{"id":87893,"date":"2023-02-21T06:00:00","date_gmt":"2023-02-21T09:00:00","guid":{"rendered":"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/?p=87893"},"modified":"2024-04-02T16:10:11","modified_gmt":"2024-04-02T19:10:11","slug":"funcao-exponencial","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/funcao-exponencial\/","title":{"rendered":"Fun\u00e7\u00e3o exponencial: o que \u00e9, gr\u00e1fico, quest\u00f5es&nbsp;"},"content":{"rendered":"<p>A fun&ccedil;&atilde;o exponencial acontece quando a inc&oacute;gnita de um c&aacute;lculo matem&aacute;tico est&aacute; no expoente. Dessa forma, seu comportamento gr&aacute;fico e as formas de resolver dependem do conhecimento a respeito de logaritmos, exponencia&ccedil;&atilde;o, potencia&ccedil;&atilde;o, radicia&ccedil;&atilde;o e etc.&nbsp;<p>Conhe&ccedil;a, agora, os conceitos de fun&ccedil;&atilde;o exponencial, como &eacute; constru&iacute;do e qual o desenho do gr&aacute;fico desses c&aacute;lculos. Depois, veja a resolu&ccedil;&atilde;o de uma quest&atilde;o do Enem e trata sobre esse tema. Vamos l&aacute;?<\/p><div id=\"ez-toc-container\" class=\"ez-toc-v2_0_76 counter-hierarchy ez-toc-counter ez-toc-transparent ez-toc-container-direction\">\n<div class=\"ez-toc-title-container\"><p class=\"ez-toc-title\" style=\"cursor:inherit\">Navegue pelo conte\u00fado<\/p>\n<\/div><nav><ul class='ez-toc-list ez-toc-list-level-1 ' ><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-1\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/funcao-exponencial\/#O-que-e-a-funcao-exponencial\" >O que &eacute; a fun&ccedil;&atilde;o exponencial?<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-2\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/funcao-exponencial\/#Classificacoes-da-funcao\" >Classifica&ccedil;&otilde;es da fun&ccedil;&atilde;o<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-3\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/funcao-exponencial\/#Grafico-da-funcao-exponencial\" >Gr&aacute;fico da fun&ccedil;&atilde;o exponencial&nbsp;<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-4\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/funcao-exponencial\/#Questao-do-Enem-sobre-funcao-exponencial\" >Quest&atilde;o do Enem sobre fun&ccedil;&atilde;o exponencial<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-5\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/funcao-exponencial\/#Estude-para-o-vestibular-com-o-Estrategia\" >Estude para o vestibular com o Estrat&eacute;gia!<\/a><\/li><\/ul><\/nav><\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-o-que-e-a-funcao-exponencial\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"O-que-e-a-funcao-exponencial\"><\/span>O que &eacute; a fun&ccedil;&atilde;o exponencial?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>Uma fun&ccedil;&atilde;o &eacute; considerada exponencial quando ela possui uma base com valores positivos maiores do que zero e diferentes de um, em que o expoente &eacute; um inc&oacute;gnita, como em f(x) = 4<sup>x<\/sup>. Assim, a estrutura geral desse tipo de fun&ccedil;&atilde;o ser&aacute; tal que f(x) = a<sup>x<\/sup>, de forma que a pertence ao conjunto dos n&uacute;meros reais, a&gt;0 e a&ne;1.Tais regras s&atilde;o baseadas em princ&iacute;pios das potencia&ccedil;&atilde;o.]\n\n\n\n<\/p><p>A multiplica&ccedil;&atilde;o de zero por ele mesmo sempre ser&aacute; igual a zero, ent&atilde;o o c&aacute;lculo n&atilde;o seria v&aacute;lido. Ao mesmo tempo, quando 1 &eacute; elevado a qualquer expoente, o resultado ser&aacute; 1 (1.1.1.1.1.1 = 1). Ent&atilde;o, a fun&ccedil;&atilde;o seria uma constante. Ao mesmo tempo, no conjunto dos n&uacute;meros reais, n&atilde;o &eacute; poss&iacute;vel determinar a <a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/radiciacao\/\" target=\"_blank\">radicia&ccedil;&atilde;o <\/a>de n&uacute;meros negativos. &Eacute; isso que restringe o valor de a, que deve ser sempre positivo.&nbsp;<\/p><figure class=\"wp-block-embed is-type-video is-provider-youtube wp-block-embed-youtube wp-embed-aspect-16-9 wp-has-aspect-ratio\"><div class=\"wp-block-embed__wrapper\">\n<div class=\"cs-embed cs-embed-responsive\"><iframe title=\"FUN&Ccedil;&Atilde;O EXPONENCIAL para Vestibulares\" width=\"1200\" height=\"675\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/ixw9Y5xea5g?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe><\/div>\n<\/div><\/figure><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-classificacoes-da-funcao\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Classificacoes-da-funcao\"><\/span>Classifica&ccedil;&otilde;es da fun&ccedil;&atilde;o<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-funcao-exponencial-crescente\">Fun&ccedil;&atilde;o exponencial crescente<\/h3><p>Uma fun&ccedil;&atilde;o exponencial crescente acontece quando a base &eacute; um n&uacute;mero real maior do que 1. Isso significa que, quanto maior o valor da inc&oacute;gnita no expoente, maior ser&aacute; o resultado da fun&ccedil;&atilde;o.&nbsp;<\/p><p>Por exemplo, a fun&ccedil;&atilde;o f(x) = 2<sup>x<\/sup>, seria um fun&ccedil;&atilde;o exponencial crescente, j&aacute; que 2&gt;1. Na aplica&ccedil;&atilde;o, podemos atribuir valores diferentes ao x, para entender seu padr&atilde;o de crescimento. Na tabela abaixo nota-se que um pequeno crescimento no valor da inc&oacute;gnita x &eacute; suficiente para uma grande evolu&ccedil;&atilde;o de y &mdash; uma caracter&iacute;stica essencial dos c&aacute;lculos exponenciais.<\/p><figure class=\"wp-block-table\"><table><tbody><tr><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">x<\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">Fun&ccedil;&atilde;o f(x) = 2<sup>x<\/sup><\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">y<\/td><\/tr><tr><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">1<\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">f(1) = 2<sup>1<\/sup><\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">2<\/td><\/tr><tr><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">2<\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">f(2) = 2<sup>2<\/sup><\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">4<\/td><\/tr><tr><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">3<\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">f(3) = 2<sup>3<\/sup><\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">8<\/td><\/tr><tr><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">4<\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">f(4) = 2<sup>4<\/sup><\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">16<\/td><\/tr><tr><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">5<\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">f(5) = 2<sup>5<\/sup><\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">32<\/td><\/tr><tr><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">9<\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">f(9) = 2<sup>9<\/sup><\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">512<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-funcao-exponencial-decrescente\">Fun&ccedil;&atilde;o exponencial decrescente<\/h3><p>Quando a base est&aacute; entre os valores de 0 e 1 (0&lt;a&lt;1), considera-se que &eacute; uma fun&ccedil;&atilde;o exponencial decrescente. Na pr&aacute;tica, indica que, quanto maior o valor de x, menor ser&aacute; o resultado obtido em y.<\/p><p>Note que um valor que est&aacute; no intervalo entre 0 e 1, ser&aacute; sempre fracion&aacute;rio, isso explica a caracter&iacute;stica da fun&ccedil;&atilde;o,afinal, multiplicar valores fracion&aacute;rios entre si, resulta na diminui&ccedil;&atilde;o entre eles. Por exemplo, 0,800.0,800 = 0,640, veja que 0,640 &eacute; um n&uacute;mero menor do que aqueles que est&atilde;o nos fatores da multiplica&ccedil;&atilde;o.&nbsp;<\/p><p>Vamos aplicar a tabela utilizada no exemplo anterior, para entender a fun&ccedil;&atilde;o exponencial decrescente. Para isso, usaremos como base a fun&ccedil;&atilde;o f(x) = 0,2<sup>x<\/sup>.&nbsp;<\/p><figure class=\"wp-block-table\"><table><tbody><tr><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">x<\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">Fun&ccedil;&atilde;o f(x) = 0,2<sup>x<\/sup><\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">y<\/td><\/tr><tr><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">1<\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">f(1) = 0,2<sup>1<\/sup><\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">0,2<\/td><\/tr><tr><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">2<\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">f(2) = 0,2<sup>2<\/sup><\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">0,04<\/td><\/tr><tr><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">3<\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">f(3) = 0,2<sup>3<\/sup><\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">0,008<\/td><\/tr><tr><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">4<\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">f(4) = 0,2<sup>4<\/sup><\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">0,0016<\/td><\/tr><tr><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">5<\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">f(5) = 0,2<sup>5<\/sup><\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">0,00032<\/td><\/tr><tr><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">9<\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">f(9) = 0,2<sup>9<\/sup><\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">0,000000512<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure><p>Observe como o n&uacute;mero de zeros ap&oacute;s a v&iacute;rgula aumenta gradativamente, o que torna o n&uacute;mero cada vez menor. Assim, quanto maior o valor de x, menor &eacute; o valor encontrado como resultado da fun&ccedil;&atilde;o exponencial decrescente.<\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-grafico-da-funcao-exponencial-nbsp\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Grafico-da-funcao-exponencial\"><\/span>Gr&aacute;fico da fun&ccedil;&atilde;o exponencial&nbsp;<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>O gr&aacute;fico de uma fun&ccedil;&atilde;o exponencial deve ser constru&iacute;do da mesma forma que todas as outras <a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/equacoes\/\" target=\"_blank\">equa&ccedil;&otilde;es <\/a>matem&aacute;ticas: a inc&oacute;gnita x &eacute; substitu&iacute;da por um n&uacute;mero e o resultado &eacute; chamado de y. Dessa forma, encontra-se um ponto no plano cartesiano.&nbsp;<\/p><p>Quando essas etapas s&atilde;o feitas em sequ&ecirc;ncias, para diferentes valores de x, &eacute; poss&iacute;vel construir um risco que liga todos os pontos e esse &eacute; o gr&aacute;fico da fun&ccedil;&atilde;o. No caso da exponencial, o desenho ser&aacute; uma curva.&nbsp;<\/p><p>Algumas caracter&iacute;sticas s&atilde;o notadas no gr&aacute;fico da fun&ccedil;&atilde;o exponencial. Por exemplo, como todo n&uacute;mero elevado a zero &eacute; igual a 1, &eacute; fato que todos gr&aacute;ficos possuir&atilde;o o ponto (0,1). Inclusive, note que todo n&uacute;mero elevado a 1 ser&aacute; igual a ele mesmo, ent&atilde;o, o ponto em que x=1 ter&aacute;, obrigatoriamente, um y=a (1,a).<\/p><p>Simultaneamente, sabemos que o valor da base nunca ser&aacute; 0 e uma exponencia&ccedil;&atilde;o n&atilde;o pode resultar nesse valor. Ent&atilde;o, n&atilde;o existem pontos com y=0, de forma que o gr&aacute;fico nunca toca o eixo x do <a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/plano-cartesiano\/\" target=\"_blank\">plano cartesiano<\/a>.<\/p><p>Al&eacute;m disso, a classifica&ccedil;&atilde;o da fun&ccedil;&atilde;o deve ser considerada ao analisar o gr&aacute;fico de uma fun&ccedil;&atilde;o exponencial. As <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=yx_wV2eiil8\" target=\"_blank\">fun&ccedil;&otilde;es <\/a>crescentes ter&atilde;o uma curva que se inclina para a direita e para cima, como &eacute; demonstrado na imagem abaixo.<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter is-resized\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh6.googleusercontent.com\/OJCPGVU8x5r9nOp0JK42o2sbR4PmsOykd7tXL4Z65FCGIvD5vH6TJOdJjqZWbCYncKNGMhhpRbu_SsWf3_VB7Wfyf-de_fXfudTups5GHuh5-g98yeLpljMmIMz3DWSpB9qXIbBtOUguiGpdAq0xeT0\" alt=\"Gr&aacute;fico de fun&ccedil;&atilde;o exponencial crescente\" style=\"width:352px;height:235px\"><\/figure><\/div><p>No caso das fun&ccedil;&otilde;es exponenciais decrescentes, observa-se que a curva est&aacute; em sentido de queda, rampa. Ou seja, &eacute; mais alta na por&ccedil;&atilde;o esquerda e decai conforme se aproxima do eixo y, como &eacute; demonstrado na figura abaixo.<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter is-resized\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh5.googleusercontent.com\/4raSeMRVQnkzZWPmxdrWvwQUXEGAvY0LVvfaNtxyrLFUaqpo8_qV8SjnAaCWhfg-WW8QdPwoST7uK5bz-MFdMr5qyjSu8LWrBbdXU91I4fU-N6sjk2qrnE-WF7XkCkIW9jiJwNbgL3u4R7Wuj5hSMAc\" alt=\"Gr&aacute;fico de fun&ccedil;&atilde;o exponencial decrescente\" style=\"width:368px;height:246px\"><\/figure><\/div><p>&Eacute; importante destacar ainda, que no caso das fun&ccedil;&otilde;es crescentes, quanto maior for o valor de a, maior a inclina&ccedil;&atilde;o da curva e mais r&aacute;pida sua aproxima&ccedil;&atilde;o ao eixo y. Por outro lado, quanto menor o valor da base nas fun&ccedil;&otilde;es exponenciais decrescentes, maior a inclina&ccedil;&atilde;o e a proximidade do tra&ccedil;ado com o y=0.&nbsp;<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter is-resized\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh5.googleusercontent.com\/WwH1y1Wd4e1x9pZMWEwHgijLRS2dSbivN_xJjHqfG3hrtko2HE54XddjFxNt_pdK7EVGh-wsLEHK7y9zkyKhbdsROVZifV8uIsqc7mE-i-O_mY2yUQzpp5V4oUZywWUgm0PB9Q7mDDZxS5bZKYogrgY\" alt=\"exemplos de gr&aacute;fico de fun&ccedil;&atilde;o exponencial\" style=\"width:-123px;height:-82px\"><\/figure><\/div><p>A imagem acima mostra uma compara&ccedil;&atilde;o entre o gr&aacute;fico de fun&ccedil;&otilde;es crescentes e decrescentes. &Eacute; poss&iacute;vel observar que o posicionamento da curva &eacute; diferente, quanto &agrave; sua inclina&ccedil;&atilde;o, conforme foi mencionado anteriormente.&nbsp;<\/p><p>Al&eacute;m disso, &eacute; poss&iacute;vel comparar tamb&eacute;m as fun&ccedil;&otilde;es f(x)=2<sup>x <\/sup>e f(x)=4<sup>x<\/sup>. Veja como o gr&aacute;fico em verde tem uma curvatura mais acentuada e brusca, quando relacionada com o tra&ccedil;ado em azul. Isso demonstra que o valor da base influencia no comportamento do desenho. Veja tamb&eacute;m que &frac14; &eacute; menor do que &frac12;, o que justifica o fato da curva em rosa f&uacute;csia estar mais inclinada e pr&oacute;xima do eixo y.&nbsp;<\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-questao-do-enem-sobre-funcao-exponencial\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Questao-do-Enem-sobre-funcao-exponencial\"><\/span>Quest&atilde;o do Enem sobre fun&ccedil;&atilde;o exponencial<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>O crescimento de uma popula&ccedil;&atilde;o de microrganismos &eacute; descrito pela express&atilde;o K(t) = 81.3<sup>(t\/3)<\/sup> + 2, em que K(t) indica a quantidade de microrganismos em um meio de cultura em fun&ccedil;&atilde;o do tempo t. O gr&aacute;fico representa a evolu&ccedil;&atilde;o de K em rela&ccedil;&atilde;o ao tempo t.<\/p><figure class=\"wp-block-image is-resized\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh3.googleusercontent.com\/-vrWp32NPaNnBOX8hCoJWM39g8MdsphdbbJF528zvRKDTypiqPHbqT5yw2BRXjyuyxnRX2wFiGmqA62aqVMzkF0fb3LKLX7cGIkN0mbokxos7t2v200eipxWy3qS_v1lAdLcAnbbKFrQ7rlisAXT8lM\" alt=\"Quest&atilde;o do Enem sobre fun&ccedil;&atilde;o exponencial\" style=\"width:334px;height:284px\"><\/figure><p>Com base nos dados, o valor de m &eacute;:<\/p><p>a) 4\/3<br>b) 7\/5<br>c) 24\/5<br>d) 12<br>e) 81<\/p><p>A express&atilde;o fornecida pelo enunciado tem como inc&oacute;gnita o tempo t. Agora, basta igualar o valor de y no c&aacute;lculo matem&aacute;tico para encontrar esse valor.<\/p><p>K(t) = 81.3<sup>(t\/3)<\/sup> + 2<\/p><p>6563 = 81.3<sup>(t\/3)<\/sup> + 2<br>6563 &ndash; 2 = 81.3<sup>(t\/3)<\/sup>&nbsp;<br>6561 = 81.3<sup>(t\/3)<\/sup>&nbsp;<br>6561\/81 = 3<sup>(t\/3)<\/sup>&nbsp;<br>81 = 3<sup>(t\/3)<\/sup>&nbsp;&nbsp;<\/p><p>Neste tipo de exerc&iacute;cio, &eacute; importante conhecer alguns resultados para potencia&ccedil;&atilde;o e radicia&ccedil;&atilde;o. Por exemplo, saber que 3<sup>2<\/sup> = 9 e que 9<sup>2<\/sup> = 81. Com a equival&ecirc;ncia entre 3<sup>2<\/sup> = 9, pode-se substituir assim:&nbsp;<\/p><p>9<sup>2<\/sup> = 81<br>(3<sup>2<\/sup>)<sup>2<\/sup> = 81<br>3<sup>4<\/sup> = 81<\/p><p>Perceba, ent&atilde;o, que 3<sup>(t\/3)<\/sup> = 3<sup>4<\/sup>. Isso indica que t\/3 = 4, portanto, t = 4 .3, t=12, conforme aponta a alternativa D.<\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-estude-para-o-vestibular-com-o-estrategia\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Estude-para-o-vestibular-com-o-Estrategia\"><\/span>Estude para o vestibular com o Estrat&eacute;gia!<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>Gosta de acompanhar a resolu&ccedil;&atilde;o de quest&otilde;es passo a passo? Conhe&ccedil;a o material do Estrat&eacute;gia Vestibulares: al&eacute;m de toda a base te&oacute;rica cobrada nas provas nacionais, a Coruja disponibiliza videoaulas com resolu&ccedil;&atilde;o de exerc&iacute;cios e f&oacute;runs de d&uacute;vidas. Com essas ferramentas, voc&ecirc; fica cada vez mais pr&oacute;ximo da sua aprova&ccedil;&atilde;o! 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