, cada x se liga a apenas um elemento y, o que indica uma característica injetora. Quando esses dois aspectos aparecem juntos, considera-se que é uma função bijetora. <\/p>
Questão de vestibular sobre função injetora e sobrejetora<\/h3> (Enem 2017 — PPL) No primeiro ano do Ensino Médio de uma escola, é hábito os alunos dançarem quadrilha na festa junina. Neste ano, há 12 meninas e 13 meninos na turma, e para a quadrilha foram formados 12 pares distintos, compostos por uma menina e um menino. Considere que as meninas sejam os elementos que compõem o conjunto A e os meninos, o conjunto B, de modo que os pares formados representem uma função f de A em B.<\/p>
Com base nessas informações, a classificação do tipo de função que está presente nessa relação é<\/p>
A) f é injetora, pois para cada menina pertencente ao conjunto A está associado um menino diferente pertencente ao conjunto B.<\/p>
B) f é sobrejetora, pois cada par é formado por uma menina pertencente ao conjunto A e um menino pertencente ao conjunto B, sobrando um menino sem formar par.<\/p>
C) f é injetora, pois duas meninas quaisquer pertencentes ao conjunto A formam par com um mesmo menino pertencente ao conjunto B, para envolver a totalidade de alunos da turma.<\/p>
D) f é bijetora, pois dois meninos quaisquer pertencentes ao conjunto B formam par com uma mesma menina pertencente ao conjunto A.<\/p>
E) f é sobrejetora, pois basta que uma menina do conjunto A forme par com dois meninos pertencentes ao conjunto B, assim nenhum menino ficará sem par.<\/p>
O conjunto A é o domínio da função, enquanto B é o conjunto contradomínio. De fato, todos os elementos de A se relacionam com valores distintos de B, mesmo que sobre um menino sem par.<\/p>
Em termos matemáticos, uma função só será sobrejetora quando nenhum elemento do contradomínio “sobrar” sozinho. Assim, as alternativas B e E estão eliminadas. No raciocínio semelhante, se a função não tem a característica sobrejetora, não pode ser classificada como bijetora, eliminando também a alternativa D. <\/p>
Nesse sentido, já sabemos que a função é injetora porque cada par (x,y) traz um x diferente com um valor de y diferente também. Como uma menina não pode dançar ao mesmo tempo com dois pares, a opção que melhor representa a resposta é a letra A<\/strong>.<\/p>+ Veja também: Função de Primeiro Grau: o que é e como aplicar em prova?<\/a> Função de Segundo Grau: o que é e como resolver questões<\/a><\/p>