{"id":93926,"date":"2023-07-03T11:00:00","date_gmt":"2023-07-03T14:00:00","guid":{"rendered":"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/?p=93926"},"modified":"2023-07-21T16:18:04","modified_gmt":"2023-07-21T19:18:04","slug":"principio-fundamental-da-contagem","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/principio-fundamental-da-contagem\/","title":{"rendered":"Princ\u00edpio fundamental da contagem: o que \u00e9 e como utilizar?"},"content":{"rendered":"<p>Um dos usos da matem&aacute;tica &eacute; para estabelecer o n&uacute;mero de possibilidades de acontecer um evento, ou quantas formas e conjuntos diferentes de elementos podem ser formados em uma determinada situa&ccedil;&atilde;o. Esse tipo de c&aacute;lculo &eacute; realizado por meio do Princ&iacute;pio Fundamental da Contagem.<p>Trata-se de um conceito da an&aacute;lise combinat&oacute;ria que parte da l&oacute;gica matem&aacute;tica b&aacute;sica para encontrar valores e poss&iacute;veis combina&ccedil;&otilde;es para eventos com diversos fatores. &Eacute; por meio dele que s&atilde;o determinados os diferentes tipos de sorvete de 2 bolas que podem se formar, considerando que existem 10 sabores em uma sorveteria, por exemplo.&nbsp;<\/p><p>Se voc&ecirc; quer entender como esse c&aacute;lculo acontece, continue lendo este artigo e aprenda as defini&ccedil;&otilde;es e racioc&iacute;nio que norteiam o Princ&iacute;pio Fundamental da Contagem. Al&eacute;m de sua import&acirc;ncia pr&aacute;tica, este tema &eacute; comum nos vestibulares, em especial o Enem. Para te ajudar com isso, voc&ecirc; encontra quest&otilde;es de prova resolvidas e com gabarito ao final do texto.<\/p><div id=\"ez-toc-container\" class=\"ez-toc-v2_0_76 counter-hierarchy ez-toc-counter ez-toc-transparent ez-toc-container-direction\">\n<div class=\"ez-toc-title-container\"><p class=\"ez-toc-title\" style=\"cursor:inherit\">Navegue pelo conte\u00fado<\/p>\n<\/div><nav><ul class='ez-toc-list ez-toc-list-level-1 ' ><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-1\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/principio-fundamental-da-contagem\/#O-que-e-o-Principio-Fundamental-da-Contagem\" >O que &eacute; o Princ&iacute;pio Fundamental da Contagem?<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-2\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/principio-fundamental-da-contagem\/#Usos-do-Principio-Fundamental-da-Contagem\" >Usos do Princ&iacute;pio Fundamental da Contagem<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-3\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/principio-fundamental-da-contagem\/#Questoes-sobre-principio-fundamental-da-contagem\" >Quest&otilde;es sobre princ&iacute;pio fundamental da contagem<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-4\" href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/principio-fundamental-da-contagem\/#Estude-para-os-vestibulares-com-a-Coruja\" >Estude para os vestibulares com a Coruja!<\/a><\/li><\/ul><\/nav><\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-o-que-e-o-principio-fundamental-da-contagem\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"O-que-e-o-Principio-Fundamental-da-Contagem\"><\/span>O que &eacute; o Princ&iacute;pio Fundamental da Contagem?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>A <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=0lkIE4dw-k8&amp;pp=ygUsYW5hbHNpZSBjb21iaW5hdG9yaWEgZXN0cmF0ZWdpYSB2ZXN0aWJ1bGFyZXM%3D\" target=\"_blank\">an&aacute;lise combinat&oacute;ria <\/a>&eacute; a &aacute;rea da <a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/\" target=\"_blank\">matem&aacute;tica <\/a>que estuda as diferentes formas de combinar, arranjar ou permutar diversos elementos. &Eacute; necess&aacute;ria para encontrar probabilidades de determinados eventos acontecerem e para determinar quantos algarismos haver&atilde;o nas placas de identifica&ccedil;&atilde;o de algum material.<\/p><p>Todo esse estudo parte do conceito b&aacute;sico chamado de Princ&iacute;pio Fundamental da Contagem. Por meio dele, &eacute; definido que para encontrar um conjunto de x eventos poss&iacute;veis, devemos levar em considera&ccedil;&atilde;o o n&uacute;mero de elementos dentro de cada evento e multiplic&aacute;-los. Entenda melhor com o exemplo abaixo:<\/p><p>Um garoto est&aacute; se arrumando para ir ao Enem e precisa encontrar uma roupa confort&aacute;vel e adequada para esse momento. Ele determina que usar&aacute; uma cal&ccedil;a de material male&aacute;vel, uma camiseta lisa e um par de t&ecirc;nis.&nbsp;<\/p><p>Com essas caracter&iacute;sticas, ele anota que possui 4 cal&ccedil;as, 3 camisetas e 2 pares de t&ecirc;nis que se encaixam perfeitamente nos par&acirc;metros. De quantas maneiras diferentes esse garoto pode escolher suas roupas?<\/p><p>Entre as diferentes op&ccedil;&otilde;es, ele sempre ter&aacute; 4 cal&ccedil;as, que vamos chamar de A, B, C e D. Para cada uma delas ele pode usar as 5 camisetas que possui (preta, branca e azul). Consideremos que, nesse primeiro momento ele est&aacute; com o t&ecirc;nis cinza. Da seguinte forma:<\/p><ol class=\"wp-block-list\">\n<li>A + preta + t&ecirc;nis cinza<\/li>\n\n\n\n<li>A + branca + t&ecirc;nis cinza<\/li>\n\n\n\n<li>A + azul + t&ecirc;nis cinza<\/li>\n<\/ol><ol class=\"wp-block-list\" start=\"4\">\n<li>B + preta + t&ecirc;nis cinza&nbsp;<\/li>\n\n\n\n<li>B + branca + t&ecirc;nis cinza<\/li>\n\n\n\n<li>B + azul + t&ecirc;nis cinza<\/li>\n<\/ol><ol class=\"wp-block-list\" start=\"7\">\n<li>C + preta + t&ecirc;nis cinza<\/li>\n\n\n\n<li>C + branca + t&ecirc;nis cinza<\/li>\n\n\n\n<li>C + azul + t&ecirc;nis cinza<\/li>\n<\/ol><ol class=\"wp-block-list\" start=\"10\">\n<li>D + preta + t&ecirc;nis cinza&nbsp;<\/li>\n\n\n\n<li>D + branca + t&ecirc;nis cinza<\/li>\n\n\n\n<li>D + azul + t&ecirc;nis cinza<\/li>\n<\/ol><p>Ainda assim, ele pode fazer novas combina&ccedil;&otilde;es, ao trocar o t&ecirc;nis cinza pelo seu outro par, que &eacute; marrom.&nbsp;<\/p><ol class=\"wp-block-list\" start=\"13\">\n<li>A + preta + t&ecirc;nis marrom<\/li>\n\n\n\n<li>A + branca + t&ecirc;nis marrom<\/li>\n\n\n\n<li>A + azul + t&ecirc;nis marrom<\/li>\n<\/ol><ol class=\"wp-block-list\" start=\"16\">\n<li>B + preta + t&ecirc;nis marrom&nbsp;<\/li>\n\n\n\n<li>B + branca + t&ecirc;nis marrom<\/li>\n\n\n\n<li>B + azul + t&ecirc;nis marrom<\/li>\n<\/ol><ol class=\"wp-block-list\" start=\"19\">\n<li>C + preta + t&ecirc;nis marrom<\/li>\n\n\n\n<li>C + branca + t&ecirc;nis marrom<\/li>\n\n\n\n<li>C + azul + t&ecirc;nis marrom<\/li>\n<\/ol><ol class=\"wp-block-list\" start=\"22\">\n<li>D + preta + t&ecirc;nis marrom&nbsp;<\/li>\n\n\n\n<li>D + branca + t&ecirc;nis marrom<\/li>\n\n\n\n<li>D + azul + t&ecirc;nis marrom<\/li>\n<\/ol><p>Esse racioc&iacute;nio &eacute; necess&aacute;rio e importante para responder &agrave; pergunta, mas o Princ&iacute;pio Fundamental da Contagem sintetiza essas informa&ccedil;&otilde;es ao mencionar que basta multiplicar o n&uacute;mero de op&ccedil;&otilde;es poss&iacute;veis em cada elemento e conseguimos o valor total de conjuntos poss&iacute;veis.<\/p><p>4 cal&ccedil;as x 3 camisetas x 2 pares de t&ecirc;nis&nbsp; = 24 formas<\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-usos-do-principio-fundamental-da-contagem\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Usos-do-Principio-Fundamental-da-Contagem\"><\/span>Usos do Princ&iacute;pio Fundamental da Contagem<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>Como foi mencionado anteriormente, o Princ&iacute;pio Fundamental da Contagem norteia todo o estudo da <a href=\"https:\/\/vestibulares.estrategia.com\/portal\/materias\/matematica\/analise-combinatoria-enem\/\" target=\"_blank\">an&aacute;lise combinat&oacute;ria<\/a>. A maior parte dos c&aacute;lculos em probabilidade, permuta&ccedil;&atilde;o, arranjos e etc, dependem de entender esse conceito e depois excluir os casos n&atilde;o pedidos pelo enunciado.&nbsp;<\/p><p>No exemplo acima, &eacute; poss&iacute;vel definir qual a chance, em porcentagem, do menino sair com uma camiseta azul. Com a lista que fizemos, basta selecionar todos os casos em que a camiseta azul aparece com cal&ccedil;as de diferentes cores e\/ou t&ecirc;nis variados.<\/p><ol class=\"wp-block-list\">\n<li>A + azul + t&ecirc;nis cinza<\/li>\n\n\n\n<li>B + azul + t&ecirc;nis cinza<\/li>\n\n\n\n<li>C + azul + t&ecirc;nis cinza<\/li>\n\n\n\n<li>D + azul + t&ecirc;nis cinza<\/li>\n\n\n\n<li>A + azul + t&ecirc;nis marrom<\/li>\n\n\n\n<li>B + azul + t&ecirc;nis marrom<\/li>\n\n\n\n<li>C + azul + t&ecirc;nis marrom<\/li>\n\n\n\n<li>D + azul + t&ecirc;nis marrom<\/li>\n<\/ol><p>Nesse caso, das 24 op&ccedil;&otilde;es de conjuntos poss&iacute;veis, apenas 8 est&atilde;o montadas com a camiseta azul. Ent&atilde;o, a chance de isso acontecer &eacute; de 8\/24 = 33%. Essa mesma informa&ccedil;&atilde;o pode ser obtida com o princ&iacute;pio fundamental da contagem, basta determinar que existem 4 tipos de cal&ccedil;a, 2 tipos de t&ecirc;nis e apenas o 1 tipo azul de camiseta.&nbsp;<\/p><p>4 cal&ccedil;as x 1 camisetas x 2 pares de t&ecirc;nis&nbsp; = 8 formas<\/p><h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-importancia-do-principio-no-cotidiano\">Import&acirc;ncia do Princ&iacute;pio no cotidiano<\/h3><p>No cotidiano, esses processos de contagem s&atilde;o &uacute;teis para a cria&ccedil;&atilde;o de n&uacute;meros de identifica&ccedil;&atilde;o. Uma das necessidades das na&ccedil;&otilde;es &eacute; identificar cada um dos ve&iacute;culos circulantes no territ&oacute;rio, para isso s&atilde;o utilizadas as placas automotivas.<\/p><p>&Eacute; necess&aacute;rio que o c&oacute;digo identificador de cada ve&iacute;culo seja diferente entre si, para evitar problemas judiciais. Nesse sentido, o n&uacute;mero de placas poss&iacute;veis deve ser maior do que o n&uacute;mero de autom&oacute;veis que v&atilde;o circular na regi&atilde;o nos pr&oacute;ximos anos.&nbsp;<\/p><p>Diante disso, &eacute; necess&aacute;rio escolher s&iacute;mbolos que tenham diversas op&ccedil;&otilde;es para garantir milhares ou at&eacute; milh&otilde;es de conte&uacute;dos identificadores. &Eacute; por isso que muitas na&ccedil;&otilde;es utilizam n&uacute;meros e letras para representar os ve&iacute;culos.<\/p><p>Existem 26 letras poss&iacute;veis no alfabeto, al&eacute;m de 10 algarismos diferentes, quando aplicado o princ&iacute;pio fundamental da contagem, isso determina uma grande quantidade de placas poss&iacute;veis. No Brasil, atualmente, os c&oacute;digos s&atilde;o formados por: (letra, letra, letra) &ndash; (algarismo, letra, algarismo, algarismo). Isso significa que:<\/p><p>26.26.26.10.26.10.10 = 456.976.000 placas&nbsp;<\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-questoes-sobre-principio-fundamental-da-contagem\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Questoes-sobre-principio-fundamental-da-contagem\"><\/span>Quest&otilde;es sobre princ&iacute;pio fundamental da contagem<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>&nbsp;(Enem\/2017) Uma empresa construir&aacute; sua p&aacute;gina na internet e espera atrair um p&uacute;blico de aproximadamente um milh&atilde;o de clientes. Para acessar essa p&aacute;gina, ser&aacute; necess&aacute;ria uma senha com formato a ser definido pela empresa. Existem cinco op&ccedil;&otilde;es de formato oferecidas pelo programador, descritas no quadro, em que &ldquo;L&rdquo; e &ldquo;D&rdquo; representam, respectivamente, letra mai&uacute;scula e d&iacute;gito.<\/p><p>Op&ccedil;&atilde;o I- LDDDDD<\/p><p>Op&ccedil;&atilde;o II- DDDDDD<\/p><p>Op&ccedil;&atilde;o III- LLDDDD<\/p><p>Op&ccedil;&atilde;o IV- DDDDD<\/p><p>Op&ccedil;&atilde;o V- LLLDD<\/p><p>As letras do alfabeto, entre as 26 poss&iacute;veis, bem como os d&iacute;gitos, entre os 10 poss&iacute;veis, podem se repetir em qualquer das op&ccedil;&otilde;es.<\/p><p>A empresa quer escolher uma op&ccedil;&atilde;o de formato cujo n&uacute;mero de senhas distintas poss&iacute;veis seja superior ao n&uacute;mero esperado de clientes, mas que esse n&uacute;mero n&atilde;o seja superior ao dobro do n&uacute;mero esperado de clientes.<\/p><p>A op&ccedil;&atilde;o que mais se adequa &agrave;s condi&ccedil;&otilde;es da empresa &eacute;<\/p><p>a) I.<\/p><p>b) II.<\/p><p>c) III.<\/p><p>d) IV.<\/p><p>e) V.<\/p><p>Vamos calcular o n&uacute;mero de c&oacute;digos poss&iacute;veis a partir das defini&ccedil;&otilde;es abaixo. Lembrando que a multiplica&ccedil;&atilde;o deve ser maior que um milh&atilde;o (10<sup>6<\/sup>) e menor que dois milh&otilde;es (2.10<sup>6<\/sup>).<\/p><p>D = 10 d&iacute;gitos poss&iacute;veis&nbsp;<\/p><p>L = 26 letras poss&iacute;veis<\/p><p>Op&ccedil;&atilde;o I- LDDDDD = 26.10<sup>5&nbsp; <\/sup>= 2,6.10<sup>6 <\/sup>&rarr; esse valor &eacute; maior que 2.10<sup>6 <\/sup>ent&atilde;o n&atilde;o &eacute; adequado.<\/p><p>Op&ccedil;&atilde;o II- DDDDDD = 10<sup>6 <\/sup>&rarr; esse valor n&atilde;o &eacute; maior que 10<sup>6 <\/sup>ent&atilde;o n&atilde;o &eacute; adequado!<\/p><p>Op&ccedil;&atilde;o III- LLDDDD = 26.26.10<sup>4<\/sup> = 6,76.10<sup>6&nbsp; <\/sup>&rarr; esse valor &eacute; maior que 2.10<sup>6 <\/sup>ent&atilde;o n&atilde;o &eacute; adequado.<\/p><p>Op&ccedil;&atilde;o IV- DDDDD = 10<sup>5<\/sup> &rarr; esse valor n&atilde;o &eacute; maior que 10<sup>6 <\/sup>ent&atilde;o n&atilde;o &eacute; adequado!<\/p><p>Op&ccedil;&atilde;o V- LLLDD = 26.26.26.10<sup>2 <\/sup>= 1,7576.10<sup>6<\/sup> &rarr; esse valor &eacute; maior que 10<sup>6<\/sup>&nbsp; e menor que 2.10<sup>6<\/sup>, ent&atilde;o atende perfeitamente &agrave;s necessidades da empresa. De forma que a alternativa correta &eacute; a <strong>letra E<\/strong>.<\/p><h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-estude-para-os-vestibulares-com-a-coruja\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Estude-para-os-vestibulares-com-a-Coruja\"><\/span>Estude para os vestibulares com a Coruja!<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2><p>Os cursos do Estrat&eacute;gia Vestibulares s&atilde;o completos em v&iacute;deos, focados em pontos importantes para sua aprova&ccedil;&atilde;o. S&atilde;o diversas ferramentas: Livros Digitais Interativos (LDI), simulados, quest&otilde;es comentadas, monitor de desempenho, corre&ccedil;&atilde;o de reda&ccedil;&otilde;es e muito mais. 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