a) quantas funções 𝑓: 𝐴 → 𝐴 (não necessariamente sobrejetoras) existem?

Comentários:

Em um conjunto 𝐴 com 4 elementos, cada elemento tem 4 opções para ser relacionado. O número total de funções 𝑓: 𝐴 → 𝐴 é dado por:

4⁴ = 256

Dessa forma, existem 256 funções diferentes de 𝑓: 𝐴 → 𝐴, onde 𝐴 = {1,2,3,4}.

Resposta: 256

b) quantas são as funções 𝑓: 𝐵 → 𝐵 que satisfazem 𝑓(𝑓(𝑛)) = 𝑛, para todo 𝑛 ∈ 𝐵?

Comentário:

Sabendo que um ponto “n” de B será fixo quando 𝑓(𝑛) = 𝑛, podemos calcular todas as funções 𝑓: 𝐵 → 𝐵, analisando um caso para cada quantidade de pontos fixos:

𝑖) 6 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠 fixos

𝐸𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: (1,1)(2,2)(3,3)(4,4)(5,5)(6,6)

Só existe uma forma de todos serem relacionados consigo mesmo, então:

𝐶₆,₆ = 1

𝑖𝑖) 4 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠 fixos e 1 dupla de valores diferentes

𝐸𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: (1,1)(2,2)(3,3)(4,4)(5,6)(6,5)

Relacionando 4 pontos fixos, sempre sobram 2 pontos que irão ser diferentes.

Relacionando 4 pontos fixos, sempre sobram 2 pontos que irão ser diferentes.

𝐶₆,₄ ⋅ 𝐶₂,₂ = 15 ⋅ 1 = 15

𝑖𝑖𝑖) 2 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠 fixos 𝑒 𝑑𝑢𝑎𝑠 𝑑𝑢𝑝𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠

𝐸𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: (1,1)(2,2)(3,5)(4,6)(5,4)(6,3)

Relacionando 2 pontos fixos, sempre sobram 4 pontos que irão ser diferentes.

Note que aqui, precisamos dividir por 2!, para não contarmos a mesma dupla de forma repetida.

𝑖𝑣)3 duplas de valores diferentes.

𝐸𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: (1; 2), (2; 1), (3; 4), (4; 3), (5; 6), (6; 5)

Dessa forma, temos um total de 1 + 15 + 45 + 15 = 76 funções 𝑓: 𝐵 → 𝐵 que satisfazem 𝑓(𝑓(𝑛)) = 𝑛, para todo 𝑛 ∈ 𝐵

Resposta: 76

c) escolhendo aleatoriamente uma função 𝑓: 𝐵 → 𝐵 bijetora, qual é a probabilidade de 𝑓 ter ao menos um ponto fixo?

Note e adote:

Dizemos que 𝑛 ∈ 𝐵 é um ponto fixo de 𝑓 se 𝑓(𝑛) = 𝑛.

Comentários:

Um método mais eficiente para calcular essa probabilidade é usar o princípio da inclusão- exclusão. Primeiro, calculamos o número total de bijeções de B em si (𝑓: 𝐵 → 𝐵). Em seguida, subtraímos o número de bijeções sem nenhum ponto fixo. (permutações sem ponto fixo, também conhecidas como desarranjo).

(i) Número total de bijeções (𝑓(𝑛) = 𝑛): uma bijetora de B em si mesmo é uma permutação de 6 elementos (raciocínio do item a), então há 6! bijeções possíveis.

6! = 720

(ii) Permutações sem ponto fixo (desarranjos, 𝑓(𝑛) ≠ 𝑛): o número de desarranjos de 𝑛 elementos é calculado pela fórmula:

Bizu!

Para poupar tempo em provas objetivas, o desarranjo pode ser calculado dividindo 𝑛! pelo número de Euler 𝑒.

Agora podemos calcular a probabilidade de ter ao menos um ponto fixo, fazendo o conjunto favorável ser o resultado da subtração:

𝐹𝑎𝑣𝑜𝑟á𝑣𝑒𝑖𝑠 = 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 − 𝑓𝑢𝑛çõ𝑒𝑠 𝑠𝑒𝑚 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑓𝑖𝑥𝑜

𝐹𝑎𝑣𝑜𝑟á𝑣𝑒𝑖𝑠 = 720 − 265 = 464

Portanto, temos 455 funções com ao menos um ponto fixo, dentre 720 possíveis. Assim, a probabilidade será dada por:

Resposta: 91/144