<\/span><\/h2>A função composta é formada por no mínimo duas outras funções. De maneira genérica, podemos chamá-las de g e f, que compartilham um dos conjuntos numéricos: o domínio da função g é igual ao contradomínio da função f. <\/p>
Antes de continuar as explicações a respeito do tema, vamos recordar os conceitos de domínio e contradomínio?<\/p>
O domínio de uma função é o conjunto de todos os elementos que podem ser substituídos pela incógnita naquela expressão matemática. Por exemplo, se a função f(x) = x + 2, o domínio pode ser dado por qualquer número real, com resultados possíveis. Entretanto, se f(x) = 2\/x, a incógnita inserida não poderá ser igual a 0, já que é impossível dividir por 0. Nesse caso, o domínio da função é representado por todos números reais, exceto 0. <\/p>
O contradomínio da função é o grupo de números y que podem ser dados como resposta para aquele cálculo. Ainda com exemplos para facilitar a compreensão, se f(x) =x2<\/sup>, o contradomínio não pode possuir valores negativos, já que não existem valores reais que, elevados ao quadrado, resultem em y<0. <\/p>Em sequência à definição de função composta, admite-se as funções f: X → Y e g: Y→Z. Dessa forma, a relação entre f(x) e g(x) pode ser chamada de gof (x) = g(f(x)). Com esse conceito, pode-se concluir que gof: X → Z. <\/p>
Acompanhe o esquema gráfico abaixo, que exemplifica as informações citadas até aqui:<\/p>
<\/span>Como resolver uma função composta?<\/span><\/h2>Para solucionar um problema matemático em que apareça uma função composta, deve-se seguir a regra dos parênteses. Observe a expressão que define ambas as funções. A partir disso, pode-se substituir o cálculo da função interior na incógnita da função que fica por fora. Acompanhe os exemplos!<\/p>
(Cefet – PR) Se f(x) = x5<\/sup> e g(x) = x – 1, a função composta f[g(x)] será igual a:<\/p>a) x5<\/sup> + x – 1
b) x6<\/sup> – x5<\/sup>
c) x6<\/sup> – 5x5<\/sup> + 10x4 <\/sup>– 10x3 <\/sup>+ 5x2<\/sup> – 5x + 1
d) x5<\/sup> – 5x4<\/sup> + 10x3 <\/sup>– 10x2 <\/sup>+ 5x – 1
e) x5<\/sup> – 5x4<\/sup> – 10x3 <\/sup>– 10x2<\/sup> – 5x – 1<\/p>O primeiro passo será substituir “g(x)” dentro do colchete. Nesse sentido, colocamos toda a expressão g(x) = x -1 como incógnita da função f, assim:<\/p>
f [g(x)] = f [ x -1]\n\n\n\n<\/p>
Em seguida, assume-se que a incógnita da equação matemática é toda a expressão que fica dentro do colchete. E, a partir disso, podemos realizar a substituição em f(x)=x5<\/sup>.<\/p>f [g(x)] = f [ x -1]
f [ x -1] = (x -1)5<\/sup><\/p>A seguir, a ideia da questão é desenvolver os cálculos, com as habilidades de potenciação, exponenciação e domínio das propriedades da multiplicação:<\/p>
f [ x -1] = (x -1)5<\/sup>
(x -1)5 <\/sup>= (x-1)2<\/sup>.(x-1)2<\/sup>.(x-1)
(x -1)5 <\/sup>= (x2<\/sup> – 2x + 1).(x2<\/sup> – 2x + 1).(x-1)
(x -1)5 <\/sup>= (x4<\/sup> – 2x³ + x² – 2x³ + 4x² – 2x + x² – 2x + 1) . (x – 1)
(x -1)5 <\/sup>=(x4<\/sup> – 4x³ + 6x² – 4x + 1) . (x – 1)<\/p>f (g(x)) = x5<\/sup> – 5x4<\/sup> + 10x3 <\/sup>– 10x2 <\/sup>+ 5x – 1, conforme alternativa D<\/strong>.<\/p><\/span>Questões de vestibular sobre função composta<\/span><\/h2>1 – <\/strong>(Unicamp 2020) Sabendo que a é um número real, considere a função f(x) = ax + 2 definida para<\/p>todo número real x. Se f(f(1)) = 1 então<\/p>
a) a =-1.
b) a = -1\/2
c) a = 1\/2
d) a=1<\/p>
O primeiro passo é descrever a função f(f(1)), substituindo x=1 na expressão que fica dentro do parênteses principal.<\/p>
f (f(1)) = f (a.1 + 2)
f (f(1)) = f (a + 2)
f (f(1)) = a. (a+2) + 2
f (f(1)) = a2<\/sup> + 2.a + 2 <\/p>Se f(f(1)) = 1, podemos concluir os cálculos assim:<\/p>
a2<\/sup> + 2.a + 2 = 1
a2<\/sup> + 2.a + 2 -1 = 0
a2<\/sup> + 2.a + 1 = 0<\/p>Com o método da soma e produto, fazemos:<\/p>
a=1
b=2
c=1<\/p>
-b\/a = a1<\/sub> + a2<\/sub>
c\/a = a1<\/sub>.a2<\/sub><\/p>-2 = a1<\/sub> + a2<\/sub>
1 = a1<\/sub>.a2<\/sub><\/p>Por tentativa e erro, pode-se imaginar que -1 + (-1) = -2. De modo semelhante, (-1).(-1)=1. Dessa forma, a1<\/sub> = a2<\/sub> = a = -1, conforme alternativa A<\/strong>.<\/p>2 – <\/strong>(Mackenzie – SP) As funções f(x) = 3 – 4x e g(x) = 3x + m são tais que f(g(x)) = g(f(x)), qualquer que seja x real. O valor de m é:<\/p>a) 9\/4
b) 5\/4
c) -6\/5
d) 9\/5
e) -⅔<\/p>
Primeiramente, é necessário igualar gof = fog, assim:<\/p>
f(3x + m) = g(3 – 4x)<\/p>
Como conhecemos a expressão matemática de cada uma delas, é necessário substituir o valor de x em f(3x + m) = 3 – 4(3x + m). Em sequência, substitui-se em g(3 – 4x) = 3(3 – 4x) + m. Agora, igualamos os cálculos:<\/p>
3 – 4(3x + m) = 3(3 – 4x) + m
3 – 12x<\/s> – 4m = 9 – 12x<\/s> + m
3 – 9 = m + 4m
-6 = 5m <\/p>
m = -6\/5, como aponta a alternativa C.<\/p>