Como devemos ler essa questão:

A primeira parte 1 ∙ 4 + 2 ∙ 7 + 3 ∙ 10 + ⋯ + 𝑛(3𝑛 + 1) é um somatório, onde cada termo do somatório é um número natural da forma 𝑛(3𝑛 + 1).

Ele diz que somando termos da forma 𝑛(3𝑛 + 1) com 𝑛 ∈ ℕ, teremos como resultado 𝑛(𝑛 + 1)². Então se 𝑛 = 4, deveremos ter uma soma até 𝑛(3𝑛 + 1) = 4 ∙ (3 ∙ 4 + 1) = 4 ∙ 13. A soma será 1 ∙ 4 + 2 ∙ 7 + 3 ∙ 10 + 4 ∙ 13.

Outro exemplo, se 𝑛 = 1 a soma será até 𝑛(3𝑛 + 1) = 1 ∙ (3 ∙ 1 + 1) = 1 ∙ 4. Assim, a soma seria apenas o valor 1 ∙ 4. Perceba que o somatório terá 𝑛 termos, para 𝑛 = 1 temos apenas 1 termo no somatório.

Vamos demonstrar usando PIF:

I) Precisamos verificar se a equação é válida, para isso vamos fazer 𝑛 = 1 e encontrar o resultado de 1 ∙ 4 + 2 ∙ 7 + 3 ∙ 10 + ⋯ + 𝑛(3𝑛 + 1) = 𝑛(𝑛 + 1)². Vamos encontrar do lado direito da igualdade:

𝑛(𝑛 + 1)² = 1 ∙ (1 + 1)² = 1 ∙ 2² = 1 ∙ 4 = 4

A segunda parte da igualdade nos mostra que substituindo 𝑛 = 1 na expressão, obtemos como resultado o valor 4.

Vamos calcular agora o valor do somatório e verificar se é verdadeira a proposição.

O somatório terá apenas 1 termo para 𝑛 = 1:

𝑛(3𝑛 + 1) = 1 ∙ (3 ∙ 1 + 1) = 1 ∙ 4 = 4

Assim, a propriedade é verdadeira para 𝑛 = 1.

II) Vamos generalizar o resultado para 𝑛 = 𝐾,𝐾 ∈ ℕ. Para isso, substituímos 𝑛 = 𝐾 na equação.

Hipótese (𝐻): Para algum 𝐾 ∈ ℕ, temos válida a propriedade.

1 ∙ 4 + 2 ∙ 7 + 3 ∙ 10 + ⋯ + 𝐾(3𝐾 + 1) = 𝐾(𝐾 + 1)²

Tese (𝑇): Se a propriedade é válida para 𝐾 ∈ ℕ, ela será válida para 𝐾 + 1. Assim, substituindo 𝑛 = 𝐾 + 1 na equação:

1 ∙ 4 + 2 ∙ 7 + 3 ∙ 10 + ⋯ + (𝐾 + 1)[3(𝐾 + 1) + 1] = (𝐾 + 1)[(𝐾 + 1) + 1]²

Desenvolvendo a equação:

1 ∙ 4 + 2 ∙ 7 + 3 ∙ 10 + ⋯ + (𝐾 + 1)[3(𝐾 + 1) + 1] = (𝐾 + 1)[(𝐾 + 1) + 1]²

1 ∙ 4 + 2 ∙ 7 + 3 ∙ 10 + ⋯ + (𝐾 + 1)[3𝐾 + 3 + 1] = (𝐾 + 1)(𝐾 + 2)²

1 ∙ 4 + 2 ∙ 7 + 3 ∙ 10 + ⋯ + (𝐾 + 1)(3𝐾 + 4) = (𝐾 + 1)(𝐾 + 2)²

Repare nos termos coloridos, esses são os termos que foram desenvolvidos.

Não se assuste com essa equação gigantesca. Veremos mais adiante assuntos que facilitarão o seu entendimento e também resolveremos bastante exercícios para você consolidar o conhecimento.

Para demonstrar a propriedade usando PIF, devemos usar a nossa hipótese e tentar chegar à tese. Primeiro escrevemos a nossa hipótese:

(𝐻) 1 ∙ 4 + 2 ∙ 7 + 3 ∙ 10 + ⋯ + 𝐾(3𝐾 + 1) = 𝐾(𝐾 + 1)²

Agora, devemos usar essa equação e tentar chegar à tese:

(𝑇) 1 ∙ 4 + 2 ∙ 7 + 3 ∙ 10 + ⋯ + 𝐾 + 13𝐾 + 4 = 𝐾 + 1(𝐾 + 2)²

Como vamos fazer isso?

Observe os somatórios de (𝐻) e (𝑇):

(𝐻) 1 ∙ 4 + 2 ∙ 7 + 3 ∙ 10 + ⋯ + 𝐾(3𝐾 + 1)

(𝑇) 1 ∙ 4 + 2 ∙ 7 + 3 ∙ 10 + ⋯ 𝐾(3𝐾 + 1) + (𝐾 + 1)(3𝐾 + 4)

A única diferença entre esses somatórios é a presença do termo (𝐾 + 1)(3𝐾 + 4) em (𝑇).

Então vamos somar (𝐾 + 1)(3𝐾 + 4) nos dois lados da igualdade de (𝐻).

Escrevendo a equação de (𝐻):

1 ∙ 4 + 2 ∙ 7 + 3 ∙ 10 + ⋯ + 𝐾(3𝐾 + 1) = 𝐾(𝐾 + 1)²

Somando (𝐾 + 1)(3𝐾 + 4) nos dois lados da equação:

1 ∙ 4 + 2 ∙ 7 + 3 ∙ 10 + ⋯ + 𝐾(3𝐾 + 1) + (𝐾 + 1)(3𝐾 + 4) =

𝐾(𝐾 + 1)² + (𝐾 + 1)(3𝐾 + 4)

Vamos resolver o lado direito da equação:

𝐾(𝐾 + 1)² + (𝐾 + 1)(3𝐾 + 4)

𝐾(𝐾 + 1)(𝐾 + 1) + (𝐾 + 1)(3𝐾 + 4)

Colocando (𝐾 + 1) em evidência:

𝐾(𝐾 + 1)(𝐾 + 1) + (𝐾 + 1)(3𝐾 + 4)

(𝐾 + 1)[𝐾(𝐾 + 1) + (3𝐾 + 4)]

(𝐾 + 1)[𝐾² + 𝐾 + 3𝐾 + 4]

(𝐾 + 1)[𝐾² + 4𝐾 + 4]

Fatorando o termo 𝐾² + 4𝐾 + 4:

(𝐾 + 1)(𝐾 + 2)²

Assim, encontramos através da hipótese a seguinte igualdade:

1 ∙ 4 + 2 ∙ 7 + 3 ∙ 10 + ⋯ + (𝐾 + 1)(3𝐾 + 4) = (𝐾 + 1)(𝐾 + 2)²

Essa é a tese. Logo, acabamos de demonstrar por PIF que a propriedade é válida, ∀𝑛 ∈ ℕ.