{"id":87882,"date":"2023-02-20T16:39:46","date_gmt":"2023-02-20T19:39:46","guid":{"rendered":"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/?p=87882"},"modified":"2024-04-03T10:20:01","modified_gmt":"2024-04-03T13:20:01","slug":"teorema-de-pitagoras","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/teorema-de-pitagoras\/","title":{"rendered":"Teorema de Pit\u00e1goras: o que \u00e9, f\u00f3rmula e aplica\u00e7\u00f5es"},"content":{"rendered":"<p>O teorema de Pit&aacute;goras est&aacute; entre os c&aacute;lculos mais importantes do estudo geom&eacute;trico. Trata-se de uma f&oacute;rmula matem&aacute;tica que relaciona os lados de um tri&acirc;ngulo ret&acirc;ngulo. A partir disso, &eacute; poss&iacute;vel encontrar o valor de um desses segmentos, compreender a dist&acirc;ncia entre pontos e at&eacute; mesmo pode ser utilizado para calcular unidades vetoriais, na f&iacute;sica.&nbsp;<p>Com os usos apresentados anteriormente, al&eacute;m de muitos outros, fica evidente que o teorema de Pit&aacute;goras &eacute; um conhecimento essencial para o dia a dia. Por essa raz&atilde;o, muitas provas de vestibulares cobram que os alunos dominem o tema. Neste artigo, voc&ecirc; poder&aacute; aprender a f&oacute;rmula, usos e conceitos associados a essa ferramenta da geometria. Vamos estudar?<\/p><div id=\"ez-toc-container\" class=\"ez-toc-v2_0_76 counter-hierarchy ez-toc-counter ez-toc-transparent ez-toc-container-direction\">\n<div class=\"ez-toc-title-container\"><p class=\"ez-toc-title\" style=\"cursor:inherit\">Navegue pelo conte\u00fado<\/p>\n<\/div><nav><ul class='ez-toc-list ez-toc-list-level-1 ' ><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-1\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/teorema-de-pitagoras\/#Conceitos-no-teorema-de-Pitagoras\" >Conceitos no teorema de Pit&aacute;goras<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-2\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/teorema-de-pitagoras\/#Formula-do-teorema-de-pitagoras\" >F&oacute;rmula do teorema de pit&aacute;goras<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-3\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/teorema-de-pitagoras\/#Aplicacao-do-teorema\" >Aplica&ccedil;&atilde;o do teorema<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-4\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/teorema-de-pitagoras\/#Estude-com-o-Estrategia-Vestibulares\" >Estude com o Estrat&eacute;gia Vestibulares!<\/a><\/li><\/ul><\/nav><\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-conceitos-no-teorema-de-pitagoras\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Conceitos-no-teorema-de-Pitagoras\"><\/span>Conceitos no teorema de Pit&aacute;goras<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>Antes de apresentar a f&oacute;rmula do teorema de Pit&aacute;goras, &eacute; importante entender os conceitos geom&eacute;tricos que devem ser aplicados. Afinal, para desenvolver o c&aacute;lculo, os lados do tri&acirc;ngulo assumem uma nova nomenclatura. Acompanhe.&nbsp;<\/p><p>Dado um tri&acirc;ngulo ret&acirc;ngulo qualquer, &eacute; importante reconhecer onde est&aacute; localizado o &acirc;ngulo reto. Na representa&ccedil;&atilde;o padr&atilde;o, ele estar&aacute; sinalizado com um quadrado entre as arestas da figura geom&eacute;trica e o &acirc;ngulo, como mostra a figura abaixo.<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter is-resized\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh3.googleusercontent.com\/mohQhvE5aKVcIMBQ_z2kcaQzc-4T16UwY_-8PB1LKyQrPnJWNtHcL-zSQGC6-ILN6GuZ_1tJgF_L8k3D0LL7nFUHUF2xqvCKcSQEU5ZVQL39m-zXEb43O_PPC7ACdKaE1QU1MpPT5ETdwJLM8_gZN6E\" alt=\"teorema de pit&aacute;goras - tri&acirc;ngulo ret&acirc;ngulo\" style=\"width:376px;height:190px\"><\/figure><\/div><p>Encontrado esse &acirc;ngulo de 90&ordm;, observe qual &eacute; o lado do tri&acirc;ngulo que n&atilde;o constitui esse v&eacute;rtice. Ou seja, aquela aresta que est&aacute; imediatamente oposta ao &acirc;ngulo reto. Na <a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/geometria\/\">geometria <\/a>pitag&oacute;rica, esse lado ser&aacute; chamado de hipotenusa. A hipotenusa de um tri&acirc;ngulo &eacute; um conceito fixo, porque estar&aacute; sempre afastada do &acirc;ngulo ortogonal.&nbsp;<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter is-resized\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh4.googleusercontent.com\/nU5ZNe-Eelj7674mb2gu5r3IOpl8YGeigd8IEvABy93aomGWrYyfSYV4hqyn0iRd_6Ohv2TDqvEG66d8lIJMQ-AMETTZjDChte-RC6TLdktE-U55uyQ7y3Q5fwb4SX9G4kXoBRmQuuiFSPDHVG721w8\" alt=\"o que &eacute; um tri&acirc;ngulo ret&acirc;ngulo?\" style=\"width:345px;height:239px\"><\/figure><\/div><p>Depois de definida a hipotenusa, os outros dois lados do tri&acirc;ngulo ser&atilde;o chamados de catetos. O nome cateto &eacute; um fixo, j&aacute; que eles estar&atilde;o sempre em contato com o &acirc;ngulo reto. Por outro lado, eles podem ser classificados em cateto adjacente ou cateto oposto.&nbsp;<\/p><p>Essa classifica&ccedil;&atilde;o s&oacute; &eacute; v&aacute;lida quando estamos analisando um dos &acirc;ngulos agudos do tri&acirc;ngulo. A aresta que fica imediatamente oposta a essa abertura ser&aacute; chamada de cateto oposto. Ao mesmo tempo, o lado que, junto com a hipotenusa, forma o &acirc;ngulo, &eacute; chamado de cateto adjacente. Note, ainda, que esse conceito &eacute; relativo, porque, a depender do referencial, um cateto pode ser adjacente ou oposto.<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter is-resized\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh5.googleusercontent.com\/GxiS7hgJp-JuZZI3BGI48CTHy28n1TpDHrBHUnfYkmtmJXciGNs6v4vg-a_55DxufuQMGn9ZtEuLykiBDV_SXpqOSpvO79LfG2dd8Ylt9mowKlZdqSpmblZRobqrllpc3Cdo__1HIilDjNk3YMIwS5A\" alt=\"catetos - tri&acirc;ngulo ret&acirc;ngulo\" style=\"width:457px;height:271px\"><\/figure><\/div><ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Veja tamb&eacute;m: <a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/trigonometria-no-triangulo-retangulo\/\" target=\"_blank\">Trigonometria no tri&acirc;ngulo ret&acirc;ngulo: f&oacute;rmulas e quest&atilde;o<\/a><\/li>\n<\/ul><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-formula-do-teorema-de-pitagoras\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Formula-do-teorema-de-pitagoras\"><\/span>F&oacute;rmula do teorema de pit&aacute;goras<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>A partir de conhecimentos a respeito dos &acirc;ngulos, catetos e hipotenusas foi criado o teorema de Pit&aacute;goras. A f&oacute;rmula representa a hipotenusa pela letra a, enquanto que os catetos s&atilde;o a e b. Matematicamente, ela ser&aacute; descrita como:<\/p><p class=\"has-text-align-center\">a<sup>2<\/sup> = b<sup>2<\/sup> + c<sup>2<\/sup><\/p><p>Assim, ela pode ser enunciada como &ldquo;o quadrado da hipotenusa &eacute; igual a soma dos quadrados dos catetos&rdquo;.&nbsp;<\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-aplicacao-do-teorema\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Aplicacao-do-teorema\"><\/span>Aplica&ccedil;&atilde;o do teorema<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>O teorema de Pit&aacute;goras pode ser &uacute;til para encontrar o valor da hipotenusa ou de um dos catetos de um tri&acirc;ngulo ret&acirc;ngulo. Al&eacute;m disso, observe que muitas <a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/figuras-geometricas\/\" target=\"_blank\">figuras geom&eacute;tricas<\/a> possuem &acirc;ngulos ret&acirc;ngulos e isso permite, de certa forma, calcular diagonais, dist&acirc;ncia entre v&eacute;rtices e muitas outras caracter&iacute;sticas. Acompanhe os exemplos, com base em quest&otilde;es de vestibulares.<\/p><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-questao-sobre-teorema-de-pitagoras\">Quest&atilde;o sobre teorema de Pit&aacute;goras<\/h3><p><strong>Enem 2014<\/strong><\/p><p>Diariamente, uma resid&ecirc;ncia consome 20.160Wh. Essa resid&ecirc;ncia possui 100 c&eacute;lulas solares retangulares (dispositivos capazes de converter a luz solar em energia el&eacute;trica) de dimens&otilde;es 6 cm x 8 cm. Cada uma das tais c&eacute;lulas produz, ao longo do dia, 24Wh por cent&iacute;metro de diagonal. O propriet&aacute;rio dessa resid&ecirc;ncia quer produzir, por dia, exatamente a mesma quantidade de energia que sua casa consome. Qual deve ser a a&ccedil;&atilde;o desse propriet&aacute;rio para que ele atinja o seu objetivo?<\/p><p>A) Retirar 16 c&eacute;lulas.<br>B) Retirar 40 c&eacute;lulas.<br>C) Acrescentar 5 c&eacute;lulas.<br>D) Acrescentar 20 c&eacute;lulas.<br>E) Acrescentar 40 c&eacute;lulas.<\/p><p>Primeiramente, vamos organizar todas as informa&ccedil;&otilde;es do enunciado, para facilitar a resolu&ccedil;&atilde;o do problema:<\/p><p>Consumo total: 20.160 Wh\/dia<\/p><p>C&eacute;lulas solares: 100 c&eacute;lulas retangulares, com lados de 6 cm e 8 cm<\/p><p>Cada cent&iacute;metro de diagonal da c&eacute;lula produz 24Wh<\/p><p>Perceba que toda a quest&atilde;o gira em torno de saber quandos Wh uma c&eacute;lula &eacute; capaz de produzir. Esse valor est&aacute; relacionado com o tamanho da diagonal dessas c&eacute;lulas. Nesse caso, vamos desenhar esses ret&acirc;ngulos conforme est&atilde;o descritos no enunciado:<\/p><figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh6.googleusercontent.com\/w5bGEWmpf4h4NHEUzP_ddZAmp7wZbbT0lkLh4p-5Tvoc_ulmY535QvGPuqD6PjYgvM5mdsljob7IsszfRfiZMw5U0r47EKOupgJDgxt_NeVtkSS1QHYnPMxjCZXYmQ69g-CGTWGaEwt_z1aWDlBry9o\" alt=\"ret&acirc;ngulo - teorema de pit&aacute;goras\"><\/figure><p>Para determinar a diagonal, ent&atilde;o, devemos unir o v&eacute;rtice superior direito com o v&eacute;rtice inferior esquerdo. Perceba que essa a&ccedil;&atilde;o determina um tri&acirc;ngulo ret&acirc;ngulo, com catetos de medida igual a 6 cm e 8 cm. Assim, basta descobrir o valor da hipotenusa, que &eacute; exatamente a diagonal do ret&acirc;ngulo.<\/p><figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh5.googleusercontent.com\/0TPA5YTD_FGp81nN7lvErEapNxES723MqfdDISvIp_VidxWHIyq0w1Lnvq1iYzh-DWFC6Rclmt9sP6ITMIKI9ybEKfAZmFoxNTbfoshfCLTcOVlQ2eCxM1XU2T0ENUDnggY5ooxVSXoJtcU4w2Auvf0\" alt=\"tri&acirc;ngulo ret&acirc;ngulo no ret&acirc;ngulo\"><\/figure><p>Agora, podemos aplicar o teorema de Pit&aacute;goras, de forma que:<\/p><p>a = diagonal = ?<\/p><p>b = 6 cm&nbsp;<\/p><p>c = 8 cm<\/p><p>a<sup>2<\/sup> = b<sup>2<\/sup> + c<sup>2<\/sup><\/p><p>a<sup>2<\/sup> = 6<sup>2<\/sup> + 8<sup>2<\/sup><\/p><p>a<sup>2<\/sup> = 36 + 64<\/p><p>a<sup>2<\/sup> = 100<\/p><p>a = 10 cm<\/p><p>Cada c&eacute;lula produz exatamente o tamanho da diagonal multiplicado por 24Wh. Nesse caso, ent&atilde;o: 10.24 = 240 Wh.&nbsp;<\/p><p>Agora, qual seria o necess&aacute;rio para suprir exatamente o consumo dessa casa?<\/p><p>consumo total \/ produ&ccedil;&atilde;o de uma &uacute;nica c&eacute;lula = n&uacute;mero de c&eacute;lulas necess&aacute;rias<\/p><p>20160 \/ 240 = n&uacute;mero de c&eacute;lulas necess&aacute;rias<\/p><p>84 = n&uacute;mero de c&eacute;lulas necess&aacute;rias<\/p><p>Dessa forma, ele possui 100 &ndash; 84 = 16 c&eacute;lulas a mais em seu sistema solar. Por isso, deve retirar 16 c&eacute;lulas, como aponta a alternativa A.<\/p><p>Note como, com o teorema de Pit&aacute;goras e opera&ccedil;&otilde;es de multiplica&ccedil;&atilde;o e divis&atilde;o, foi poss&iacute;vel resolver um exerc&iacute;cio do Enem!<\/p><p>+ Veja tamb&eacute;m: <a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/angulos-notaveis\/\">&Acirc;ngulos not&aacute;veis: tabela, demonstra&ccedil;&atilde;o, dicas e quest&otilde;es<\/a><\/p><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-questao-sobre-teorema-de-pitagoras-0\">Quest&atilde;o sobre teorema de Pit&aacute;goras<\/h3><p><strong>IFRS 2016 (adaptada)<\/strong><\/p><p>Na figura abaixo, qual o valor de x e y, respectivamente?<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh3.googleusercontent.com\/yq_zdZ04AkIq-g4rxw9Kkl_nyCn5y3G9hXfWVLsMuYiDTv5st2RveEIHRcuA7Ijlx1n-k3TuknvJ7tCm1KXmnVBpxokfpVRAuk2MGZXxFD_2vOhZ15h3bu1i5uNEq-JDfipu5EppBNr5D5g04ZPo7m0\" alt=\"teorema de pit&aacute;goras\"><\/figure><\/div><p>O primeiro passo &eacute; perceber que existem tr&ecirc;s <a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/triangulos\/\" target=\"_blank\">tri&acirc;ngulos <\/a>nessa quest&atilde;o e dois deles s&atilde;o ret&acirc;ngulos.<\/p><p>T<sub>RET&Acirc;NGULO <\/sub>A = catetos de 4 cm e hipotenusa x<\/p><p>T<sub>RET&Acirc;NGULO <\/sub>B = cateto de 4 cm, cateto de 4 + 5 cm e hipotenusa y<\/p><figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh6.googleusercontent.com\/RAZptlYt2owBAPrhPOUNBLM4xmpa7Qf8sCx8BVRFjoNs9TjJpexLJLKhM1tTszCtYS1KYDiyC87hWNlyGWsuhP3qexZcaz3l87kikdSCPPBosC4WxDwKrvkJVS2QIGgfIK6bvt08rpFNUAlVnrnQLhs\" alt=\"quest&otilde;es de teorema de pit&aacute;goras\"><\/figure><p>&nbsp;A partir disso, vamos aplicar o teorema de Pit&aacute;goras para o T<sub>RET&Acirc;NGULO <\/sub>A:<\/p><p>cateto<sup>2<\/sup> + cateto<sup>2<\/sup>= hipotenusa<sup>2<\/sup><\/p><p>4<sup>2<\/sup> + 4<sup>2<\/sup> = x<sup>2<\/sup><br>16 + 16 = x<sup>2<\/sup><br>32 = x<sup>2<\/sup><br>&radic;32 = x<br>&radic;16.2 = x<br>&radic;4.4.2 = x<\/p><p>4&radic;2 = x<\/p><p>Para o T<sub>RET&Acirc;NGULO <\/sub>B:<\/p><p>cateto<sup>2<\/sup> + cateto<sup>2<\/sup>= hipotenusa<sup>2<\/sup><br>4<sup>2<\/sup> + (4+5)<sup>2<\/sup> = y<sup>2<\/sup><br>16 + 9<sup>2<\/sup> = y<sup>2<\/sup><br>16 + 81 = y<sup>2<\/sup><br>97 = y<sup>2<\/sup><br>&radic;97 = y&nbsp;<\/p><p>N&atilde;o h&aacute; como fatorar &radic;97, pois trata-se de um n&uacute;mero primo. Ent&atilde;o, x = 4&radic;2 e y = &radic;97.<\/p><p>Veja tamb&eacute;m: <a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/area-de-triangulo\/\" target=\"_blank\">&Aacute;rea de tri&acirc;ngulo: como calcular &aacute;rea de figuras de forma simples<\/a><\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-estude-com-o-estrategia-vestibulares\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Estude-com-o-Estrategia-Vestibulares\"><\/span>Estude com o Estrat&eacute;gia Vestibulares!<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>Acompanhe o canal do <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/@EstrategiaVestibulares\" target=\"_blank\">Youtube da Coruja<\/a>: l&aacute; voc&ecirc; encontra aulas de revis&atilde;o importantes para refor&ccedil;ar seu aprendizado.&nbsp;<\/p><figure class=\"wp-block-embed is-type-video is-provider-youtube wp-block-embed-youtube wp-embed-aspect-16-9 wp-has-aspect-ratio\"><div class=\"wp-block-embed__wrapper\">\n<div class=\"cs-embed cs-embed-responsive\"><iframe title=\"Geometria Plana B&aacute;sica - Revis&atilde;o de Matem&aacute;tica\" width=\"1200\" height=\"675\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/nXHNGIy3ry4?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe><\/div>\n<\/div><\/figure><p>O Estrat&eacute;gia Vestibulares est&aacute; sempre inovando para facilitar o seu aprendizado. 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