Como 𝑎, 𝑏 𝑒 𝑐 são uma P.A., nesta ordem, podemos escrever que:

(𝑎, 𝑏, 𝑐) = (𝑏 − 𝑟, 𝑏, 𝑏 + 𝑟) (𝑒𝑞. 01)

Como a parábola passa pelos pontos dados, temos que:

5 = 4𝑎 + 2𝑏 + 𝑐

2 = 𝑎 − 𝑏 + 𝑐

Usando a 𝑒𝑞. 01:

5 = 4(𝑏 − 𝑟) + 2𝑏 + 𝑏 + 𝑟 = 7𝑏 − 3𝑟

2 = 𝑏 − 𝑟 − 𝑏 + 𝑏 + 𝑟 = 𝑏

Resolvendo o sistema, temos 𝑏 = 2 e 𝑟 = 3. Portanto, 𝑎 = −1, 𝑏 = 2 𝑒 𝑐 = 5. A parábola:

𝑦 = −𝑥² + 2𝑥 + 5

Observe que podemos reescrever a parábola como:

𝑦 = −𝑥² + 2𝑥 − 1 + 6 = 6 − (𝑥 − 1)² ≤ 6

O vértice, 𝑉, está associado ao máximo ou mínimo valor de y. Nesse caso, y é máximo quando 𝑥 − 1 = 0 ⇒ 𝑥 = 1 e, portanto, 𝑦 = 6. Dessa forma, o vértice da parábola é: 𝑉 = (1,6).

Seja 𝑟: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 a reta tangente à parábola no ponto (2,5). Temos:

5 = 2 ∙ 𝑚 + 𝑏 ⇒ 𝑏 = 5 − 2𝑚

Assim, 𝑟: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 5 − 2𝑚.

Substituindo 𝑦 na parábola, vem:

−𝑥² + 2𝑥 + 5 = 𝑚𝑥 + 5 − 2𝑚 ⇒ −𝑥² + (2 − 𝑚)𝑥 + 2𝑚

Queremos que seu discriminante seja nulo, pela condição de tangência, ou seja:

Δ = (2 − 𝑚)² − 4 ∙ (−1) ∙ 2𝑚 = 𝑚2 + 4𝑚 + 4 = (𝑚 + 2)² = 0

Logo, 𝑚 = −2. Dessa forma, 𝑟: 𝑦 = −2𝑥 + 9. Fazendo a distância de 𝑉 a 𝑟, temos: