Primeiro, vamos encontrar o centro e o raio da circunferência. Completando os quadrados na equação:

𝑥² − 8𝑥 + 𝑦² + 8 = 0

(𝑥² − 8𝑥 + 16) − 16 + 𝑦² + 8 = 0

(𝑥 − 4)² + 𝑦² − 8 = 0

(𝑥 − 4)² + 𝑦² = 8

O centro da circunferência é 𝐶(4,0) e o raio ao quadrado é 𝑅² = 8, então 𝑅 = √8 = 2√2.

As retas r e s passam pela origem (0, 0), então suas equações são da forma 𝑦 = 𝑚𝑥. Podemos reescrevê-las como 𝑚𝑥 − 𝑦 = 0.

A distância do centro da circunferência 𝐶(4,0) a uma reta tangente deve ser igual ao raio 𝑅 = 2√2. A fórmula da distância de um ponto (𝑥₀ , 𝑦₀ ) a uma reta 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 é:

Aplicando para o nosso caso, com o ponto 𝐶(4,0) e a reta 𝑚𝑥 − 𝑦 = 0:

Elevando ambos os lados ao quadrado:

Os coeficientes angulares das retas tangentes são 𝑚 = 1 e 𝑚 = −1. As equações das retas são:

* Para 𝑚 = 1: 𝑦 = 1 ⋅ 𝑥 ⟹ 𝑦 = 𝑥

* Para 𝑚 = −1: 𝑦 = −1 ⋅ 𝑥 ⟹ 𝑦 = −𝑥

Assim, as equações das retas são 𝒚 = 𝒙 e 𝒚 = −𝒙.