Item a:

Observe a seguinte manipulação algébrica:

𝑥² − 2𝑥𝑦 − 𝑦² = 0 ⇔ 𝑥² − 2𝑥𝑦 + 𝑦² − 𝑦² − 𝑦² = 0

Ou seja:

(𝑥 − 𝑦)² − 2𝑦² = 0 ⇔ (𝑥 − 𝑦 − √2𝑦)(𝑥 − 𝑦 + √2𝑦) = 0

Do que temos:

𝑥 − (1 + √2)𝑦 = 0

Coeficiente angular: 𝑚₁ = 1/(1+√2)

Ou:

𝑥 + (√2 − 1)𝑦 = 0

Coeficiente angular: 𝑚₂ = 1/(1−√2)

Note que 𝑚₁𝑚₂ = 1/(1+√2)∙1/(1−√2) = 1/(1−(√2)) 2 = −1.

Portanto, a curva define um par de retas perpendiculares.

Item b:

Nesse item, é importante fazermos um desenho. Veja:

Primeiro, perceba que o ângulo entre a reta 𝑟 e a reta 𝑦 = (√2 − 1)𝑥 é 𝛼.

Além disso, temos que 𝑃𝑀 é a distância do ponto 𝑃 = (2,3) à reta 𝑦 + (√2 + 1)𝑥 = 0, ou seja:

Analogamente, temos que 𝑃𝑁 é a distância de 𝑃 à reta 𝑦 − (√2 − 1)𝑥 = 0, ou seja:

Precisamos fazer aparecer o produto

Para isso, olhando a figura, perceba que:

cos(𝛼) = 𝑃𝑀/𝑃𝐴

𝑠𝑒𝑛(𝛼) = 𝑃𝑁/𝑃𝐵

Ou seja:

𝑠𝑒𝑛(𝛼) cos(𝛼) = 𝑃𝑀/𝑃𝐴 ∙𝑃𝑁/𝑃𝐵 = (𝑃𝑀 ∙ 𝑃𝑁)/(𝑃𝐴 ∙ 𝑃𝐵)

Mas

Dessa forma

𝑠𝑒𝑛(𝛼) cos(𝛼) = 17/2√2 ∙ 1/17 = 1/2√2 ⇒ 2𝑠𝑒𝑛(𝛼) cos(𝛼) = 1/√2

∴ 𝑠𝑒𝑛(2𝛼) = 1/√2

Estamos interessados apenas no valor de 𝑡𝑔𝛼, pois com ele determinaremos os possíveis coeficientes angulares da reta 𝑠. Sendo assim, lembre-se, da trigonometria:

(𝑠𝑒𝑛(2𝛼))/(1 + cos(𝛼)) = (2𝑠𝑒𝑛(𝛼) cos(𝛼))/(2 cos2(𝛼)) = 𝑡𝑔(𝛼)

Como 𝑠𝑒𝑛(2𝛼) = 1/√2, temos que:

cos(2𝛼) = ± 1/√2

Assim, temos duas possibilidades para 𝑡𝑔(𝛼):

Como dito anteriormente, o ângulo entre a reta 𝑟 e a reta 𝑦 = (√2 − 1)𝑥 é 𝛼. Seja 𝑚𝑟 o coeficiente angular de 𝑟. Da geometria analítica, temos as seguintes possibilidades:

Possibilidade 1: