GABARITO: ALTERNATIVA D.

Pelo enunciado, podemos extrair:

(𝑎₁, 𝑎₂, … , 𝑎₅₀) é uma PA de razão 𝑑.

A soma de uma PA de razão 𝑑 é dado pela fórmula:

Aplicando a fórmula na primeira somatória:

Simplificando:

𝑎₁ + 𝑎₁₀ = 2 + 5𝑑

Podemos escrever 𝑎₁₀ em função de 𝑎₁ e 𝑑:

𝑎₁₀ = 𝑎₁ + 9𝑑

Substituindo 𝑎₁₀ na equação:

𝑎₁ + (𝑎₁ + 9𝑑) = 2 + 5𝑑

2𝑎₁ = 2 − 4𝑑

𝑎₁ = 1 − 2𝑑

Encontramos uma equação com 𝑎₁ e 𝑑. Vamos aplicar a fórmula para a segunda somatória e encontrar a outra equação:

Escrevendo 𝑎₅₀ em função de 𝑎₁ e 𝑑:

𝑎₅₀ = 𝑎₁ + 49𝑑

Substituindo na equação e simplificando:

(𝑎₁ + (𝑎₁ + 49𝑑)) = 182

2𝑎₁ + 49𝑑 = 182

2𝑎₁ = 182 − 49𝑑

Temos agora duas equações:

(𝐼) 𝑎₁ = 1 − 2𝑑

(𝐼𝐼) 2𝑎₁ = 182 − 49𝑑

Vamos encontrar o valor de 𝑑, substituindo (𝐼) em (𝐼𝐼):

2(1 − 2𝑑) = 182 − 49𝑑

2 − 4𝑑 = 182 − 49𝑑

49𝑑 − 4𝑑 = 182 − 2

45𝑑 = 180

⇒ 𝑑 = 4

Substituindo 𝑑 = 4 na (𝐼) para encontrar 𝑎₁:

𝑎₁ = 1 − 2(4)

𝑎₁ = 1 − 8 = −7

Encontramos o valor de 𝑑 e 𝑎₁, a questão pede 𝑑 − 𝑎₁:

𝑑 − 𝑎₁ = 4 − (−7) = 11