{"id":87897,"date":"2023-02-22T17:00:00","date_gmt":"2023-02-22T20:00:00","guid":{"rendered":"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/?p=87897"},"modified":"2024-04-02T15:44:38","modified_gmt":"2024-04-02T18:44:38","slug":"funcao-logaritmica","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/funcao-logaritmica\/","title":{"rendered":"Fun\u00e7\u00e3o logar\u00edtmica: o que \u00e9, gr\u00e1fico, quest\u00f5es&nbsp;"},"content":{"rendered":"<p>Uma fun&ccedil;&atilde;o logar&iacute;tmica acontece quando a express&atilde;o matem&aacute;tica requer qual o valor do logaritmo de uma vari&aacute;vel x, em uma base a. O tra&ccedil;ado do gr&aacute;fico, as formas de resolver e a compreens&atilde;o do assunto dependem do conhecimento a respeito de exponencia&ccedil;&atilde;o, potencia&ccedil;&atilde;o, radicia&ccedil;&atilde;o e etc.&nbsp;<p>Conhe&ccedil;a, neste artigo, os conceitos de fun&ccedil;&atilde;o logar&iacute;tmica, como &eacute; constru&iacute;do e qual o desenho do gr&aacute;fico desses c&aacute;lculos, quando s&atilde;o considerados crescentes ou decrescentes. Aproveite para acompanhar a resolu&ccedil;&atilde;o de quest&otilde;es de vestibulares sobre o tema.<\/p><div id=\"ez-toc-container\" class=\"ez-toc-v2_0_76 counter-hierarchy ez-toc-counter ez-toc-transparent ez-toc-container-direction\">\n<div class=\"ez-toc-title-container\"><p class=\"ez-toc-title\" style=\"cursor:inherit\">Navegue pelo conte\u00fado<\/p>\n<\/div><nav><ul class='ez-toc-list ez-toc-list-level-1 ' ><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-1\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/funcao-logaritmica\/#O-que-e-uma-funcao-logaritmica\" >O que &eacute; uma fun&ccedil;&atilde;o logar&iacute;tmica?<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-2\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/funcao-logaritmica\/#Classificacao-da-funcao-logaritmica\" >Classifica&ccedil;&atilde;o da fun&ccedil;&atilde;o logar&iacute;tmica&nbsp;<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-3\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/funcao-logaritmica\/#Grafico-da-funcao-logaritmica\" >Gr&aacute;fico da fun&ccedil;&atilde;o logar&iacute;tmica<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-4\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/funcao-logaritmica\/#Questoes-de-vestibulares\" >Quest&otilde;es de vestibulares<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-5\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/funcao-logaritmica\/#Aprenda-mais-sobre-matematica-com-o-Estrategia\" >Aprenda mais sobre matem&aacute;tica com o Estrat&eacute;gia&nbsp;<\/a><\/li><\/ul><\/nav><\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-o-que-e-uma-funcao-logaritmica\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"O-que-e-uma-funcao-logaritmica\"><\/span>O que &eacute; uma fun&ccedil;&atilde;o logar&iacute;tmica?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>Uma fun&ccedil;&atilde;o logar&iacute;tmica pode ser definida por meio da express&atilde;o f(x) = log<sub>a<\/sub>x. Para que essa equa&ccedil;&atilde;o seja v&aacute;lida, &eacute; necess&aacute;rio que a base a seja um n&uacute;mero real positivo diferente de 1 (a &ne; 1).&nbsp;<\/p><p>Para entender esse assunto, &eacute; importante revisar os conceitos e propriedades dos <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=237KSGJs1FI\" target=\"_blank\">logaritmos<\/a>. A defini&ccedil;&atilde;o principal &eacute;: log<sub>a<\/sub> b = c. Essa express&atilde;o matem&aacute;tica deve ser lida como: &ldquo;o logaritmo de b na base a &eacute; igual a c.&rdquo;<\/p><p>a = base&nbsp;<\/p><p>b = logaritmando&nbsp;<\/p><p>c = logaritmo<\/p><p>Tendo como base as informa&ccedil;&otilde;es transmitidas acima a respeito de cada uma das letras, note e considere que o c&aacute;lculo log<sub>a<\/sub> b = c sinaliza que a<sup>c<\/sup> =b. Ou seja, a base elevada ao valor do <a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/logaritmos\/\">logar<\/a><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/logaritmos\/\" target=\"_blank\">i<\/a><a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/logaritmos\/\">tmo <\/a>&eacute; igual ao logaritmando.&nbsp;<\/p><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-dominio-da-funcao-logaritmica\">Dom&iacute;nio da fun&ccedil;&atilde;o logar&iacute;tmica<\/h3><p>O dom&iacute;nio de uma fun&ccedil;&atilde;o representa o <a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/conjuntos\/\" target=\"_blank\">conjunto <\/a>de todos os valores que pode ser substitu&iacute;do pela vari&aacute;vel x. Em alguns casos, h&aacute; restri&ccedil;&otilde;es. No caso das express&otilde;es logar&iacute;tmicas, o x n&atilde;o poder&aacute; ser um n&uacute;mero negativo. Assim, o conjunto dom&iacute;nio de uma fun&ccedil;&atilde;o logar&iacute;tmica ser&aacute; dado por todos os n&uacute;meros reais positivos e diferentes de zero.<\/p><p>Essa descri&ccedil;&atilde;o, entretanto, deve ser considerada em cada express&atilde;o matem&aacute;tica. Afinal, o valor total do logaritmando que precisa ser positivo e diferente de zero. Por exemplo, na fun&ccedil;&atilde;o f(x) = log<sub>3<\/sub> (x+5), qual seria o dom&iacute;nio?<\/p><p>Como foi explicado anteriormente, o logaritmando nunca poder&aacute; ser 0 ou negativo, ent&atilde;o, precisamos determinar quais valores fazem com que x+5 seja sempre positivo e diferente de zero. A melhor maneira de chegar a esse resultado &eacute; com uma <a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/inequacoes\/\" target=\"_blank\">inequa&ccedil;&atilde;o<\/a>:<\/p><p>x + 5 &gt; 0&nbsp;<\/p><p>x &gt; -5&nbsp;<\/p><p>Isso significa que, para todo x maior do que -5, a fun&ccedil;&atilde;o logar&iacute;tmica &eacute; v&aacute;lida e, por isso, o dom&iacute;nio de f(x) &eacute; D<sub>f<\/sub> = { x &#1108; lR | x &gt; -5 }&nbsp;<\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-classificacao-da-funcao-logaritmica-nbsp\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Classificacao-da-funcao-logaritmica\"><\/span>Classifica&ccedil;&atilde;o da fun&ccedil;&atilde;o logar&iacute;tmica&nbsp;<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>A fun&ccedil;&atilde;o logar&iacute;tmica pode ser classificada como crescente ou decrescente, a depender do valor da base encontrada na express&atilde;o:<\/p><ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Quando a&gt;1, a fun&ccedil;&atilde;o &eacute; crescente e quanto mais o valor de x aumenta, maior tamb&eacute;m ser&aacute; o resultado y; ou<\/li>\n\n\n\n<li>Quando 0&lt;a&lt;1, ou seja, a est&aacute; entre 0 e 1, a fun&ccedil;&atilde;o logar&iacute;tmica &eacute; decrescente. Isso indica que o aumento do valor da vari&aacute;vel x determina uma redu&ccedil;&atilde;o no resultado y.&nbsp;<\/li>\n<\/ul><p>Vamos testar essas informa&ccedil;&otilde;es com uma tabela que compare ambos os casos:<\/p><figure class=\"wp-block-table\"><table><tbody><tr><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"><strong>Vari&aacute;vel x&nbsp;<\/strong><\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"><strong>f(x) = log<sub>4<\/sub> x<\/strong><\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"><strong>f(x) = log <sub>1\/2<\/sub> x<\/strong><\/td><\/tr><tr><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">4<\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">f(4) = log<sub>4<\/sub> 4 = 1<\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">f(4) = log <sub>1\/2<\/sub> 4 = &ndash; 2<\/td><\/tr><tr><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">16<\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">f(16) = log<sub>4<\/sub> 16 = 2<\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">f(16) = log <sub>1\/2<\/sub> 16 = &ndash; 4<\/td><\/tr><tr><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">64<\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">f64) = log<sub>4<\/sub> 64 = 3<\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">f(64) = log <sub>1\/2<\/sub> 64 = &ndash; 6<\/td><\/tr><tr><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">128<\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">f(128) = log<sub>4<\/sub> 256 = 4<\/td><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">f(256) = log <sub>1\/2<\/sub> 256 = &ndash; 8<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure><p>Note que na coluna do meio, em que a&gt;1, o aumento do x est&aacute; relacionado com o aumento do y, que come&ccedil;a em um e termina a tabela em 4. Ao mesmo tempo, no &uacute;ltimo exemplo, o aumento do x est&aacute; fazendo com que o valor de y fique gradativamente mais negativo, o que caracteriza a fun&ccedil;&atilde;o decrescente com 0&lt;a&lt;1.<\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-grafico-da-funcao-logaritmica\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Grafico-da-funcao-logaritmica\"><\/span>Gr&aacute;fico da fun&ccedil;&atilde;o logar&iacute;tmica<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>O primeiro ponto a ser notado em uma fun&ccedil;&atilde;o logar&iacute;tmica &eacute; que o valor do logaritmando s&oacute; poder&aacute; ser positivo. Ent&atilde;o, nas express&otilde;es em que o x for o pr&oacute;prio logaritmando, o gr&aacute;fico n&atilde;o atravessa o II e III quadrantes. Por outro lado, quando o logaritmando &eacute; uma outra express&atilde;o matem&aacute;tica, &eacute; preciso entender quais valores de x o tornam positivo e maior do que zero.<\/p><p>Depois disso, &eacute; importante relembrar que todo n&uacute;mero elevado a 0 &eacute; igual a 1. Isso significa que toda vez que o x=1, o y=0. Assim, em uma fun&ccedil;&atilde;o logar&iacute;tmica que segue a lei de forma&ccedil;&atilde;o f(x) = log<sub>a<\/sub> x, sempre haver&aacute; um ponto com as coordenadas (1,0).&nbsp;<\/p><p>Perceba, ainda, que o valor de x nunca poder&aacute; ser zero, ent&atilde;o, o gr&aacute;fico da fun&ccedil;&atilde;o nunca toca o eixo y. Na imagem abaixo, voc&ecirc; pode observar que o tra&ccedil;ado tende a ficar cada vez mais pr&oacute;ximo desse eixo, comportamento que &eacute; conhecido como &ldquo;ass&iacute;ntota&rdquo;, porque parece que vai tocar, mas nunca consegue tocar de fato.<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter is-resized\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh3.googleusercontent.com\/C3f7NKZv81nBCHfoKbtUi2ZskwTFiD3IQZpWZxX1HpY1vjVdwK1ly323T1w-dOgjGetwegmRUrChL37LHZm6GupLgbuFSdf-he2bR9i19E5kCr_dVDis8xlKXj3dv6DzwdjZQotiee1aWCPhaId1Sl8\" alt=\"Gr&aacute;fico da fun&ccedil;&atilde;o logar&iacute;tmica\" style=\"width:400px;height:319px\"><\/figure><\/div><p>Agora, vamos entender como se comportam as curvas quanto &agrave; ser crescente ou decrescente. Na imagem abaixo, observe que os tra&ccedil;ados vermelho, verde e azul est&atilde;o se direcionando para cima e para a direita, formando uma esp&eacute;cie de &ldquo;morro&rdquo;. Esse &eacute; o comportamento de uma fun&ccedil;&atilde;o logar&iacute;tmica crescente, que aumenta seu y e seu x simultaneamente.&nbsp;<\/p><p>Por outro lado, perceba que a curva em azul ciano tem um formato de rampa. Nesse caso, a cada vez que o x aumenta, menor fica o valor de y. &Eacute; assim que aparenta o gr&aacute;fico de uma fun&ccedil;&atilde;o logar&iacute;tmica decrescente. Nesse caso f(x) = log<sub>1\/2 <\/sub>x.<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter is-resized\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh4.googleusercontent.com\/9nFbISPLcil1DaJYF-vvOnwLQf4MzhMgxWB8B8nAt7Knfep-4FGJ9kj8Ro1JNj9QlmkPDGV8fHkX_X7ae5Z0LX9I6MIr56pLORHJX89X8m04b2T05cuWrEtpzausRZCwL2JrWZP5a7UsBGo7ePsX4vg\" alt=\"Gr&aacute;fico da fun&ccedil;&atilde;o logar&iacute;tmica: crescente e decrescente\" style=\"width:456px;height:365px\"><\/figure><\/div><p>Por fim, saiba que a fun&ccedil;&atilde;o inversa de da logar&iacute;tmica &eacute; a exponencial, quando a inc&oacute;gnita fica no expoente da equa&ccedil;&atilde;o, como em f(x) = a<sup>x<\/sup>. Nesse caso, o ponto obrigat&oacute;rio do gr&aacute;fico ser&aacute; (0,1), j&aacute; que todo n&uacute;mero elevado a 0 &eacute; igual a 1.<\/p><p>+ Veja mais: <a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/radiciacao\/\" target=\"_blank\">Radicia&ccedil;&atilde;o: o que &eacute;, propriedades, pot&ecirc;ncias e exemplos<\/a><\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-questoes-de-vestibulares\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Questoes-de-vestibulares\"><\/span>Quest&otilde;es de vestibulares<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>(PUC-MG) De acordo com pesquisa feita na &uacute;ltima d&eacute;cada do s&eacute;culo XX, a expectativa de vida em certa regi&atilde;o &eacute; dada, em anos, pela fun&ccedil;&atilde;o E(t) = 12.(150 log(t) &ndash; 491), sendo t o ano de nascimento da pessoa. Considerando-se log 2000 = 3,32, uma pessoa dessa regi&atilde;o que tenha nascido no ano 2000 tem expectativa de viver:<\/p><p>A) 68 anos<br>B) 76 anos<br>C) 84 anos<br>D) 92 anos<\/p><p>Conforme o enunciado t &eacute; o ano de nascimento da pessoa, e portanto t=2000 deve ser substitu&iacute;do na express&atilde;o matem&aacute;tica:<\/p><p>E(t) = 12.(150.log(t) &ndash; 491)<br>E(t) = 12.(150.log(2000) &ndash; 491)<\/p><p>As informa&ccedil;&otilde;es fornecidas permitem dizer que log 2000 = 3,32, ent&atilde;o:<\/p><p>E(t) = 12.(150.3,32 &ndash; 491)<br>E(t) = 12.(498 &ndash; 491)<br>E(t) = 12.(7)<br>E(t) = 84 anos, como est&aacute; apontado na alternativa C.<\/p><figure class=\"wp-block-embed is-type-video is-provider-youtube wp-block-embed-youtube wp-embed-aspect-16-9 wp-has-aspect-ratio\"><div class=\"wp-block-embed__wrapper\">\n<div class=\"cs-embed cs-embed-responsive\"><iframe title=\"Logaritmos e Exponenciais - Maratona de quest&otilde;es de matem&aacute;tica -Prof. Andrew Cazemiro\" width=\"1200\" height=\"675\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/07GItoRTBzU?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe><\/div>\n<\/div><\/figure><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-aprenda-mais-sobre-matematica-com-o-estrategia-nbsp\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Aprenda-mais-sobre-matematica-com-o-Estrategia\"><\/span>Aprenda mais sobre matem&aacute;tica com o Estrat&eacute;gia&nbsp;<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>Com as trilhas estrat&eacute;gias dos cursos preparat&oacute;rios da Coruja, voc&ecirc; pode percorrer as disciplinas necess&aacute;rias para o seu vestibular. 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