{"id":84773,"date":"2022-12-28T11:00:58","date_gmt":"2022-12-28T14:00:58","guid":{"rendered":"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/?p=84773"},"modified":"2023-01-16T14:13:37","modified_gmt":"2023-01-16T17:13:37","slug":"angulos-notaveis","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/angulos-notaveis\/","title":{"rendered":"\u00c2ngulos not\u00e1veis: tabela, demonstra\u00e7\u00e3o, dicas e quest\u00f5es"},"content":{"rendered":"<p>Os &acirc;ngulos not&aacute;veis s&atilde;o valores de &acirc;ngulos e suas fun&ccedil;&otilde;es trigonom&eacute;tricas que aparecem com frequ&ecirc;ncia no cotidiano e nas provas de vestibulares. Conhecer esses n&uacute;meros facilita no desenvolvimento de c&aacute;lculos em diversas &aacute;reas da matem&aacute;tica, como geometria plana, espacial, anal&iacute;tica, trigonometria, f&iacute;sica &oacute;ptica e muito mais.&nbsp;<p>Neste resumo, voc&ecirc; encontra os principais &acirc;ngulos matem&aacute;ticos e seus valores de seno, cosseno e tangente. Veja tamb&eacute;m como encontrar esses n&uacute;meros e onde eles est&atilde;o situados no ciclo trigonom&eacute;trico. Depois, vamos descobrir dicas e macetes importantes com a resolu&ccedil;&atilde;o comentada de exerc&iacute;cios de prova. Vamos l&aacute;?<\/p><div id=\"ez-toc-container\" class=\"ez-toc-v2_0_76 counter-hierarchy ez-toc-counter ez-toc-transparent ez-toc-container-direction\">\n<div class=\"ez-toc-title-container\"><p class=\"ez-toc-title\" style=\"cursor:inherit\">Navegue pelo conte\u00fado<\/p>\n<\/div><nav><ul class='ez-toc-list ez-toc-list-level-1 ' ><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-1\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/angulos-notaveis\/#Quais-sao-os-angulos-notaveis\" >Quais s&atilde;o os &acirc;ngulos not&aacute;veis?<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-2\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/angulos-notaveis\/#Tabela-de-angulos-notaveis\" >Tabela de &acirc;ngulos not&aacute;veis<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-3\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/angulos-notaveis\/#Como-sao-encontradas-as-funcoes-dos-angulos-notaveis\" >Como s&atilde;o encontradas as fun&ccedil;&otilde;es dos &acirc;ngulos not&aacute;veis?<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-4\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/angulos-notaveis\/#Outros-angulos-importantes\" >Outros &acirc;ngulos importantes<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-5\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/angulos-notaveis\/#Questao-de-vestibular-sobre-angulos-notaveis\" >Quest&atilde;o de vestibular sobre &acirc;ngulos not&aacute;veis<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-6\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/angulos-notaveis\/#Aprenda-mais-matematica-com-o-Estrategia\" >Aprenda mais matem&aacute;tica com o Estrat&eacute;gia&nbsp;<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-7\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/angulos-notaveis\/#Veja-tambem\" >Veja tamb&eacute;m:<\/a><\/li><\/ul><\/nav><\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-quais-sao-os-angulos-notaveis\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Quais-sao-os-angulos-notaveis\"><\/span>Quais s&atilde;o os &acirc;ngulos not&aacute;veis?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>Os principais &acirc;ngulos, ou &acirc;ngulos not&aacute;veis, s&atilde;o aqueles que aparecem com mais frequ&ecirc;ncia em diversos problemas matem&aacute;ticos. Em geral, &eacute; importante conhec&ecirc;-los e decorar algumas de suas caracter&iacute;sticas tamb&eacute;m.&nbsp;<\/p><p>Vamos tratar, principalmente, dos valores de 30&ordm;, 45&ordm; e 60&ordm;. Mas saiba, tamb&eacute;m ,que &eacute; importante conhecer &acirc;ngulos com 0&ordm;, 90&ordm;, 180&ordm; e 360&ordm;, que ser&atilde;o discutidos mais adiante.&nbsp;<\/p><p>Lembre-se, quando tratamos sobre o grau de abertura de um v&eacute;rtice, estamos no campo da trigonometria. Nesse sentido, saiba que seno, cosseno e tangente s&atilde;o raz&otilde;es trigonom&eacute;tricas que relacionam um &acirc;ngulo com as proje&ccedil;&otilde;es de sua reta nos eixos cartesianos. Essa padroniza&ccedil;&atilde;o &eacute; obtida por meio do ciclo trigonom&eacute;trico.<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh4.googleusercontent.com\/9xQSQrXdg3NN-YCyD5ubs1cnukW6dz2m9ParsJ1MxeRYQCjVeX07ZxxYlueHmVpN7jEzrQTc6iyYNGi8y3mMSI0QXHLEx9j8S9_FDExQaPjPNRgRk389gmLZ4z5JEo_LLE_JelGMhFOQ8u878gOiNbAwA1HdSHRgq3zcVhtkuyciYyUk8Z5A30w3GOP8\" alt=\"Ciclo trigonom&eacute;trico, importante para encontrar raz&otilde;es em &Acirc;ngulos not&aacute;veis\"><figcaption class=\"wp-element-caption\">Imagem: Reprodu&ccedil;&atilde;o\/Wikimedia<\/figcaption><\/figure><\/div><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-tabela-de-angulos-notaveis\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Tabela-de-angulos-notaveis\"><\/span>Tabela de &acirc;ngulos not&aacute;veis<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><figure class=\"wp-block-table\"><table><tbody><tr><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"><\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"><strong>sen<\/strong><\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"><strong>cos<\/strong><\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"><strong>tg<\/strong><\/td><\/tr><tr><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"><strong>30&ordm;<\/strong><\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">1\/2<\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">&radic;3\/2<\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">&radic;3\/3<\/td><\/tr><tr><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"><strong>45&ordm;<\/strong><\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">&radic;2\/2<\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">&radic;2\/2<\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">1<\/td><\/tr><tr><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"><strong>60&ordm;<\/strong><\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">&radic;3\/2<\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">1\/2<\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">&radic;3<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure><p>Veja que a tabela relaciona os &acirc;ngulos not&aacute;veis com suas respectivas<a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/funcoes-trigonometricas\/\" target=\"_blank\"> fun&ccedil;&otilde;es trigonom&eacute;tricas<\/a>. Em cada linha, voc&ecirc; pode descobrir o seno, o cosseno e a tangente do grau de abertura em quest&atilde;o.&nbsp;<\/p><p>Para construir essa tabela, existe uma par&oacute;dia da m&uacute;sica natalina Jingle Bells, que ajuda na memoriza&ccedil;&atilde;o dessas fun&ccedil;&otilde;es trigonom&eacute;tricas, veja:<\/p><p class=\"has-text-align-center\"><em>&ldquo;Um, dois, tr&ecirc;s,<\/em><br><em>Tr&ecirc;s, dois, um,&nbsp;<\/em><br><em>todos sobre dois.<\/em><\/p><p class=\"has-text-align-center\"><em>A raiz vai no tr&ecirc;s&nbsp;<\/em><br><em>e tamb&eacute;m no dois.<\/em><\/p><p class=\"has-text-align-center\"><em>A tangente &eacute; diferente vejam s&oacute; voc&ecirc;s:<\/em><br><em>raiz de tr&ecirc;s, sobre tr&ecirc;s&nbsp;<\/em><br><em>Um,<\/em><br><em>&nbsp;raiz de tr&ecirc;s.&rdquo;<\/em><\/p><p>A can&ccedil;&atilde;o deve ser entoada enquanto a tabela se monta. Primeiro, s&atilde;o formadas as duas primeiras colunas, colocando um n&uacute;mero em cada casela. Depois, todas as c&eacute;dulas torna-se fra&ccedil;&otilde;es, com divis&atilde;o por dois, assim:<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh4.googleusercontent.com\/bJ5eGHMUxXyMt64oG4ZjObxwML7hyJyfGxyYH_nbyJYeW_1uOap8EYvKKqTEW7Sh_JdqK1Wwdw0Y9EoDoCaf6Yh7RCEb_OTkcuPIV1mxlwPUMjWG7qpmdp0dzKn-F9b6pivTst7Qh1KbPtbJmj5I_mWHlQdd7AEt1brB6ny3nrlo2VWsBHWEllGV1X8s\" alt=\"Constru&ccedil;&atilde;o de tabela, &acirc;ngulos not&aacute;veis\"><\/figure><\/div><p>Depois, em todos os n&uacute;meros dois ou tr&ecirc;s que estejam no numerador das fra&ccedil;&otilde;es, ser&atilde;o colocados sobre ra&iacute;zes quadradas<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh6.googleusercontent.com\/7JfpwCJcmO7pKw7N6RhkJsZppL8xlIl2HK8qxA2kLxLJK8KzFkEFgd494ZLRCC6l_0OHE2tRSqMr7JcYHZQ5Uu33ysa30f0BzB6AJDdXlu7mtB11OsQnlMt7dJ3LzPdlVY4tYls33GCePkgXsm823LsbGvjjjd36qb7eMknam3g9_ZdZDvhCkOxnhQ8-XQ\" alt=\"Dicas de tabela, &acirc;ngulos not&aacute;veis\"><\/figure><\/div><p>Depois, completa-se a &uacute;ltima coluna da tabela, exatamente como est&aacute; descrito nos versos da &uacute;ltima estrofe.<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh6.googleusercontent.com\/dpPMWz1EORFJTnnoZl2ZWAEFot051KTsZOFD8WEEap_uC7pqE1iqQYI-AFX4m5ZqrO2LjV82kxMer5kZ43v0GZsYNRkp6uUGmadFDn0Pf7vqM8vAsnKhtXOorLZ6TWG86r7vpPalIzc4Ha_AOyQdwfakWH87u_S83Ft3UJbh5puouZhPXma014acNKNpKw\" alt=\"tabela: &acirc;ngulos not&aacute;veis\"><\/figure><\/div><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-como-sao-encontradas-as-funcoes-dos-angulos-notaveis\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Como-sao-encontradas-as-funcoes-dos-angulos-notaveis\"><\/span>Como s&atilde;o encontradas as fun&ccedil;&otilde;es dos &acirc;ngulos not&aacute;veis?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>As raz&otilde;es trigonom&eacute;tricas seno, cosseno e tangente podem ser encontradas por meio do ciclo trigonom&eacute;trico. Mas o princ&iacute;pio que norteia esse conhecimento parte do estudo da trigonometria no tri&acirc;ngulo ret&acirc;ngulo.&nbsp;<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter is-resized\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh3.googleusercontent.com\/tW9J2Nmvy1v7p_JIaD29aGYEwBSEAb4VVDc0HEKZ64TwfvZgyD_v1xHiXf2UKq16BHwyyKsTy8HIBEvyPo0e3cjJWZZodYYJiWJQqsFGiDYmGyZHyG9Z-4xJBTTV0AElr8csI2gqcpL8yh2zl84UzZW88TtTWUmuG4PHt3F9PtXuLRsQ6ZfsxIXLDduRLA\" alt=\"\" width=\"-113\" height=\"-113\"><figcaption class=\"wp-element-caption\">Imagem: Reprodu&ccedil;&atilde;o\/Wikimedia<\/figcaption><\/figure><\/div><p>Em um tri&acirc;ngulo ret&acirc;ngulo, o lado que fica imediatamente oposto ao &acirc;ngulo reto &eacute; chamado de hipotenusa. Depois, &eacute; preciso definir um &acirc;ngulo de destaque para encontrar as raz&otilde;es trigonom&eacute;tricas.&nbsp;<\/p><p>No exemplo acima, considere que &Acirc; &eacute; o &acirc;ngulo em quest&atilde;o. Ent&atilde;o, o lado do <a href=\"http:\/\/Tri%C3%A2ngulos:%20defini%C3%A7%C3%A3o,%20per%C3%ADmetro,%20%C3%A1rea,%20classifica%C3%A7%C3%B5es\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">tri&acirc;ngulo<\/a> que est&aacute; oposto a ele &eacute; chamado de cateto oposto, enquanto que o lado que forma o &acirc;ngulo &Acirc; juntamente com a hipotenusa &eacute; o cateto adjacente. A partir desses conceitos, admite-se que:<\/p><p>seno &Acirc; = cateto oposto \/ hipotenusa<br>cosseno &Acirc; = cateto adjacente \/ hipotenusa<br>tangente &Acirc; = cateto oposto \/ cateto adjacente<\/p><p>Com todas essas f&oacute;rmulas definidas e tamb&eacute;m a padroniza&ccedil;&atilde;o do ciclo trigonom&eacute;trico de raio 1, fica mais f&aacute;cil definir as raz&otilde;es para os &acirc;ngulos not&aacute;veis. Acompanhe:<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh5.googleusercontent.com\/sTyFNRxGAjY0XwPl4HPFWyQoEQLfxnHX0DvLZTt5DXB_gnSzyQlP7xeINWzc2baF8uTl---Dh2anolUTp2AMY3hzSHiMI4Ujtm3eIQ5Fm9_9lng8N9fYogNdA0slFOvo-5m6R0XhNNMPbPBqIwLWwETFiTwq_PLYSerxvKDXYYXTUXQHEp4pBs4gColIxA\" alt=\"demonstra&ccedil;&atilde;o &acirc;ngulos not&aacute;veis\"><figcaption class=\"wp-element-caption\">Imagem: Adapta&ccedil;&atilde;o\/Wikimedia<\/figcaption><\/figure><\/div><p>Primeiro, encontramos o &acirc;ngulo de 30&ordm; no <a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/circulo-trigonometrico\/\" target=\"_blank\">ciclo trigonom&eacute;trico<\/a> e, a partir disso, ampliamos o tri&acirc;ngulo ret&acirc;ngulo formado entre o raio do c&iacute;rculo e as proje&ccedil;&otilde;es dessa reta sobre o eixo x e o eixo y.<\/p><p>Perceba que raio = 1 e, nesse caso, o raio representa a hipotenusa do tri&acirc;ngulo ret&acirc;ngulo. O valor de 60&ordm; foi encontrado porque, obrigatoriamente, a soma dos &acirc;ngulos internos de um tri&acirc;ngulo deve ser igual a 180&ordm;.<\/p><p>Agora, vamos estabelecer as fun&ccedil;&otilde;es trigonom&eacute;tricas para 30&ordm;. Olhe para o tri&acirc;ngulo ret&acirc;ngulo A e perceba que, o cateto imediatamente oposto a ele mede &frac12; (co = 1\/2), o cateto que est&aacute; pr&oacute;ximo ao &acirc;ngulo tem &radic;3\/2 de comprimento (ca = &radic;3\/2). Com isso:<\/p><p>seno 30&ordm; = cateto oposto \/ hipotenusa = (&frac12;)\/1 &rArr; sen 30&ordm; = 1\/2<br>cosseno 30&ordm; = cateto adjacente \/ hipotenusa = (&radic;3\/2)\/1&rArr; cos 30&ordm; = &radic;3\/2<br>tangente 30&ordm; = cateto oposto \/ cateto adjacente = (1\/2) \/ (&radic;3\/2)&nbsp; &rArr; tg 30&ordm; = &radic;3\/3<\/p><p>Depois, com procedimentos semelhantes aos que foram utilizados anteriormente, vamos descobrir as raz&otilde;es trigonom&eacute;tricas para o &acirc;ngulo de 60&ordm;. Lembre-se de que, dessa vez, os catetos opostos e adjacentes t&ecirc;m valores invertidos: ca = &frac12; e co = &radic;3\/2.<\/p><p>seno 60&ordm; = cateto oposto \/ hipotenusa = (&radic;3\/2)\/1 &rArr; sen 60&ordm; = &radic;3\/2<br>cosseno 60&ordm; = cateto adjacente \/ hipotenusa = (&frac12;)\/1&nbsp; &rArr; cos 60&ordm; =&nbsp; &frac12;<br>tangente 60&ordm; = cateto oposto \/ cateto adjacente = (&radic;3\/2) \/ (1\/2) &rArr; tg 60&ordm; = &radic;3<\/p><p>&Eacute; importante notar que os valores de seno e cosseno de &acirc;ngulos complementares (que juntos somam 90&ordm;) ser&atilde;o invertidos, ou seja, o seno de um &eacute; o cosseno do outro. &Eacute; exatamente isso que observamos entre 30&ordm; e 60&ordm;.<\/p><p>Por fim, vamos encontrar as raz&otilde;es trigonom&eacute;tricas de 45&ordm;. Em um quadrado, uma diagonal que parte de um v&eacute;rtice a outro divide o &acirc;ngulo de 90&ordm; graus em dois &acirc;ngulos de 45&ordm;. Diante disso, s&atilde;o formados dois tri&acirc;ngulos ret&acirc;ngulos. Vamos estudar um desses, para um quadrado de lado igual a 1.<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter is-resized\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh3.googleusercontent.com\/X7S0HfwvnNxBwwAaidcIkiFE5AKFJ9EfrrUtNsgYEPtsCCT2v5dKx737FXqOHd55yxCMbw6xxxtbZn5NlRh_hcgIdZfNhlushj3kVyZj2En3VZCLjL2y4tLz1zyf-udY5k7V5XN7OQue5H-eJLkHikEV_4qi2FtSWTbpe-g72ZPMO1iJYzFedL8cDPf0MA\" alt=\"tri&acirc;ngulo\" width=\"-169\" height=\"-174\"><figcaption class=\"wp-element-caption\">Imagem: Reprodu&ccedil;&atilde;o\/Wikimedia<\/figcaption><\/figure><\/div><p>Perceba que, em tri&acirc;ngulos como esse, os catetos possuem valores iguais. Ent&atilde;o, seguimos o estudo substituindo ca = co = 1. Ao mesmo tempo, est&aacute; definido que a diagonal de um quadrado &eacute; igual a L.&radic;2, por isso, nesse caso, a hipotenusa &eacute; igual a 1.&radic;2 &rArr; hipotenusa = &radic;2,<\/p><p>seno 45&ordm; = cateto oposto \/ hipotenusa = 1\/&radic;2 &rArr; sen 45&ordm; = &radic;2\/2<\/p><p>cosseno 45&ordm; = cateto adjacente \/ hipotenusa =&nbsp; 1\/&radic;2 &rArr; cos 45&ordm; = &radic;2\/2<\/p><p>tangente 45&ordm; = cateto oposto \/ cateto adjacente = &radic;2\/&radic;2 &rArr; tg 45&ordm; = 1<\/p><p>+ Veja tamb&eacute;m: <a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/arcos-e-angulos\/\" target=\"_blank\">Arcos e &acirc;ngulos: o que s&atilde;o, circunfer&ecirc;ncia e como medir<\/a><\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-outros-angulos-importantes\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Outros-angulos-importantes\"><\/span>Outros &acirc;ngulos importantes<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>Por fim, conhe&ccedil;a tamb&eacute;m outros &acirc;ngulos importantes e seus valores de seno e cosseno:<\/p><figure class=\"wp-block-table\"><table><tbody><tr><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"><\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"><strong>sen<\/strong><\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"><strong>cos<\/strong><\/td><\/tr><tr><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"><strong>0&ordm;<\/strong><\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">0<\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">1<\/td><\/tr><tr><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"><strong>90&ordm;<\/strong><\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">1<\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">0<\/td><\/tr><tr><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"><strong>180&ordm;<\/strong><\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">0<\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">-1<\/td><\/tr><tr><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"><strong>270&ordm;<\/strong><\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">-1<\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">0<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-questao-de-vestibular-sobre-angulos-notaveis\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Questao-de-vestibular-sobre-angulos-notaveis\"><\/span>Quest&atilde;o de vestibular sobre &acirc;ngulos not&aacute;veis<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>(Enem\/2010)<\/p><p>Um bal&atilde;o atmosf&eacute;rico, lan&ccedil;ado em Bauru (343 quil&ocirc;metros a Noroeste de S&atilde;o Paulo), na noite do &uacute;ltimo domingo, caiu nesta segunda-feira em Cuiab&aacute; Paulista, na regi&atilde;o de Presidente Prudente, assustando agricultores da regi&atilde;o. O artefato faz parte do programa Projeto Hibiscus, desenvolvido por Brasil, Fran&ccedil;a, Argentina, Inglaterra e It&aacute;lia, para a medi&ccedil;&atilde;o do comportamento da camada de oz&ocirc;nio, e sua descida se deu ap&oacute;s o cumprimento do tempo previsto de medi&ccedil;&atilde;o.<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh4.googleusercontent.com\/57o4S8Yz4Ssk3glWf9vTus7BGOqBt6ywaT1vzJDKq485l0scuBLqyiYTdRmcHFNCoh6kPmmF3SJ1_UcU1VRriQ7_poeUVq1KLQhy1OpN9fEFAl9wZQALuIUuEoOFj4gikB4exYbAafWkncKlYGnkTJut2YZNNttbsmy7Btx9xqDUO9OEEPeqUeI3vX73TA\" alt=\"\"><\/figure><\/div><p>Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o bal&atilde;o. Uma estava a 1,8 km da posi&ccedil;&atilde;o vertical do bal&atilde;o e o avistou sob um &acirc;ngulo de 60&ordm;; a outra estava a 5,5 km da posi&ccedil;&atilde;o vertical do bal&atilde;o, alinhada com a primeira, e no mesmo sentido, conforme se v&ecirc; na figura, e o avistou sob um &acirc;ngulo de 30&ordm;.<\/p><p>Qual a altura aproximada em que se encontrava o bal&atilde;o?<\/p><p>a) 1,8km<br>b) 1,9km<br>c) 3,1km<br>d) 3,7km<br>e) 5,5km<\/p><p>Considera-se que a altura do bal&atilde;o &eacute; o cateto oposto para o &acirc;ngulo de 60&ordm;, com cateto adjacente de 1,8km. Ao mesmo tempo, &eacute; tamb&eacute;m cateto oposto de 30&ordm;, quando o cateto adjacente mede 1,8 + 3,7 km.&nbsp;<\/p><p>A partir disso, vamos utilizar as raz&otilde;es trigonom&eacute;tricas dos &acirc;ngulos not&aacute;veis e descobrir a altura de queda.&nbsp;<\/p><p>&nbsp;tg 60&ordm; = &radic;3<\/p><p>tangente 60&ordm; = cateto oposto \/ cateto adjacente<\/p><p>&radic;3 = altura \/ 1,8&nbsp;<br>&radic;3.1,8 = altura<br>altura = 3,11 km<\/p><p>tg 30&ordm; = &radic;3\/3<\/p><p>tangente 30&ordm; = cateto oposto \/ cateto adjacente<\/p><p>&radic;3\/3 = altura \/ 1,8 + 3,7<br>&radic;3\/3 = altura \/ 5,5<br>5,5 . (&radic;3\/3)&nbsp; = altura<br>altura &#8771; 3,1 km<\/p><p>Note que o conhecimento sobre o valor da tangente de pelo menos um dos &acirc;ngulos not&aacute;veis seria suficiente para responder a quest&atilde;o com a alternativa correta, a letra <strong>C<\/strong>.&nbsp;<\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-aprenda-mais-matematica-com-o-estrategia\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Aprenda-mais-matematica-com-o-Estrategia\"><\/span>Aprenda mais matem&aacute;tica com o Estrat&eacute;gia&nbsp;<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>Com as trilhas estrat&eacute;gias dos cursos preparat&oacute;rios da Coruja, voc&ecirc; pode percorrer as disciplinas necess&aacute;rias para o seu vestibular. Elas s&atilde;o um guia do que e quando estudar os temas, preparadas por alunos aprovados nas institui&ccedil;&otilde;es mais concorridas do pa&iacute;s. 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aplica&ccedil;&otilde;es<\/a>&nbsp;<\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/aproximacao-senx-tgx-x-e-suas-aplicacoes-no-vestibular\/\">Aproxima&ccedil;&atilde;o sen(x) = tg(x) = xe suas aplica&ccedil;&otilde;es no vestibular<\/a>&nbsp;<\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/seno-cosseno-tangente\/\">Seno, cosseno e tangente: como calcular, tabela e formulas<\/a><\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/operacoes-com-arcos\/\">Opera&ccedil;&otilde;es com arcos: o que s&atilde;o, ciclo trigonom&eacute;trico e como fazer<\/a><\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/matematica\/funcoes-trigonometricas\/\">Fun&ccedil;&otilde;es trigonom&eacute;tricas: f&oacute;rmulas, gr&aacute;ficos e aplica&ccedil;&otilde;es<\/a><\/li>\n\n\n\n<li><a 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