a) Área do triângulo EFG

E, F, G são pontos médios dos lados do ΔABC. Logo, ΔEFG é equilátero com lado igual a metade do lado de ΔABC. Lado de EFG = 6/2 = 3.

b) Área do quadrilátero EGIH

Analisando os lados, vemos que EG || BC e HI || BC, e EH || AD e GI || AD.

Todos os lados medem 3. Logo, EGIH é um losango.

O ângulo entre lados adjacentes (ex: EG e GI) é igual ao ângulo entre as arestas reversas BC e AD de um tetraedro regular, que é 90°.

Portanto, EGIH é um quadrado de lado 3.

Área(EGIH) = 3² = 9 cm².

c) Volume da pirâmide F-EGIH

A base é o quadrado EGIH de área 9. A altura h é a distância do vértice F ao plano de EGIH. Este plano está a meia distância entre as arestas reversas BC e AD. A distância entre estas arestas em um tetraedro de lado a é d = a/√2 = 6/√2 = 3√2.

Como F é o ponto médio de BC, sua distância ao plano é h = d/2 = 3√2/2.

Volume:

Gabarito

a) A área é

b) A área é 9 cm².

c) O volume é