GABARITO: ALTERNATIVA D

Se x= –2 é uma das raízes de um polinômio de 3° grau, há a necessidade de determinar-se as outras duas, pois o grau indica o número de raízes.

Nomeando-se o polinômio x³–3x+2 de P(x), pode-se reescrevê-lo como:

P(x) = (x–x’)(x–x”)(x–x’”), com:

x’, x”e x’” sendo as raízes de P(x)

Tem-se, então:

Para que as duas raízes faltantes sejam determinadas, utiliza-se o dispositivo de Briot-Ruffini:

Os coeficientes de P(x) são:

1x³ + 0x² – 3x + 2

No lado externo, coloca-se a raiz dada (–2).

Esse processo gera um novo polinômio, dado por:

R(x) = x² – 2x + 1

Pelas relações de Viète-Girard, as raízes de R(x) são:

x' = 1 e x”= 1

Então, P(x) pode ser reescrito como:

P(x) = (x + 2)(x – 1)(x – 1)

No caso do denominador, Q(x) = x²–4, pode-se reescrevê-lo como:

Q(x) = (x–2)(x+2),

pois trata-se de um produto notável (identidade).

Dessa forma:

Simplificando-se o termo comum do numerador e denominador (x+2), tem-se: