{"id":83166,"date":"2022-11-30T09:53:32","date_gmt":"2022-11-30T12:53:32","guid":{"rendered":"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/?p=83166"},"modified":"2023-11-30T14:07:44","modified_gmt":"2023-11-30T17:07:44","slug":"funcao-modular","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/funcao-modular\/","title":{"rendered":"Fun\u00e7\u00e3o modular: o que \u00e9, propriedades, exerc\u00edcios de vestibulares"},"content":{"rendered":"<p>O m&oacute;dulo &eacute; uma importante entidade da matem&aacute;tica, por meio dele, podemos encontrar a dist&acirc;ncia que um n&uacute;mero est&aacute; na origem da reta real, somente com valores positivos. Nesse sentido, a fun&ccedil;&atilde;o modular &eacute; aquela que possui pelo menos uma vari&aacute;vel em m&oacute;dulo.&nbsp;<p>No artigo a seguir, voc&ecirc; conhecer&aacute; as diversas possibilidades para uma fun&ccedil;&atilde;o modular, quais s&atilde;o as propriedades aritm&eacute;ticas e gr&aacute;ficas dessas express&otilde;es matem&aacute;ticas, al&eacute;m de acompanhar a resolu&ccedil;&atilde;o de um exerc&iacute;cio de prova sobre o assunto. Continue lendo e saiba mais!<\/p><div id=\"ez-toc-container\" class=\"ez-toc-v2_0_76 counter-hierarchy ez-toc-counter ez-toc-transparent ez-toc-container-direction\">\n<div class=\"ez-toc-title-container\"><p class=\"ez-toc-title\" style=\"cursor:inherit\">Navegue pelo conte\u00fado<\/p>\n<\/div><nav><ul class='ez-toc-list ez-toc-list-level-1 ' ><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-1\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/funcao-modular\/#O-que-e-funcao-modular\" >O que &eacute; fun&ccedil;&atilde;o modular?<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-2\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/funcao-modular\/#Propriedades\" >Propriedades<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-3\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/funcao-modular\/#Graficos-de-uma-funcao-modular\" >Gr&aacute;ficos de uma fun&ccedil;&atilde;o modular<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-4\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/funcao-modular\/#Questoes-de-vestibulares-sobre-funcao-modular\" >Quest&otilde;es de vestibulares sobre fun&ccedil;&atilde;o modular<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-5\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/funcao-modular\/#Estude-mais-de-matematica-com-a-Coruja\" >Estude mais de matem&aacute;tica com a Coruja!<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-6\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/funcao-modular\/#Veja-tambem\" >Veja tamb&eacute;m:<\/a><\/li><\/ul><\/nav><\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-o-que-e-funcao-modular\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"O-que-e-funcao-modular\"><\/span>O que &eacute; fun&ccedil;&atilde;o modular?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>O conceito de fun&ccedil;&atilde;o modular admite ao menos uma vari&aacute;vel dentro do m&oacute;dulo, como em f(x) = |x| + 15. Nessas condi&ccedil;&otilde;es, o dom&iacute;nio e contradom&iacute;nio da fun&ccedil;&atilde;o &eacute; o conjunto de todos os n&uacute;meros reais.&nbsp;<\/p><p>Antes de abordar as propriedades da fun&ccedil;&atilde;o modular, vamos relembrar conceitos b&aacute;sicos que facilitar&atilde;o a compreens&atilde;o do tema!<\/p><p>Um <strong>m&oacute;dulo <\/strong>&eacute; o valor absoluto de um n&uacute;mero real, sempre expresso em n&uacute;meros positivos. Afinal, o objeto de modular um elemento &eacute; entender qual a dist&acirc;ncia entre aquele valor e a origem da reta real.&nbsp;<\/p><p>Nesse sentido, a dist&acirc;ncia entre -5 at&eacute; o valor de 0 &eacute; dada por cinco unidades. De forma semelhante, a medida entre 5 e 0 tamb&eacute;m &eacute; de cinco unidades. Ent&atilde;o, embora -5 e 5 tenham valores inteiros distintos, &eacute; poss&iacute;vel coloc&aacute;-los dentro um m&oacute;dulo e igual&aacute;-los.<\/p><p>|-5| = 5<br>|5| = 5&nbsp;<br>|-5| = |5| = 5<\/p><p>A <strong>fun&ccedil;&atilde;o<\/strong>, por sua vez, &eacute; uma lei matem&aacute;tica que dita como relacionar uma vari&aacute;vel dentro daquele contexto. Por exemplo, se f (x) = x &ndash; 2 e f(x) = y, qualquer que seja o x adicionado, o resultado da fun&ccedil;&atilde;o ser&aacute; um y duas unidades menores do que a vari&aacute;vel.<\/p><p>f (x)= x &ndash; 2<br>f (x) = y<br>x &ndash; 2 = y&nbsp;<\/p><p>Se x=4:<\/p><p>f (4) = 4 &ndash; 2<br>f(4) = 2&nbsp;<\/p><p>Semelhantemente, a <strong>fun&ccedil;&atilde;o modular<\/strong> representa a jun&ccedil;&atilde;o entre os conceitos de m&oacute;dulo e as leis matem&aacute;ticas.&nbsp;<\/p><p>f (x) = |x|<br>f (-3) = |-3|<br>|-3| = 3<br>f (-3) = 3<\/p><p>A configura&ccedil;&atilde;o da express&atilde;o matem&aacute;tica poder&aacute; ser diferente, se houverem mais coeficientes e termos:<\/p><p>f (x) = |x| + x<sup>2<\/sup> + 2&nbsp;<br>f (-2) = |-2| + (-2)<sup>2<\/sup> + 2&nbsp;<br>f (-2) = 2 + 4 + 2<br>f (-2) = 8&nbsp;<\/p><p>Note tamb&eacute;m, que uma fun&ccedil;&atilde;o modular pode ter seu m&oacute;dulo em qualquer classe de equa&ccedil;&otilde;es, do primeiro grau, segundo grau, polin&ocirc;mios, exponenciais, radicia&ccedil;&otilde;es ou outras opera&ccedil;&otilde;es matem&aacute;ticas.<\/p><figure class=\"wp-block-embed is-type-video is-provider-youtube wp-block-embed-youtube wp-embed-aspect-16-9 wp-has-aspect-ratio\"><div class=\"wp-block-embed__wrapper\">\n<div class=\"cs-embed cs-embed-responsive\"><iframe title=\"Mega Revis&atilde;o de Fun&ccedil;&otilde;es para ENEM e Vestibulares - Prof. Andrew Cazemiro\" width=\"1200\" height=\"675\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/Y7X_CoHZ2U0?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" allowfullscreen><\/iframe><\/div>\n<\/div><\/figure><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-propriedades\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Propriedades\"><\/span>Propriedades<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>As propriedades da fun&ccedil;&atilde;o modular s&atilde;o, basicamente, uma s&iacute;ntese de todas as caracter&iacute;sticas dos m&oacute;dulos. Essas informa&ccedil;&otilde;es devem ser consideradas no desenvolvimento dos c&aacute;lculos, para garantir a exatid&atilde;o dos resultados.&nbsp;<\/p><p>Adote que z e w s&atilde;o dois n&uacute;meros pertencentes ao conjunto num&eacute;rico dos reais, z &isin; lR; w &isin; lR.<\/p><ul class=\"wp-block-list\">\n<li>O m&oacute;dulo de n&uacute;mero real &eacute; igual ao m&oacute;dulo de seu valor oposto<br>|-z| = |z|<br>|-7| = |7|<br>7 = 7<br><\/li>\n\n\n\n<li>O m&oacute;dulo de z elevado ao quadrado &eacute; igual ao valor do quadrado do m&oacute;dulo de z<br>|z<sup>2<\/sup>| = |z|<sup>2<\/sup><br>|(-2)<sup>2<\/sup>| = |-2|<sup>2<\/sup><sup><br><\/sup>|4| = 2<sup>2<\/sup><br>4 = 4<br><\/li>\n\n\n\n<li>O m&oacute;dulo da diferen&ccedil;a entre z e w &eacute; sempre maior ou igual que a diferen&ccedil;a dos m&oacute;dulos<br>|z-w| &ge; |z| &ndash; |w|<br>|-7-3| &ge; |-7| &ndash; |3|<br>|-10| &ge; 7 &ndash; 3<br>10 &ge; 4<br><\/li>\n\n\n\n<li>O m&oacute;dulo da soma &eacute; menor ou igual &agrave; soma dos m&oacute;dulos<br>|z+w| &le;&nbsp; |z| + |w|<br>|5+ (-6)| &le;&nbsp; |5| + |-6|<br>|5 &ndash; 6| &le;&nbsp; 5 + 6<br>|- 1| &le;&nbsp; 11<br>1 &le;&nbsp; 11<br><\/li>\n\n\n\n<li>O m&oacute;dulo do produto z.w &eacute; igual ao produto dos m&oacute;dulos<br>|z.w| =&nbsp; |z|.|w|<br>|-2.3| =&nbsp; |-2|.|3|<br>|-6| =&nbsp; 2.3<br>6 = 6<\/li>\n<\/ul><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-graficos-de-uma-funcao-modular\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Graficos-de-uma-funcao-modular\"><\/span>Gr&aacute;ficos de uma fun&ccedil;&atilde;o modular<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>A fun&ccedil;&atilde;o modular possui caracter&iacute;sticas gr&aacute;ficas importantes, a depender da rela&ccedil;&atilde;o entre o m&oacute;dulo e a vari&aacute;vel.&nbsp;<\/p><p>A forma mais simples desse tipo de fun&ccedil;&atilde;o, dada por f(x) = |x|, admite que qualquer que seja o valor de x, o resultado ser&aacute; positivo. Em termos gr&aacute;ficos, isso significa que n&atilde;o haver&aacute; tra&ccedil;ado de gr&aacute;fico na parte negativa do eixo y.&nbsp;<\/p><p>Para construir esse gr&aacute;fico, admitimos valores num&eacute;ricos para ela em uma tabela, tentando entender qual o comportamento dos dados conforme alterna-se a vari&aacute;vel x.<\/p><div class=\"wp-block-columns is-layout-flex wp-container-core-columns-is-layout-2 wp-block-columns-is-layout-flex\">\n<div class=\"wp-block-column is-layout-flow wp-block-column-is-layout-flow\" style=\"flex-basis:100%\">\n<div class=\"wp-block-columns is-layout-flex wp-container-core-columns-is-layout-1 wp-block-columns-is-layout-flex\">\n<div class=\"wp-block-column is-layout-flow wp-block-column-is-layout-flow\" style=\"flex-basis:100%\">\n<div class=\"wp-block-group\"><div class=\"wp-block-group__inner-container is-layout-flow wp-block-group-is-layout-flow\">\n<figure class=\"wp-block-table aligncenter\"><table><tbody><tr><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">     <strong>x<\/strong>    <\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">                    <strong>f(x) = |x|<\/strong>                     <\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">      <strong>(x, y)     <\/strong><\/td><\/tr><tr><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">-2<\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">f(-2) = |-2| = 2<\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">(-2, 2)<\/td><\/tr><tr><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">-1<\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">f(-1) = |-1| = 1<\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">(-1, 1)<\/td><\/tr><tr><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">0<\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">f(0) = |0| = 0<\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">(0, 0)<\/td><\/tr><tr><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">1<\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">f(1) = |1| = 1<\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">(1, 1)<\/td><\/tr><tr><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">2<\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">f(2) = |2| = 2<\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">(2, 2)<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n<\/div><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div><p>Colocando todos os pontos no gr&aacute;fico e ligando eles por meio de retas, fica evidente que a fun&ccedil;&atilde;o modular admite a seguinte representa&ccedil;&atilde;o gr&aacute;fica:<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter is-resized\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh3.googleusercontent.com\/Bbqtt_lUkjg69Vybp73gj-Fp0v2LxTP8VMG6fl39sjORTdUR72uR40T9-AoJlLLMWPy0ITk7HwNm0ErUnzNdx4uvKKJDVVcQKlJeJfo7jkZt8DeCL63yXjJSWqdYAIJ1cUAWOq3dgMlLQqp1-4xx-isYur2oShHRCaP2zGmazO1Dd_ywW0hFED8zCsi6Mw\" alt=\"gr&aacute;fico fun&ccedil;&atilde;o modular\" width=\"640\" height=\"413\"><figcaption class=\"wp-element-caption\">Imagem: Reprodu&ccedil;&atilde;o\/Wikimedia<\/figcaption><\/figure><\/div><p>Mas, nem sempre a lei matem&aacute;tica oferecida apresenta esse gr&aacute;fico mais simples. Por exemplo, se a fun&ccedil;&atilde;o modular apresenta uma equa&ccedil;&atilde;o do segundo grau com resultados absolutos, o desenho deve ser obtido ao encontrar as ra&iacute;zes e rebater tudo para a parte positiva do eixo y, conforme mostra a figura a seguir.<\/p><p>Perceba, em azul claro, que a parte da fun&ccedil;&atilde;o que fica com valores negativos &eacute; 0&lt;x&lt;4. Nesse sentido, o m&oacute;dulo serve para transformar esses n&uacute;meros negativos em positivos, o que rebate a par&aacute;bola para formar um desenho de &ldquo;W&rdquo;.<\/p><p>+ Veja mais: <a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/funcao-de-primeiro-grau\/\" target=\"_blank\">Fun&ccedil;&atilde;o de Primeiro Grau: o que &eacute; e como aplicar em prova?<\/a>&nbsp;<br><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/funcao-de-segundo-grau\/\" target=\"_blank\">Fun&ccedil;&atilde;o de Segundo Grau: o que &eacute; e como resolver quest&otilde;es<\/a><\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-questoes-de-vestibulares-sobre-funcao-modular\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Questoes-de-vestibulares-sobre-funcao-modular\"><\/span>Quest&otilde;es de vestibulares sobre fun&ccedil;&atilde;o modular<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>(EEAR) Seja f(x) = | 3x &ndash; 4 | uma fun&ccedil;&atilde;o. Sendo a &ne; b e f(a) = f(b) = 6, ent&atilde;o o valor de a + b &eacute; igual a<\/p><p>A) 5\/3<br>B) 8\/3<br>C) 5<br>D) 3<\/p><p>Como a &eacute; diferente de b, vamos desenvolver os c&aacute;lculos, substituindo a e b por x:<\/p><p>f(x) = | 3x &ndash; 4 |<br>f(a) = f(b) = 6<\/p><p>f(x) = | 3x &ndash; 4 |<br>f(a) = | 3a &ndash; 4 |<br>| 3a &ndash; 4 | = 6<br>3a &ndash; 4 = 6<br>3a = 6 + 4<br>3a = 10<br>a = 10\/3<\/p><p>J&aacute; que a fun&ccedil;&atilde;o possui um m&oacute;dulo, podemos entender que |3x-4| pode ser igual a -6 -&gt; |-6|=6. A partir dessa suposi&ccedil;&atilde;o:<\/p><p>f(b) = | 3b &ndash; 4 |<br>| 3b &ndash; 4 | = &ndash; 6&nbsp;<br>3b &ndash; 4 = -6<br>3b = -6 + 4<br>3b = -2&nbsp;]<br>b = -2\/3<\/p><p>Com esses valores em m&atilde;os, veremos que: a + b = 10\/3 &ndash; 2\/3 = 8\/3, conforme alternativa <strong>B<\/strong>.<\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-estude-mais-de-matematica-com-a-coruja\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Estude-mais-de-matematica-com-a-Coruja\"><\/span>Estude mais de matem&aacute;tica com a Coruja!<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>A banca de provas da sua faculdade dos sonhos tem testes com primeira e segunda fase? O Estrat&eacute;gia Vestibulares pode te ajudar! Nossos simulados s&atilde;o constru&iacute;dos com base no seu modelo de prova, com gabarito e corre&ccedil;&atilde;o, inclusive para os exerc&iacute;cios discursivos da segunda fase. 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prova?<\/a>&nbsp;<\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/equacao-do-primeiro-grau\/\">Equa&ccedil;&atilde;o do primeiro grau: o que &eacute;, tipos, como resolver e quest&otilde;es<\/a>&nbsp;<\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/fatoracao\/\">Fatora&ccedil;&atilde;o: o que &eacute;, como fazer, aplica&ccedil;&otilde;es e quest&otilde;es de vestibulares<\/a>&nbsp;<\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/inequacoes\/\">Inequa&ccedil;&otilde;es: o que s&atilde;o, como resolver e quest&otilde;es<\/a>&nbsp;<\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/?p=74843\">Produtos not&aacute;veis: defini&ccedil;&atilde;o, f&oacute;rmulas e aplica&ccedil;&otilde;es<\/a>&nbsp;<\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/funcao-de-segundo-grau\/\">Fun&ccedil;&atilde;o de Segundo Grau: o que &eacute; e como resolver quest&otilde;es<\/a>&nbsp;<\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/equacao-do-segundo-grau\/\">Equa&ccedil;&atilde;o do segundo grau: como resolver, f&oacute;rmulas, exerc&iacute;cios de vestibulares<\/a>&nbsp;<\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/sistemas-lineares\/\">Sistemas lineares: o que s&atilde;o, como resolver e aplica&ccedil;&otilde;es<\/a><\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/regra-de-sinais\/\">Regra de sinais: o que &eacute; e como funciona o jogo de sinais<\/a><\/li>\n<\/ul><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"O m&oacute;dulo &eacute; uma importante entidade da matem&aacute;tica, por meio dele, podemos encontrar a dist&acirc;ncia que um 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