a) Domínio da função f

O domínio de uma função real é o conjunto de todos os valores de x para os quais a função está definida. Neste caso, temos duas restrições principais: os valores dentro das raízes quadradas (radicandos) não podem ser negativos e o denominador não pode ser zero (x ≠ 0).

1ª Condição de Existência:

Analisando os sinais do numerador e do denominador, concluímos que a solução para esta condição é o intervalo [−1,0] ∪ [1, ∞[.

2ª Condição de Existência:

Analisando os sinais, a solução para esta condição é o intervalo ] − ∞, 0] ∪ [1, ∞[.

O domínio da função f(x) é a interseção dos conjuntos-solução de todas as condições:

{ [−1,0] ∪ [1, ∞[ } ∩ { ] − ∞, 0] ∪ [1, ∞[ } = [−1,0] ∪ [1, ∞[

b) Encontrando os valores de x para f(x) = 0

Devemos resolver a equação:

Como o lado esquerdo é não negativo, x também deve ser. A intersecção de x ≥ 0 com o domínio nos restringe a procurar soluções em [1, ∞).

Uma forma de resolver é testar uma simplificação. Se supormos que o primeiro radicando é 1:

x − = 1 ⟹ x² − 1 = x ⟹ x² − x − 1 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau, obtemos

Como x ≥ 1, a única solução válida é

Gabarito

a) D(f) = [−1,0) ∪ [1, ∞)