GABARITO: ALTERNATIVA D

Temos que f(1) = 0; f(2n) = f(n) + 4; f(2n + 1) = 4f(n) + 1. Como queremos f(x) ímpar, devemos substituir nn pelos números naturais e identificar o padrão da função

n = 1:

f(2 ∙ 1) = f(1) + 4 → f(2) = 4

f(2 ∙ 1 + 1) = 4f(1) + 1 → f(3) = 1

n = 2:

f(2 ∙ 2) = f(2) + 4 → f(4) = 8

f(2 ∙ 2 + 1) = 4f(2) + 1 → f(5) = 17

n = 3:

f(2 ∙ 3) = f(3) + 4 → f(6) = 5

f(2 ∙ 3 + 1) = 4f(3) + 1 → f(7) = 5

n = 4:

f(2 ∙ 4) = f(4) + 4 → f(8) = 12

f(2 ∙ 4 + 1) = 4 ∙ f(4) + 1 = 33

Observe que os números marcados de vermelho apresentam valores pares e são f′ ss de potências de dois. Além disso, observe que a função (2n + 1) = 4f(n) + 1 é sempre ímpar, pois trata-se da soma de um número par mais um ímpar. Com isso, podemos afirmar que os únicos números pares serão para as potências de dois menores que 2020 e o restante apresentará valor ímpar. Assim,

2⁰, 2¹, 2², ... , 2¹⁰ são valores menores que 2020 e apresentarão f par.

com isso, 2020 - 11 = 2009 números com função ímpar.

Gabarito: d)