GABARITO: ALTERNATIVA C

Comecemos da soma fornecida pelo enunciado.

𝑧₁ + 𝑧₂ + 𝑧₃ = 0

Substituindo os valores de 𝑧₁ , 𝑧₂ e 𝑧₃ na equação

𝑎 + 𝑏𝑖 − 𝑏 + 𝑎𝑖 − 𝑏 + 3𝑖 = 0

Como estamos tratando de uma equação complexa, vamos escrever o segundo membro, também, na forma complexa.

𝑎 + 𝑏𝑖 − 𝑏 + 𝑎𝑖 − 𝑏 + 3𝑖 = 0 + 0i

Agrupando os valores reais e imaginários.

𝑎 + 𝑏𝑖 − 𝑏 + 𝑎𝑖 − 𝑏 + 3𝑖 = 0 + 0𝑖

𝑎 − 𝑏 − 𝑏 + 𝑏𝑖 + 𝑎𝑖 + 3𝑖 = 0 + 0i

Colocando 𝑖 em evidência para os números imaginários.

(𝑎 − 𝑏 − 𝑏) + (𝑏 + 𝑎 + 3)𝑖 = 0 + 0𝑖

Nesse ponto, podemos igualar, entre os dois membros da equação, tanto as partes imaginárias quanto as partes reais, o que leva a um sistema de duas equações e duas incógnitas.

Substituindo 𝑎 = 2𝑏 na segunda equação.

Substituindo 𝑏 = −1 na primeira equação

Desse modo, podemos estabelecer os valores de todos os números complexos do enunciado.

De posse dos valores dos complexos, podemos partir para a próxima etapa: calcular o valor da expressão

Substituindo os valores de 𝑧1 e 𝑧2 na expressão

Primeiro, os parênteses. Para a divisão entre números complexos, usaremos o conjugado do complexo que está no denominador.

No numerador, produto comum entre complexos. No denominador, produto notável: diferença de dois quadrados.

Como 𝑖 2 = −1, temos.

(𝑖)³

Com as potências de 𝑖, chegamos à conclusão:

(𝑖)³ = 𝑖 2 ⋅ 𝑖 = −1 ⋅ 𝑖 = −i

Gabarito: c)