{"id":88093,"date":"2023-03-01T13:00:00","date_gmt":"2023-03-01T16:00:00","guid":{"rendered":"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/?p=88093"},"modified":"2024-04-17T10:16:14","modified_gmt":"2024-04-17T13:16:14","slug":"triangulo-de-pascal","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/triangulo-de-pascal\/","title":{"rendered":"Tri\u00e2ngulo de Pascal: o que \u00e9, fun\u00e7\u00e3o, propriedades e aplica\u00e7\u00f5es"},"content":{"rendered":"<p>Tri&acirc;ngulo de Pascal &eacute; o nome dado para um diagrama matem&aacute;tico que &eacute; constru&iacute;do por linhas, de forma que cada linha tem mais colunas do que a anterior, o que constitui o formato triangular. Essa figura &eacute; constru&iacute;da por n&uacute;meros, que s&atilde;o coeficientes de expans&otilde;es binomiais.&nbsp;<p>Al&eacute;m de ser um gr&aacute;fico bonito, o Tri&acirc;ngulo de Pascal pode ser &uacute;til para resolver bin&ocirc;mios, compreender alguns<a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/produtos-notaveis\/\" target=\"_blank\"> produtos not&aacute;veis<\/a>, na probabilidade e an&aacute;lise combinat&oacute;ria, al&eacute;m de outros usos. Por isso, o conhecimento do assunto antes do vestibular pode te ajudar a resolver quest&otilde;es de prova. Leia este artigo e estude o tema!<\/p><div id=\"ez-toc-container\" class=\"ez-toc-v2_0_76 counter-hierarchy ez-toc-counter ez-toc-transparent ez-toc-container-direction\">\n<div class=\"ez-toc-title-container\"><p class=\"ez-toc-title\" style=\"cursor:inherit\">Navegue pelo conte\u00fado<\/p>\n<\/div><nav><ul class='ez-toc-list ez-toc-list-level-1 ' ><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-1\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/triangulo-de-pascal\/#O-que-e-o-Triangulo-de-Pascal\" >O que &eacute; o Tri&acirc;ngulo de Pascal?<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-2\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/triangulo-de-pascal\/#Propriedades-do-Triangulo-de-Pascal\" >Propriedades do Tri&acirc;ngulo de Pascal<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-3\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/triangulo-de-pascal\/#Aplicacao-do-Triangulo-de-Pascal\" >Aplica&ccedil;&atilde;o do Tri&acirc;ngulo de Pascal<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-4\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/triangulo-de-pascal\/#Estude-matematica-com-o-Estrategia-Vestibulares\" >Estude matem&aacute;tica com o Estrat&eacute;gia Vestibulares!<\/a><\/li><\/ul><\/nav><\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-o-que-e-o-triangulo-de-pascal\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"O-que-e-o-Triangulo-de-Pascal\"><\/span>O que &eacute; o Tri&acirc;ngulo de Pascal?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>O tri&acirc;ngulo aritm&eacute;tico, mais conhecido como Tri&acirc;ngulo de Pascal, &eacute; uma ferramenta matem&aacute;tica muito antiga, por ter um uso muito vers&aacute;til. Por exemplo, o famoso <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=8dd2-0kG300\" target=\"_blank\">bin&ocirc;mio de Newton<\/a> pode ser encontrado dentro dessa figura, assim como a sequ&ecirc;ncia de Fibonacci, um padr&atilde;o num&eacute;rico e geom&eacute;trico que aparece em diferentes seres e estruturas da natureza.<\/p><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-construcao-do-triangulo-de-pascal\">Constru&ccedil;&atilde;o do Tri&acirc;ngulo de Pascal<\/h3><p>O Tri&acirc;ngulo de Pascal &eacute; constru&iacute;do a partir da combina&ccedil;&atilde;o de n&uacute;meros, um tipo de c&aacute;lculo pr&oacute;prio da an&aacute;lise combinat&oacute;ria. Para isso, s&atilde;o consideradas duas caracter&iacute;sticas do elemento a ser posicionado: qual linha ele est&aacute; e em qual local da linha est&aacute; situado.&nbsp;<\/p><p>O desenho &eacute; iniciado na linha 0 e coluna 0. E, ent&atilde;o, o elemento que ser&aacute; colocado ali &eacute; a combina&ccedil;&atilde;o de 0 em 0. Est&aacute; definido, matematicamente, que o resultado dessa opera&ccedil;&atilde;o &eacute; sempre igual a 1, e esse &eacute; o primeiro componente do tri&acirc;ngulo.&nbsp;<\/p><p>Logo abaixo, &eacute; adicionada a linha 1. Cada vez que uma linha surge, mais uma coluna deve aparecer. At&eacute; agora, t&iacute;nhamos apenas uma coluna, agora, ser&atilde;o duas. Os elementos correspondem &agrave; combina&ccedil;&atilde;o entre o n&uacute;mero da linha e o n&uacute;mero da coluna, a come&ccedil;ar pela coluna 0. Assim deve ocorrer sucessivamente, como mostra a imagem abaixo.&nbsp;<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter is-resized\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh5.googleusercontent.com\/iyO9HFRTcPUmqxVtL-PJrBbFT1H5Kdrgqplrsnq4cnA-eQsoJV9JfUilcT3IeVKnQXSlBr3fbM4RYBDGkbH5MJTSaTv9ZMawvIZJqMP0E45jqbdEQ0Rlx6GLqOVumKYQoDHjfJXZocmOHAx2EI8Jaw0\" alt=\"Tri&acirc;ngulo de pascal\" style=\"width:384px;height:302px\"><figcaption class=\"wp-element-caption\">Imagem: Reprodu&ccedil;&atilde;o\/Wikimedia<\/figcaption><\/figure><\/div><p>Cada um dos par&ecirc;nteses representa uma combina&ccedil;&atilde;o, que deve ser lida da seguinte forma: a combina&ccedil;&atilde;o do &ldquo;<em>n&uacute;mero que est&aacute; em cima&rdquo;,<\/em> tomados de &ldquo;<em>valor que est&aacute; embaixo&rdquo; <\/em>em <em>valor que est&aacute; embaixo<\/em>. Por exemplo, a combina&ccedil;&atilde;o do meio da linha 4 &eacute; tal que: a combina&ccedil;&atilde;o de 4 tomados de 2 em 2.<\/p><p>&Eacute; importante destacar como &eacute; calculada a combina&ccedil;&atilde;o entre dois n&uacute;meros (C<sub>n,p<\/sub>):&nbsp;<\/p><p>C<sub>n,p<\/sub> = n! \/ p!.(n-p)!<\/p><p>Por exemplo, a combina&ccedil;&atilde;o de 2 tomados 1 a 1 (C<sub>2,1<\/sub>):<\/p><p>C<sub>2,1<\/sub> = 2! \/ 1!.(2-1)!<\/p><p>C<sub>2,1<\/sub> = 2.1 \/ 1.(1)!<\/p><p>C<sub>2,1<\/sub> = 2<\/p><p>Essa forma de constru&ccedil;&atilde;o permite que o tri&acirc;ngulo aritm&eacute;tico seja uma ferramenta infinita. &Eacute; poss&iacute;vel adicionar quantas linhas forem necess&aacute;rias, basta realizar as opera&ccedil;&otilde;es matem&aacute;ticas.<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh3.googleusercontent.com\/0ENzNj5lnvFQoP04OnaSvo33AUyupTCBS1APhGFegB-a2NR3n3MgvdakOuMPUv0D5d38H13sJBDp0ZskfxE-7pdx7gpuMumj_bzUZSHVeLbmd4nsd_PuBzveDIhYNdzAmHGbj0fL2VdnT7qtpBImMxo\" alt=\"Tri&acirc;ngulo de pascal\"><figcaption class=\"wp-element-caption\">Imagem: Reprodu&ccedil;&atilde;o\/Wikimedia<\/figcaption><\/figure><\/div><p>Existe uma maneira alternativa de montar esse tri&acirc;ngulo, principalmente para relembrar sua forma&ccedil;&atilde;o durante um momento de emerg&ecirc;ncia. Primeiramente, adiciona-se a primeira linha com o n&uacute;mero 1, depois a segunda linha com dois n&uacute;meros 1. Assim, forma-se um padr&atilde;o de que toda a linha come&ccedil;a e termina com 1.&nbsp;<\/p><p>Em seguida, voc&ecirc; deve somar os dois termos que est&atilde;o acima da casela a ser preenchida, esse ser&aacute; o conte&uacute;do dessa lacuna. Observe, na anima&ccedil;&atilde;o a seguir, que a soma dos termos conectados em laranja, resulta no elemento apontado pelo verde.&nbsp;<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter is-resized\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh3.googleusercontent.com\/XucZXMXx7FZWZxq38WhhQdA_Ue6xSb7XtKSX8-IrZ3uLZmWTGTb4CnFA5h6g_r64JL6HJc64OVDt6mDgW0fgAlJwRVaBWH54FHtlFGMOftgaJNyZ23F6mkZpNskLwflVuxtNBt2B4BmMA1l9ymed9AQ\" alt=\"Anima&ccedil;&atilde;o: como se forma o tri&acirc;ngulo de pascal\" style=\"width:541px;height:500px\"><figcaption class=\"wp-element-caption\">Imagem: Reprodu&ccedil;&atilde;o\/Wikimedia<\/figcaption><\/figure><\/div><p>Caso fosse necess&aacute;rio adicionar outra linha a esse Tri&acirc;ngulo de Pascal, como proceder, de forma pr&aacute;tica? Bom, primeiramente adicionamos o n&uacute;mero 1 nas extremidades direita e esquerda. Depois, &eacute; necess&aacute;rio somar os elementos centrais, de forma que:<\/p><ul class=\"wp-block-list\">\n<li>1<\/li>\n\n\n\n<li>1+ 4 = 5<\/li>\n\n\n\n<li>4 + 6 = 10<\/li>\n\n\n\n<li>6 + 4 = 10&nbsp;<\/li>\n\n\n\n<li>4 + 1 = 5&nbsp;<\/li>\n\n\n\n<li>1<\/li>\n<\/ul><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-propriedades-do-triangulo-de-pascal\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Propriedades-do-Triangulo-de-Pascal\"><\/span>Propriedades do Tri&acirc;ngulo de Pascal<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-relacao-de-stifel-nbsp\">Rela&ccedil;&atilde;o de Stifel&nbsp;<\/h3><p>A primeira propriedade do Tri&acirc;ngulo de Pascal pode ser utilizada para a montagem do diagrama. Ela versa sobre a soma entre os dois termos que est&atilde;o na linha de cima, que correspondem ao elemento que fica na lacuna abaixo. Para al&eacute;m de uma simples observa&ccedil;&atilde;o visual, esses c&aacute;lculos s&atilde;o poss&iacute;veis devido &agrave;s caracter&iacute;sticas da combina&ccedil;&atilde;o.&nbsp;<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh4.googleusercontent.com\/gh77wsvdhc-kc9Zsyv_ZqsTqjkDnRdxySvv0oZ4RNkL0GxmW8zGqUJzcyHD7D5zF7BBV2Clu4Y4r5dGRoCMbIVxPRYfpJ60PSUN1kvlT6LouJkfB2ZF6Dc5QS2AhBJscvB7j-QtqbVo1U8YzOdMBetM\" alt=\"propriedades do tri&acirc;ngulo: Rela&ccedil;&atilde;o de Stifel\"><\/figure><\/div><p>A f&oacute;rmula apresentada &eacute; chamada de Rela&ccedil;&atilde;o de Stifel e &eacute; a principal raz&atilde;o para montar o tri&acirc;ngulo aritm&eacute;tico por meio da soma.&nbsp;<\/p><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-soma-dos-termos-da-linha\">Soma dos termos da linha<\/h3><p>Cada linha possui um determinado n&uacute;mero de elementos que podem ser somados. Existe um padr&atilde;o para encontrar esse resultado. Ao considerar uma linha n, a soma de todos os termos (S<sub>n<\/sub>) &eacute; dada por 2<sup>n<\/sup>.&nbsp;<\/p><p>Por exemplo, a linha de n&uacute;mero 0 possui apenas o elemento de n&uacute;mero 1. S<sub>0 <\/sub>= 2<sup>0<\/sup> = 1. J&aacute; na linha de n&uacute;mero 4, que &eacute; constitu&iacute;da pelos elementos 1, 4, 6, 4, 1 a soma ser&aacute; S<sub>4<\/sub> = 2<sup>4<\/sup> = 2.2.2.2 = 16 = 1 + 4 + 6 + 4 + 1.&nbsp;<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh5.googleusercontent.com\/43BMmNbz6D7aOx1r_td7YCC2ld99-eB0wWgxDDtWxV3M59-mlxZPR3Ee-E3ILx5mmuRc3ZEqVSSDO1dcODNAchJ_hter8-Wafhw8ns3gUaqjlo1GM7wIfGO3CbRuA8QI04VbP6HqZiDc6i99v2SHrxQ\" alt=\"propriedades do tri&acirc;ngulo de pascal: linhas\"><\/figure><\/div><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-teoremas-nbsp\">Teoremas&nbsp;<\/h3><p>Existem ainda, teoremas que relacionam diagonais e colunas com outros termos, dentro do Tri&acirc;ngulo de Pascal. Por exemplo, ao somar os termos de uma coluna p desde seu in&iacute;cio at&eacute; uma linha n, esse resultado ser&aacute; igual ao elemento da linha n+1, coluna n+1. &Eacute; o que demonstra a ilustra&ccedil;&atilde;o abaixo.<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh6.googleusercontent.com\/3g3mVFNLDy5s-GdFI1COTu2EuG2kO2_kc3Y4lzq9vV590IxiQ0L1jmS-bTlTWuCT-8_GIo62R3hsLy-aXBmDK8HahUpmikuzJhsX83uZBxn99lew7q6Db2YamPMZrbykiVj9p7apx7E2nNCJp6zqdRE\" alt=\"\"><\/figure><\/div><p>Em rela&ccedil;&atilde;o &agrave;s diagonais, algo semelhante acontece. Considera-se uma diagonal tomada a partir de uma coluna 0 e vai at&eacute; a linha n, coluna p. A soma dos elementos ser&aacute; igual ao elemento que tamb&eacute;m est&aacute; na coluna p, mas na linha n + 1 (linha de baixo).<\/p><figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh3.googleusercontent.com\/iz4CSucxZopzGe458FFj46FO-jn86xKacHvhTQChyrffL8Wu1FpAbSM-8YPwizOiRTKMeMqxsyMk6HRYMzReSE5jIkXTlvlUgDkLt9Peakb5mb-pvZ164tlq9q5i4rsJA5YHUqJCIleRLPKUbS6R0bY\" alt=\"\"><\/figure><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-simetria\">Simetria<\/h3><p>Outro ponto importante a ser conhecido do Tri&acirc;ngulo de Pascal &eacute; sua simetria. Observe, por exemplo, que todos os primeiros e &uacute;ltimos termos das linhas s&atilde;o iguais a 1. Ao mesmo tempo, se analisarmos uma linha isoladamente, o termo que fica exatamente ao lado do n&uacute;mero 1 &eacute; igual, tanto na extremidade direita como esquerda.&nbsp;<\/p><p>Quando a linha tem um n&uacute;mero &iacute;mpar de elementos, existe um elemento central que &eacute; diferente de todos os outros, enquanto que os termos vizinhos s&atilde;o sim&eacute;tricos em rela&ccedil;&atilde;o a um eixo que passe pelo centro do tri&acirc;ngulo. No caso de linhas com uma quantidade par de termos, os dois termos que ficam no meio s&atilde;o iguais, como voc&ecirc; pode notar na figura abaixo.<\/p><div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh6.googleusercontent.com\/tCFJ06wwvbBnwq45waekzJLid1Cl5IMZPP0BQAASnnss1-2ZI33zAnmk2JBAiLt_48oOEeOh6m-2xPhX7WIAAxr0wczlvNsQBKo7RrRAGYJT9Pizq4JzvCXf1E6nSetlzFOVBHWpEtyu1-k-6QzfoGU\" alt=\"Simetria no tri&acirc;ngulo de pascal\"><figcaption class=\"wp-element-caption\">Imagem: Reprodu&ccedil;&atilde;o\/Wikimedia<\/figcaption><\/figure><\/div><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-aplicacao-do-triangulo-de-pascal\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Aplicacao-do-Triangulo-de-Pascal\"><\/span>Aplica&ccedil;&atilde;o do Tri&acirc;ngulo de Pascal<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>Para aplicar o conhecimento sobre Tri&acirc;ngulo de Pascal, &eacute; importante saber que os termos encontrados em uma linha podem ser coeficientes de uma expans&atilde;o binomial. Por exemplo, para um <a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/binomio-de-newton\/\" target=\"_blank\">bin&ocirc;mio <\/a>(x+y)<sup>4<\/sup>, os coeficientes s&atilde;o correspondentes aos elementos da linha 4 do tri&acirc;ngulo aritm&eacute;tico.<\/p><p>4&ordf; linha: 1 4 6 4 1<\/p><p>Agora, devemos adicionar esses valores na expans&atilde;o binomial, de forma que, a cada soma, o expoente do primeiro termo x diminui de n at&eacute; chegar em zero, e o expoente do segundo termo y aumenta de zero at&eacute; chegar em n.&nbsp;<\/p><p>(x+y)<sup>4<\/sup> = 1.x<sup>4<\/sup>.y<sup>0<\/sup> + 4.x<sup>3<\/sup>.y<sup>1<\/sup> + 6.x<sup>2<\/sup>.y<sup>2<\/sup> + 4.x<sup>1<\/sup>.y<sup>3<\/sup>+ 1.x<sup>0<\/sup>.y<sup>4<\/sup><\/p><p>(x+y)<sup>4<\/sup> = <strong>1<\/strong>.x<sup>4<\/sup> + <strong>4<\/strong>.x<sup>3<\/sup>.y + <strong>6<\/strong>.x<sup>2<\/sup>.y<sup>2<\/sup> + <strong>4<\/strong>.x.y<sup>3<\/sup>+ <strong>1<\/strong>.y<sup>4<\/sup><\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-estude-matematica-com-o-estrategia-vestibulares\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Estude-matematica-com-o-Estrategia-Vestibulares\"><\/span>Estude matem&aacute;tica com o Estrat&eacute;gia Vestibulares!<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>Treine seu conhecimento sobre os bin&ocirc;mios e Tri&acirc;ngulo de Pascal com o Banco de Quest&otilde;es da Coruja. S&atilde;o milhares de quest&otilde;es agrupadas com temas, com resolu&ccedil;&atilde;o em v&iacute;deo ou texto. Assim, voc&ecirc; pode memorizar as f&oacute;rmulas por meio de exerc&iacute;cios de prova, al&eacute;m de conferir se o seu racioc&iacute;nio est&aacute; correto. N&atilde;o perca a oportunidade e estude com Estrat&eacute;gia!<\/p><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"Tri&acirc;ngulo de Pascal &eacute; o nome dado para um diagrama matem&aacute;tico que &eacute; constru&iacute;do por linhas, de forma&hellip;\n","protected":false},"author":23,"featured_media":88071,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"wl_entities_gutenberg":"","footnotes":""},"categories":[29],"tags":[],"wl_entity_type":[732],"class_list":{"0":"post-88093","1":"post","2":"type-post","3":"status-publish","4":"format-standard","5":"has-post-thumbnail","7":"category-matematica","8":"wl_entity_type-article"},"acf":[],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO Premium plugin v25.9 (Yoast SEO v25.9) - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>Tri\u00e2ngulo de Pascal: o que \u00e9, fun\u00e7\u00e3o, propriedades e aplica\u00e7\u00f5es<\/title>\n<meta name=\"description\" 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