GABARITO: ALTERNATIVA A

A questão pede para considerar uma região do plano cartesiano esboçada na figura e calcular a área desta região A ∩ B.

A região A é dada pela expressão A = |x| + |y| ≤ 1 e corresponde a região interna um losango de diagonais iguais a 2.

A região B é definida por (x + 1)² + y² ≥ 1, que corresponde a região externa circunferência com centro C(−1,0) e raio r = 1.

Portanto, a região A ∩ B será dada pelo seguinte esboço:

Portanto, a interseção A ∩ B será a parte do losango que não entra em contato com o círculo. Podemos calcular essa região, subtraindo um quarto da área da circunferência da área do losango (como o losango tem lados iguais e diagonais iguais, ele terá os ângulos retos, sendo o setor circular que fica fora da intersecção a quarta parte do círculo).

A área total do círculo seria πr², mas como queremos apenas a quarta parte desse círculo (um quarto do círculo está na região hachurada), a área será

A área do losango é dada pela fórmula A =

onde D e d são as diagonais do losango, onde D = d = 2.

Portanto, a área do losango é

A área da intersecção é a diferença da área do losango e a área do setor circular: