a) determine o raio da circunferência 𝐶.

Comentários:

Calculando a distância PQ, temos o diâmetro da circunferência C.

Note que do centro de C1 até o ponto P, temos a hipotenusa do triângulo retângulo destacado em amarelo.

Chamando essa distância de 𝑥, podemos aplicar a razão cosseno para 60° e descobrirmos seu valor:

Dessa forma, o diâmetro de C será dado por:

E o raio de C será a metade do diâmetro:

Resposta: 6

b) dado 𝑛≥1, determine a razão entre os raios das circunferências consecutivas 𝐶ₙ₊₁ e 𝐶ₙ.

Utilizando o mesmo esquema:

Note que temos dois triângulos semelhantes e que a distância do centro de C2 até P será dada por 4 − 𝑟₂ :

Aplicando a razão cosseno, no triângulo menor:

Dividindo esse raio pelo raio da circunferência anterior (C1), temos:

Resposta: 1/3

c) determine a área da região sombreada na figura.

Como a razão entre os raios é constante, temos que os raios determinam a sequência chamada de progressão geométrica:

A área de uma circunferência é calculada pela fórmula:

𝐴 = 𝜋 ⋅ 𝑟²

Portanto, as áreas também formam uma PG, de razão :

Como essas áreas estão diminuindo indefinidamente e a razão é tal que 0 < 𝑞 < 1, podemos somar os infinitos termos dessa PG, pela expressão:

Essa soma é o equivalente as circunferências menores, 𝐶₁, 𝐶₂, 𝐶₃, 𝐶₄… 𝐶ₙ .

Calculando a área total da circunferência C, temos:

Portanto, podemos subtrair para encontrar a área sombreada:

Resposta: 18π